小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu) 約數(shù)與倍數(shù)（一）

1.本講主要對(duì)課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

2.本講核心目標(biāo)：讓孩子對(duì)數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，

例如：(1)約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；

(2)整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為x...x△☆的結(jié)構(gòu),

而且表達(dá)形式唯一”

一'約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念

(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù)，整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)；

(2)公約數(shù):如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的約數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；

(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個(gè)就是最大公約數(shù)；

(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外

1.求最大公約數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái).

例皮口：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6:

32

③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用根轉(zhuǎn)相

除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除

小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前

一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(如果最后的除數(shù)是1,那么原

來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的).

例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515+600=2315;600+315=1285;315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.

2.最大公約數(shù)的性質(zhì)

①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；

②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；

③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)〃，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以

3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)

先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的

最大公約數(shù)匕；2即為所求.

a

4.約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系

(1)約數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的：

(2)公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)

二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)

(1)倍數(shù):一個(gè)整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個(gè)整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)

(2)公倍數(shù):在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍數(shù)就叫做它們的公信數(shù)

⑶最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個(gè)稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。

1.求最小公倍數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,?[231,252]=22x32x7x11=2772；

②短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812

例如：3|96,所以[I8,12]=2x3x3x2=36;

32

③[”,切=詈*

（4,6）

2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)

①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積.

③兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).

3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟

先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)。；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)6；即

a

r35I[3,5]15

為所求.例如：f—,一]=---=一

412（4,12）4

[111_M_

注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如:4

23」（2,3）

4.倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系

(1)倍數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的；

(2)最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)

三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)

1.兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

如果加為A、3的最大公約數(shù)，且人=〃刈，B=mb,那么a、6互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,

所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：

M|AB

ab

①AxB=maxmb=mxmab,即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；

②最大公約數(shù)是A、B、A+B、A—B及最小公倍數(shù)的約數(shù).

2.兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

即(a,Z?)*[a,6]=axb,此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。

3.對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為

“）奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)

"偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168

性質(zhì)（3）不是一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾

個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積大

四'求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和

1.求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)

一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）加1后所得的乘積。

如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為23x52x7,所以它的約數(shù)有（3+l）x（2+l）x（l+l）=4x3x2=24個(gè)。（包括1和

1400本身）

約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過(guò)程是建立在開(kāi)篇講過(guò)

的數(shù)字“唯一分解定理''形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌

握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先告訴一個(gè)數(shù)有

多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來(lái)，或者是“構(gòu)造出可能的最值

2.求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和

一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最

高次賽求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。

如：21000=23X3X53X7,所以21000所有約數(shù)的和為

（1+2+22+23）（1+3）（1+5+52+53）（1+7）=74880

此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記

憶即可。

模塊一、求最大公約數(shù)

【例1】把一張長(zhǎng)1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒(méi)有剩余，問(wèn)：能

裁成最大的正方形紙塊的邊長(zhǎng)是多少？共可裁成幾塊？

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】要把一張長(zhǎng)方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能有剩余，這個(gè)正方形紙塊的邊長(zhǎng)應(yīng)該是長(zhǎng)

方形的長(zhǎng)和寬的公約數(shù).由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的

長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù).1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，（135,105）=15,長(zhǎng)方

形紙塊的面積為135x105=14175（平方厘米），正方形紙塊的面積為15x15=225（平方厘米），共可

裁成正方形紙塊14175+225=63（張）.

【答案】邊長(zhǎng)15,裁成63塊

【鞏固】一個(gè)房間長(zhǎng)45（）厘米，寬33（）厘米.現(xiàn)計(jì)劃用方磚鋪地，問(wèn)需要用邊長(zhǎng)最大為多少厘米的方磚多少

塊（整塊），才能正好把房間地面鋪滿？

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】要使方磚正好鋪滿地面，房間的長(zhǎng)和寬都應(yīng)是方磚邊長(zhǎng)的倍數(shù)，也就是方磚邊長(zhǎng)厘米數(shù)必須是房間

長(zhǎng)、寬厘米數(shù)的公約數(shù).由于題中要求方磚邊長(zhǎng)盡可能大，所以方磚邊長(zhǎng)應(yīng)為房間長(zhǎng)與寬的最大公

約數(shù).450和330的最大公約數(shù)是30.450+30=15,330+30=11,共需15x11=165（塊）.

【答案】邊長(zhǎng)30,需要165塊

【例2］將一個(gè)長(zhǎng)和寬分別是是1833厘米和423厘米的長(zhǎng)方形分割成若干修正在方形，則正方形最少是

()個(gè)。

(A)78(B)7(C)5(D)6

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】2星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第3題

【解析】本題不是求1833與423的最大公約數(shù)，因?yàn)轭}目沒(méi)有強(qiáng)調(diào)是相同正方形，所以應(yīng)該用輾轉(zhuǎn)相處法，

求商，因?yàn)?833+423=4141,所以先切成423x423的共有4個(gè)剩下長(zhǎng)方形141x423的

423+141=3,所以應(yīng)該還可以切成3個(gè)，所以一共有4+3=7個(gè)，選擇B

【答案】B

［例3］如圖，某公園有兩段路，48=175米，BC=125米，在這兩段路上安裝路燈，要求A、B、C三點(diǎn)

各設(shè)一個(gè)路燈，相鄰兩個(gè)路燈間的距離都相等，則在這兩段路上至少要安裝路燈一個(gè).

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，初賽，第7題

【解析】175與125的最大公約數(shù)為25,所以取25米為兩燈間距，175=25x7,125=25x5,段應(yīng)按7+1

=8盞燈，BC段應(yīng)按5+1=6盞燈，但在8點(diǎn)不需重復(fù)按燈，故共需安裝8+6—1=13(盞)

【答案】13盞

【例4】把20個(gè)梨和25個(gè)蘋(píng)果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個(gè)，而蘋(píng)果還缺2個(gè)，一共最多有多少個(gè)

小朋友？

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】此題相當(dāng)于梨的總數(shù)是人數(shù)的整數(shù)倍還多2個(gè)，革果數(shù)是人數(shù)的整數(shù)倍還缺2個(gè)，所以減掉2個(gè)梨，

補(bǔ)充2個(gè)蘋(píng)果后，18個(gè)梨和27個(gè)蘋(píng)果就都是人數(shù)的整數(shù)倍了，即人數(shù)是18和27的公約數(shù)，要求

最多的人數(shù)，即是18和27的最大公約數(shù)9了.

【答案】9人

［例5］有336個(gè)蘋(píng)果，252個(gè)桔子，210個(gè)梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物

中，三樣水果各多少？

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】此題本質(zhì)上也是要求出這三種水果的最大公約數(shù)，有(336,252,210)=42,即可以分42份，每份中有

蘋(píng)果8個(gè)，桔子6個(gè)，梨5個(gè).

【答案】42份，每份中有蘋(píng)果8個(gè)、桔子6個(gè)、梨5個(gè)

【鞏固】教師節(jié)那天，某校工會(huì)買(mǎi)了320個(gè)蘋(píng)果、240個(gè)桔子、200個(gè)鴨梨，用來(lái)慰問(wèn)退休的教職工，問(wèn)用這

些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋(píng)果、桔子、鴨梨的個(gè)數(shù)彼

此相等)？在每份禮物中，蘋(píng)果、桔子、鴨梨各多少個(gè)？

【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】因?yàn)?320,240,200)=40,320+40=8,240+40=6,200+40=5,所以最多可分40份，每份中有

8個(gè)蘋(píng)果6個(gè)桔子，5個(gè)鴨梨.

【答案】可分40份，每份中有8個(gè)蘋(píng)果6個(gè)桔子，5個(gè)鴨梨.

模塊二、約數(shù)

【例6】2004的約數(shù)中，比100大且比200小的約數(shù)是.

【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】I星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第4題，5分

【解析】2004=3x4x167,所以結(jié)果為167

【答案】167

［例7］過(guò)冬了，小白兔只儲(chǔ)存了180只胡蘿卜，小灰兔只儲(chǔ)存了120棵大白菜，為了冬天里有胡蘿卜吃,

小灰兔用十幾棵大白菜換了小白兔的一些胡蘿卜，這時(shí)他們儲(chǔ)存的糧食數(shù)量相等，則一棵大白菜

可以換只胡蘿卜。

【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試，第13題

【解析】方法一：若使他們存儲(chǔ)糧食的數(shù)量相等，需要將小白兔的胡蘿卜給小灰兔（180-120）+2=30（只），

但是本題需要去換，即若干次換完后要多30個(gè)胡蘿卜即可，若想用十幾顆大白菜換，而30里面只

有15這個(gè)約數(shù)是十幾，所以需要換15次，，每次換后要多30+15=2（只），所以1棵白菜換了2+1=3

只胡蘿卜

方法二：設(shè)1棵白菜換x只胡蘿卜，灰兔用a棵白菜換胡蘿卜，則ae（10,20）,

180-ax+a=120-a+a（x-l）=30=2x15,a=15,x-1=2,x=3,

即1棵白菜換了3只胡蘿卜

【答案】3只

［例8］一個(gè)自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111,這個(gè)自然數(shù)是.

【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，決賽，第7題

【解析】因?yàn)?11是奇數(shù)，而奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，所以所求數(shù)的最大約數(shù)與次大約數(shù)必為一奇一偶。而一個(gè)

數(shù)的最大約數(shù)是其自身，而一個(gè)數(shù)如有偶約數(shù)此數(shù)必為偶數(shù)，而一個(gè)偶數(shù)的次大約數(shù)應(yīng)為這個(gè)偶數(shù)

的工，設(shè)這個(gè)次大約數(shù)為出則最大約數(shù)為2a,〃+2a=lll,求得a=37,2a=74,即所求數(shù)為74。

2

【答案】74

［例9］一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)之和為10,那么此數(shù)為幾？

【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1,除去1以外另外兩個(gè)約數(shù)之和為9,由于9是奇數(shù)，所以這兩個(gè)

約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的

倍數(shù)，即2是它的約數(shù)。于是2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7,所以這個(gè)兩位數(shù)是

14的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6,所以這個(gè)數(shù)只能是14或98,其中有6個(gè)約

數(shù)的是98.

【答案】98

【例10］如果你寫(xiě)出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍.現(xiàn)有一個(gè)整數(shù)

",除掉它的約數(shù)1和"外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)〃

有哪些？

【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)整數(shù)〃除掉約數(shù)1和〃外，最小約數(shù)為a,可得最大約數(shù)為15a,那么"=axl5a=15/=3x5x〃2.則

2

3、5、a都為，7的約數(shù).因?yàn)椤Ｊ窃碌某艏s數(shù)1外的最小約數(shù)，那么“43.當(dāng)a=2時(shí)，n=15x2=60;

當(dāng)a=3時(shí)，〃=15x32=135.所以滿足條件的整數(shù)”有60和135.

【答案】〃有60和135

模塊三、公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合

【例11】馬鵬和李虎計(jì)算甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積473；李虎把甲

數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積407,那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是.

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空

【解析】乙數(shù)是473與407的公約數(shù).473與407的最大公約數(shù)是11,11是質(zhì)數(shù)，它的兩位數(shù)約數(shù)只有11,所

以乙數(shù)是11,又4B4M,407=37x11,所以甲數(shù)是47,甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為：47x11=517.

【答案】甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為：47x11=517

【例12】用2、3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)碼組成兩個(gè)三位數(shù)4和3,那么A、8、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

最大可能是.

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空

【解析】540=22X33X5,A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是540的約數(shù)，而540的約數(shù)從大到小排列依

次為：540、270、180、135、108、90....由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不

是A和B的約數(shù).由于A和B不能同時(shí)被5整除，所以135也不是A和8的公約數(shù).540的約數(shù)除

去這些數(shù)后最大的為108,考慮108的三位數(shù)倍數(shù)，有108、216、324、432、540、648、756、864、

972,其中由2、3、4、5,6、7這六個(gè)數(shù)碼組成的有324、432和756,易知當(dāng)A和B一個(gè)為756、

另一個(gè)為324或432時(shí)，A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為108,所以A、B、540這三個(gè)數(shù)的最

大公約數(shù)最大可能是108.

【答案】108

【例13］現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111,這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答

【解析】只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù).只能從唯一的條件“它

們的和是1111”入手分析.三個(gè)數(shù)的和是1111,它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù).因?yàn)?111=11x101,

它的約數(shù)只能是1,11,101和1111,由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111,所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111,

1111不可能是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個(gè)數(shù)為101,101和909.所以所求

數(shù)是101.

【答案】101

【例14】10個(gè)非零不同自然數(shù)的和是1（）01,則它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)M為這10個(gè)非零不同自然數(shù)的最大公約數(shù)，那么這10個(gè)不同的自然數(shù)分別可以表示為：

Ma^Ma2,...,Mal（）,其中（a1（a2,...,a10）=1

那么根據(jù)題意有：

M（q+W+…+%o）=1001=7x11x13

因?yàn)?0個(gè)不同非零自然數(shù)的和最小為55,所以歷最大可以為13

【答案】13

【鞏固】100個(gè)非0自然數(shù)的和等于2006,那么它們的最大公約數(shù)最大可能值是（）?

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第8題，10分

【解析】2006=2x17x59,現(xiàn)在要求最大公約數(shù)最大，則讓整個(gè)一百個(gè)數(shù)的和除以約數(shù)后的商盡可能的小，且

還應(yīng)該為2006的一個(gè)約數(shù)，100個(gè)非0自然數(shù)的和最小且符合是2006的一個(gè)約數(shù)的為2x59=118。

所以，最大公約數(shù)的最大可能值為17。

【答案】17

【例15】三個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，和為126,則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為.

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽，11題

【解析】假設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為“，b,c,S-a＜b＜c,則a+8+c=126,要求的是（。力）+伍,。）+（。,。）的最

大值.

由于（。力）是。和6的最大公約數(shù)，根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過(guò)程，可以知道（。力）也是b-a和

”的最大公約數(shù)，而一個(gè)數(shù)的約數(shù)不可能比這個(gè)數(shù)大，所以（a⑼4a，（a,h）=（a,h-a）＜h-a.

同理可得，（&,c）＜c-b?,（a,c）＜a,（a,c）＜c-a.

由^a,b）＜a,（a,6）4h-a得到7（a,b）＜2a+5（b-d）=5h-3a：

由（6,c）4Z?,伍,c）4c-心得至I7（&,c）＜3/?+4（c-Z?）=4c-Z?；

由（a,c）4“，（a,c）4c-a得到7（a,c）47a;

三式相加可得7（a,i＞）+7（6,c）+7（a,c）45b-3a+4c-b+7a=4（a+0+c）,

44

故(q,b)+e，c)+(a,c)45(a+b+c)=5xl26=72.

也就是說(shuō)(a,b)+(h,c)+(a,c)的最大值為72.

要使等號(hào)成立，必須使五個(gè)不等式(a,6)4a,(a,b)&b-a,(b,c)4b,^b,c)<c-b,(a,c)4a中的

等號(hào)都成立,即(a,b)=a,(a,b)=b-a,也c)=b,(b,c)=c-b,(a,c)=a,得到b=2a,c—4a,

即a:6:c=l:2:4時(shí)等號(hào)成立.在本題中就是a,b,c分別為18,36,72時(shí)它們兩兩最大公約數(shù)之

和取得最大值72.

小結(jié)：本題的結(jié)論1:2:4較容易猜到，但證明起來(lái)較困難.另外可能會(huì)有人猜到a:A:c=1:2:3時(shí)取

到最大值，這是錯(cuò)誤的.

【答案】72

【例16】用19這九個(gè)數(shù)碼可以組成362880個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù).

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】4星【題型】解答

【解析】1+2++9=45,是9的倍數(shù)，因而9是這些數(shù)的公約數(shù).又123456789和123456798這兩個(gè)數(shù)只

差9,這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們的差的約數(shù)，即是9的約數(shù)，所以9是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).從

而9是這362880個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

【答案】9

【例17】少年宮手工組的小朋友們做工藝品“豬娃娃”。每個(gè)人先各做一個(gè)紙“豬娃娃”；接著每2個(gè)人合做一

個(gè)泥“豬娃娃”；然后每3個(gè)人合做一個(gè)布“豬娃娃”；最后每4個(gè)人合做一個(gè)電動(dòng)“豬娃娃”。這樣下

來(lái)，一共做了100個(gè)“豬娃娃”，由此可知手工組共有個(gè)小朋友。

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】設(shè)有如果有(1,2,3,4)=12個(gè)人，12個(gè)人做12個(gè)紙娃，6個(gè)泥娃，4個(gè)布娃，3個(gè)電動(dòng)娃，共25個(gè)，

做100要4個(gè)12人，即48人.

【答案】48人

[例18]一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的木棍，用紅色刻度線將它分成，〃等份，用黑色刻度將它分成"等份(1)設(shè)x

是紅色與黑色刻度線重合的條數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明：x+1是，"和〃的公約數(shù)；(2)如果按刻度線將該木棍鋸

成小段，一共可以得到170根長(zhǎng)短不等的小棍，其中最長(zhǎng)的小棍恰有100根。試確定m和〃的值。

【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【難度】5星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，14題，10分

【解析】①

—X—X…X----------X—X—X---X-----------=---------

23m23m2m

同樣，8==2

2n

?,,m+\n+111111111113+力

②由題段，A-Bn=--------------------------，,—=—+——

2m2n2m2n26mn13加？21313

,13?

所以，m=--------,

13+8

13?以+13-13)一13x13

m=--------=——:-----------------=13-

13+M13+%13+?

即13+〃是13x13的因數(shù)，13x13只有3個(gè)因數(shù)：1,13,13??所以,

甲追上乙的位置(3分)：③會(huì)判斷丙在甲追上乙的時(shí)刻所爬行的距離(3分)。

即13+〃是13x13的因數(shù)，13x13只有3個(gè)因數(shù)：1,13,13。所以,

13+n=132,^=132—13=156,m=12。

求出正整，叫”的另一方法：使工一B=竺±1一四=_!——L=—111

———=—

2m2n2m2n26冽甩13

IIL_aI

設(shè)"z=K〃，n=Kb,(a,/?)=1,代入上式，=-——'-=—.

KaKbKab13

K1_1

(h一〃)和凡。都互質(zhì)，一定整除K。記d=———是正整數(shù)，力>4則有：

b-a石一垣

由上式和〃>〃，b=13,a-\,d=l。所以，K=12,相和〃有唯一解，m二13,H=156O

甩+1

B=

2閥

」x2x...xEx2x，x...xQl=W

3.本講主要對(duì)課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

4.本講核心目標(biāo)：讓孩子對(duì)數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，

例如：(1)約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；

(2)整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu),

而且表達(dá)形式唯一”

娜喃撥

二、約數(shù)'公約數(shù)與最大公約數(shù)概念

(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù)，整數(shù)。能被整數(shù)b整除，a叫做6的倍數(shù)，b就叫做。的約數(shù);

(2)公約數(shù):如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的約數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；

(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個(gè)就是最大公約數(shù)；

(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外

1.求最大公約數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái).

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21：

2|1812

②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3|96,所以(12,18)=2x3=6;

32

③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用輟轉(zhuǎn)相

除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除

小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前

一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(如果最后的除數(shù)是1,那么原

來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的).

例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515+600=2315;600+315=1285:315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.

2.最大公約數(shù)的性質(zhì)

①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；

②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)：

③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)〃，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以”.

3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)

先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)4；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的

最大公約數(shù)6；即為所求.

a

4.約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系

(1)約數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的；

(2)公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)

二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)

(1)倍數(shù):一個(gè)整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個(gè)整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)

(2)公倍數(shù):在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍數(shù)就叫做它們的公倍數(shù)

(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個(gè)稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。

1.求最小公倍數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,?[231,252]=22x32x7x11=2772；

②短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2x3x3x2=36;

32

③3,句=廣，

(a,h)

2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)

①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積.

③兩個(gè)教具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).

3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟

先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)b;2即

「35_[3,5115

為所求.例如：[一,一1==—

412(4,12)4

注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：=，3=4

_23J(2,3)

4.倍數(shù)、公倍數(shù)'最小公倍數(shù)的關(guān)系

(1)倍數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的；

(2)最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)

三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)

1.兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

如果為A、8的最大公約數(shù)，且A=mi,B=mb,那么a、b互質(zhì),所以A、3的最小公倍數(shù)為〃？

所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：

M|AB

a.b

①AxB=maxmb=mx/nab,即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；

②最大公約數(shù)是A、B、A+B,A-8及最小公倍數(shù)的約數(shù).

2.兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

即(a力)x[a,〃]=ax。，此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。

3.對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為

a)奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)

b)偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168

性質(zhì)(3)不是一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾

個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積大

四、求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和

1.求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)

一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。

如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為2?x52義7,所以它的約數(shù)有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24個(gè)。(包括1和

1400本身)

約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過(guò)程是建立在開(kāi)篇講過(guò)

的數(shù)字“唯一分解定理''形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌

握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先告訴一個(gè)數(shù)有

多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來(lái)，或者是“構(gòu)造出可能的最值

2.求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和

一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最

高次賽求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。

如：21000=23X3X53X7,所以21000所有約數(shù)的和為

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記

憶即可。

模塊一、求最大公約數(shù)

【例19】把一張長(zhǎng)1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒(méi)有剩余，問(wèn)：能

裁成最大的正方形紙塊的邊長(zhǎng)是多少？共可裁成幾塊？

【鞏固】一個(gè)房間長(zhǎng)450厘米，寬330厘米.現(xiàn)計(jì)劃用方磚鋪地，問(wèn)需要用邊長(zhǎng)最大為多少厘米的方磚多少

塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿？

【例20】將一個(gè)長(zhǎng)和寬分別是是1833厘米和423厘米的長(zhǎng)方形分割成若干修正在方形，則正方形最少是

()個(gè)。

(A)78(B)7(C)5(D)6

【例21］如圖，某公園有兩段路，48=175米，8c=125米，在這兩段路上安裝路燈，要求4、B、C三點(diǎn)

各設(shè)一個(gè)路燈，相鄰兩個(gè)路燈間的距離都相等，則在這兩段路上至少要安裝路燈一個(gè).

【例22】把20個(gè)梨和25個(gè)蘋(píng)果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個(gè)，而蘋(píng)果還缺2個(gè)，一共最多有多少個(gè)

小朋友？

【例23】有336個(gè)蘋(píng)果，252個(gè)桔子，210個(gè)梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物

中，三樣水果各多少？

【鞏固】教師節(jié)那天，某校工會(huì)買(mǎi)了320個(gè)蘋(píng)果、240個(gè)桔子、200個(gè)鴨梨，用來(lái)慰問(wèn)退休的教職工，問(wèn)用這

些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋(píng)果、桔子、鴨梨的個(gè)數(shù)彼

此相等)？在每份禮物中，蘋(píng)果、桔子、鴨梨各多少個(gè)？

模塊二、約數(shù)

［例24］2004的約數(shù)中，比100大且比200小的約數(shù)是

【例25】過(guò)冬了，小白兔只儲(chǔ)存了180只胡蘿卜，小灰兔只儲(chǔ)存了120棵大白菜，為了冬天里有胡蘿卜吃,

小灰兔用十幾棵大白菜換了小白兔的一些胡蘿卜，這時(shí)他們儲(chǔ)存的糧食數(shù)量相等，則一棵大白菜

可以換只胡蘿卜。

【例26】一個(gè)自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111,這個(gè)自然數(shù)是.

【例27】一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)之和為10,那么此數(shù)為幾?

【例28］如果你寫(xiě)出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍.現(xiàn)有一個(gè)整數(shù)

”,除掉它的約數(shù)1和“外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)“

有哪些？

模塊三、公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合

【例29】馬鵬和李虎計(jì)算甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積473；李虎把甲

數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積407,那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是.

【例30］用2、3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)碼組成兩個(gè)三位數(shù)A和小那么A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

最大可能是.

【例31］現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111,這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？

［例32］10個(gè)非零不同自然數(shù)的和是1001,則它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？

【鞏固】100個(gè)非0自然數(shù)的和等于2006,那么它們的最大公約數(shù)最大可能值是（）o

【例33】三個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，和為126,則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為

【例34】用19這九個(gè)數(shù)碼可以組成362880個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù).

【例35］少年宮手工組的小朋友們做工藝品“豬娃娃”。每個(gè)人先各做一個(gè)紙“豬娃娃”；接著每2個(gè)人合做一

個(gè)泥“豬娃娃”；然后每3個(gè)人合做一個(gè)布“豬娃娃”；最后每4個(gè)人合做一個(gè)電動(dòng)“豬娃娃”。這樣下

來(lái)，一共做了100個(gè)“豬娃娃”，由此可知手工組共有個(gè)小朋友。

［例36］一根長(zhǎng)為心的木棍，用紅色刻度線將它分成，”等份，用黑色刻度將它分成〃等份（機(jī)＞〃）。（1）設(shè)x

是紅色與黑色刻度線重合的條數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明：x+1是m和〃的公約數(shù)；（2）如果按刻度線將該木棍鋸

成小段，一共可以得到170根長(zhǎng)短不等的小棍，其中最長(zhǎng)的小棍恰有100根。試確定m和〃的值。

一年級(jí)（上）

一.準(zhǔn)備課

1.數(shù)一數(shù)

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的認(rèn)識(shí)和加減法

1.1—5的認(rèn)識(shí)

2.比多少

3.第幾

4.分和合

5.加法

6.減法

7.0

四.認(rèn)識(shí)圖形（一）

認(rèn)識(shí)圖形

五.6—10的認(rèn)識(shí)和加減法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.連加、連減、加減混合

六.11—20各數(shù)的認(rèn)識(shí)

1.11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)

2.10加幾、十幾加幾和相應(yīng)的減法

七.認(rèn)識(shí)鐘表

認(rèn)識(shí)鐘表

八.20以內(nèi)的進(jìn)位加法

1.9加兒

2.8、7、9加幾

3.5、4、3、2加幾

4.解決問(wèn)題

一年級(jí)（下）

一.認(rèn)識(shí)圖形（二）

認(rèn)識(shí)圖形

二.2（）以內(nèi)的退位減法

1.十幾減9

2.十幾減8、7、6

3.十幾減5、4、3、2

4.解決問(wèn)題

三.分類與整理

分類與整理

四.IO。以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

1.數(shù)數(shù)、數(shù)的組成

2.數(shù)的順序、比較大小

3.解決問(wèn)題

4.整十?dāng)?shù)加一位數(shù)及相應(yīng)的減法

五.認(rèn)識(shí)人民幣

1.認(rèn)識(shí)人民幣

2.簡(jiǎn)單的計(jì)算

六.100以內(nèi)的加法和減法（一）

1.整十?dāng)?shù)加、減整十?dāng)?shù)

2.兩位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

3.兩位數(shù)減一位數(shù)、整十?dāng)?shù)

4.解決問(wèn)題

七.找規(guī)律

1.找規(guī)律（一）

2.找規(guī)律（二）

二年級(jí)（上）

一.長(zhǎng)度單位

1.厘米和米

2.線段

二.100以內(nèi)的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

3.連加、連減和加減混合

三.角的初步認(rèn)識(shí)

1.認(rèn)識(shí)角

2.認(rèn)識(shí)直角

3.認(rèn)識(shí)鈍角和銳角

四.表內(nèi)乘法（一）

1.乘法的初步認(rèn)識(shí)

2.5的乘法口訣

3.2、3、4的乘法口訣

4.6的乘法口訣

五.觀察物體（一）

觀察物體（一）

六.表內(nèi)乘法（二）

7、8、9的乘法口訣

七.認(rèn)識(shí)時(shí)間

認(rèn)識(shí)時(shí)間

八.數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

數(shù)學(xué)廣角一搭配（一）

二年級(jí)（下）

一.數(shù)據(jù)收集整理

數(shù)據(jù)收集整理

二.表內(nèi)除法（一）

1.除法的初步認(rèn)識(shí)

2.用2-6的乘法口訣求商

3.解決問(wèn)題

三.圖形的運(yùn)動(dòng)（一）

1.軸對(duì)稱圖形

2.平移和旋轉(zhuǎn)

四.表內(nèi)除法（二）

1.用7、8、9的乘法口訣求商

2.解決問(wèn)題

五.混合運(yùn)算

混合運(yùn)算

六.有余數(shù)的除法

1.有余數(shù)的除法的意義和計(jì)算

2.解決問(wèn)題

七.萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

1.1000以內(nèi)數(shù)的識(shí)

2.10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

3.整百、整千數(shù)加減法

八.克和千克

克和千克

九.數(shù)學(xué)廣角一推理

生活中的推理

三年級(jí)（上）

一.時(shí)、分、秒

1.秒的認(rèn)識(shí)

2.時(shí)間的計(jì)算

二.萬(wàn)以內(nèi)的加法和減法（一）

1.口算兩位數(shù)加減兩位數(shù)

2.幾百兒十加減幾百幾十

3.三位數(shù)加減三位數(shù)的估算

三.測(cè)量

1.毫米、分米的認(rèn)識(shí)

2.千米的認(rèn)識(shí)

3.噸的認(rèn)識(shí)

四?萬(wàn)以內(nèi)的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

五.倍的認(rèn)識(shí)

倍的認(rèn)識(shí)

六.多位數(shù)乘一位數(shù)

1.口算乘法

2.筆算乘法

3.含0的乘法

4.估算與解決問(wèn)題

七.長(zhǎng)方形和正方形

1.四邊形

2.周長(zhǎng)、長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)

八.分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)

1.分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）

2.分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）

3.分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算

4.分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

九.數(shù)學(xué)廣角一一集合

集合思想

三年級(jí)（下）

一位置與方向（一）

1認(rèn)識(shí)東、南、西、北四個(gè)方向

2認(rèn)識(shí)東北、東南、西北、西南四個(gè)方向

二除數(shù)是一位數(shù)的除法