2024年山東省煙臺市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024年山東省煙臺市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的。1．下列實數(shù)中的無理數(shù)是（）A． B．3.14 C． D．2．下列計算結果為a6的是（）A．a2?a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）33．如圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（）A．① B．② C．③ D．④4．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（）A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b5．目前全球最薄的手撕鋼產自中國，厚度只有0.015毫米，約是A4紙厚度的六分之一．已知1毫米＝1百萬納米，0.015毫米等于多少納米？將結果用科學記數(shù)法表示為（）A．0.15×103納米 B．1.5×104納米 C．15×10﹣5納米 D．1.5×10﹣6納米6．射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖，其成績的方差分別記為S甲2和S乙2，則S甲2和S乙2的大小關系是（）≈A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定7．某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的三等分點，連接AE并延長交CD于點G，連接EF，F(xiàn)G．若∠AGF＝α，則∠FAG用含α的代數(shù)式表示為（）A． B． C． D．9．《周髀算經》是中國現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖．問織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同，第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完工，問一共織了多少布？（）A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺10．如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF＝2cm，∠E＝60°，現(xiàn)將菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止．在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重疊部分的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間的函數(shù)關系圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍為．12．關于x的不等式m﹣≤1﹣x有正數(shù)解，m的值可以是（寫出一個即可）．13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的兩根為m，n，則3m2﹣4m+n2的值為．14．如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作，剪如圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為．15．如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E為邊CD的中點，F(xiàn)為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，連接AD'，BD'，則△ABD′面積的最小值為．16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列結論：①abc＞0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有兩個相等的實數(shù)根；③當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④若點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2；⑤滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞3．其中正確結論的序號為．三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）17．（6分）利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：，若m是其顯示結果的平方根，先化簡：（+）÷，再求值．18．（7分）“山海同行，艦回煙臺”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學活動．為了解學生參與情況，隨機抽取部分學生對研學活動時長（用t表示，單位：h）進行調查．經過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：0≤t＜2；B組：2≤t＜4；C組：4≤t＜6；D組：6≤t＜8），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）請補全條形統(tǒng)計圖；（2）扇形統(tǒng)計圖中，a的值為，D組對應的扇形圓心角的度數(shù)為；（3）D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機抽取兩人進行研學宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．（8分）根據(jù)手機的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，14°≤α≤29°；夏至日時，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側都無法獲得太陽光照射．現(xiàn)準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓AB共11層，乙樓CD共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米．AE為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數(shù)據(jù)要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇日（填冬至或夏至）時，α為（填14°，29°，43°，76°中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數(shù)據(jù)進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．20．（8分）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”．康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售．根據(jù)市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？（2）全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？21．（9分）如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（，a）．將正比例函數(shù)圖象向下平移n（n＞0）個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足BE：CE＝3：2，過點B作BF⊥x軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線BC與BG關于直線BF成軸對稱，連接CG．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求n的值及△BCG的面積．22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點，連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°得線段ED，連接BE．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段BC上時，線段BE與CD的數(shù)量關系為；【類比探究】（2）當點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，請直接寫出sin∠ECD的值．23．（11分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O，點I為△ABC的內心，連接CI并延長交⊙O于點D，E是上任意一點，連接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度數(shù)；（2）找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周長．24．（13分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OC＝OA，AB＝4，對稱軸為直線l1：x＝﹣1．將拋物線y1繞點O旋轉180°后得到新拋物線y2，拋物線y2與y軸交于點D，頂點為E，對稱軸為直線l2．（1）分別求拋物線y1和y2的表達式；（2）如圖1，點F的坐標為（﹣6，0），動點M在直線l1上，過點M作MN∥x軸與直線l2交于點N，連接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；（3）如圖2，點H的坐標為（0，﹣2），動點P在拋物線y2上，試探究是否存在點P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年山東省煙臺市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的。1．下列實數(shù)中的無理數(shù)是（）A． B．3.14 C． D．【分析】無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：是分數(shù)，3.14是有限小數(shù)，＝4是整數(shù)，它們不是無理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；故選：C．【點評】本題考查無理數(shù)的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．2．下列計算結果為a6的是（）A．a2?a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的除法，合并同類項，冪的乘方，運算法則計算即可．【解答】解：A．a2?a3＝a2+3＝a5，故選項不符合題意；B．a12÷a2＝a12﹣2＝a10，故選項不符合題意；C．a3+a3＝2a3，故選項不符合題意；D．（a2）3＝a2×3＝a6，故選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，冪的乘方，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則．3．如圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖和軸對稱圖象與中心對稱圖形的定義，可得答案．【解答】解：若取走標有①的小正方體，則左視圖只有上下兩個正方形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項A符合題意．故選：A．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖以及軸對稱圖象與中心對稱圖形的定義，關鍵是從左邊看得到的圖形是左視圖．4．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（）A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b【分析】如圖所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，所以b+c＜3，a﹣c＜0，﹣2a＞﹣2b．【解答】解：如圖所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，故C不符合題意，∴b+c＜3，故A不符合題意，a﹣c＜0，故B符合題意，﹣2a＞﹣2b，故D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，關鍵是從數(shù)軸上提取數(shù)學信息．5．目前全球最薄的手撕鋼產自中國，厚度只有0.015毫米，約是A4紙厚度的六分之一．已知1毫米＝1百萬納米，0.015毫米等于多少納米？將結果用科學記數(shù)法表示為（）A．0.15×103納米 B．1.5×104納米 C．15×10﹣5納米 D．1.5×10﹣6納米【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：由題意可得1毫米＝1百萬納米＝106納米，則0.015毫米＝1.5×10﹣2×106納米＝1.5×104納米，故選：B．【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)及較小的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵．6．射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖，其成績的方差分別記為S甲2和S乙2，則S甲2和S乙2的大小關系是（）≈A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．無法確定【分析】直接根據(jù)圖表數(shù)據(jù)的波動大小進行判斷即可．【解答】解：圖表數(shù)據(jù)可知，甲數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較大，乙數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較小，即甲的波動性較大，即方差大，∴S甲2＞S乙2．故選：A．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．7．某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)角平分線的定義即可得到結論．【解答】解：第一個圖形射線OP為∠AOB的平分線；第二個圖形射線OP為∠AOB的平分線；第三個圖形射線OP為∠AOB的平分線；第四個圖形射線OP為∠AOB的平分線；故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的定義，正確地識別圖形是解題的關鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的三等分點，連接AE并延長交CD于點G，連接EF，F(xiàn)G．若∠AGF＝α，則∠FAG用含α的代數(shù)式表示為（）A． B． C． D．【分析】先證明△EOF∽△DOC，得出∠OFE＝45°，再證明△ABE∽△GDE，得出，由此推出△DEG≌△CFG（SAS），得到GE＝GF，據(jù)此求解即可．【解答】解：設AC與BD的交點為O，∵正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的三等分點，∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝∠DOC，，∴△EOF∽△DOC，∴∠OFE＝∠OCD＝45°，∵點E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的三等分點，∴，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABE∽△GDE，∴，∴，∴△DEG≌△CFG（SAS），∴GE＝GF，∴，∴，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，掌握性質與判定方法是解題的關鍵．9．《周髀算經》是中國現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖．問織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同，第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完工，問一共織了多少布？（）A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺【分析】設每天減少x尺布，因為第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完工，可得5﹣29x＝1，解得x的值即得每天減少多少尺布，將30天織的布相加可得30天一共織了多少布．【解答】解：設每天減少x尺布，∵第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完工，∴5﹣29x＝1，解得：x＝，∴5+5﹣+5﹣+……+1＝5×29+1﹣×＝90（尺），故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意列方程求解．10．如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF＝2cm，∠E＝60°，現(xiàn)將菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止．在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重疊部分的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間的函數(shù)關系圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】先求得菱形的面積為cm2，進而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得重疊部分的面積與運動時間的函數(shù)關系式，結合選項，即可求解．【解答】解：如圖所示，設EG，HF交于點O，∵菱形EFGH，∠E＝60°，∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°，∴△HFG是等邊三角形，∵cm，∠E＝60°，∴∠OEF＝30°，∴cm，∴（cm2），當0≤t≤3時，重合部分為△MNG，如圖所示，依題意，△MNG為等邊三角形，運動時間為t，則（cm），∴（cm2）；當3＜t≤6時，如圖所示，依題意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），則（cm），∴（cm2），∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝（cm2）；∵EG＝6cm＜BC，∴當6＜t≤8時，cm2；當8＜t≤11時，同理可得，（cm2）；當11＜t≤14時，同理可得，（cm2）；綜上所述，當0≤t≤3時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當3＜t≤6時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當6＜t≤8時，函數(shù)圖象為一條線段，當8＜t≤11時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當11＜t≤14時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質，動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質，分類討論是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍為x＞1．【分析】根據(jù)二次根式及分式有意義的條件即可求得答案．【解答】解：∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，∴x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案為：x＞1．【點評】本題考查二次根式及分式有意義的條件，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．12．關于x的不等式m﹣≤1﹣x有正數(shù)解，m的值可以是0（答案不唯一）（寫出一個即可）．【分析】解含m的一元一次不等式，根據(jù)題意求得m的取值范圍，然后寫出一個符合題意的m的值即可．【解答】解：原不等式整理得：x≤1﹣m，解得：x≤2﹣2m，∵原不等式有正數(shù)解，∴2﹣2m＞0，解得：m＜1，則m的值可以是0，故答案為：0（答案不唯一）．【點評】本題考查解一元一次不等式，結合已知條件求得m的范圍是解題的關鍵．13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的兩根為m，n，則3m2﹣4m+n2的值為6．【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關系求解．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的兩根為m，n，∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣，∴3m2﹣4m+n2＝2m2﹣4m+m2+n2＝1+（m+n）2﹣2mn＝1+22﹣2×（﹣）＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．14．如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作，剪如圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為．【分析】根據(jù)正六邊形的性質求出陰影部分扇形的圓心角度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的邊角關系求出半徑，由弧長的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，過點A作AM⊥BF，垂足為M，則BM＝FM，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝∠E＝＝120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°，∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，∴BM＝AB＝3，∴BF＝2BM＝6，設這個圓錐的底面半徑為r，由題意可得，2πr＝，解得r＝．故答案為：．【點評】本題考查正多邊形和圓，弧長的計算，掌握正六邊形的性質，等腰三角形的性質以及弧長的計算方法是正確解答的關鍵．15．如圖，在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E為邊CD的中點，F(xiàn)為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，連接AD'，BD'，則△ABD′面積的最小值為20﹣16．【分析】先確定點D'是以E為圓心，CD為直徑圓周上的一點，過點E作EH⊥AB交直線AB于點H，交⊙E于點G，過點D'作D'M⊥AB于點M，連接EM，推出∴△ABD′面積＝4D'M，再求出D'M的最小值即可解決問題．【解答】解：∵在?ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8，∵E為邊CD的中點，F(xiàn)為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，∴D'E＝DE＝CE＝CD＝4，∴點D'是以E為圓心，CD為直徑圓周上的一點，作出⊙E，如圖，過點E作EH⊥AB交直線AB于點H，交⊙E于點G，過點D'作D'M⊥AB于點M，連接EM，∵△ABD′面積＝AB?D'M，AB＝8，∴△ABD′面積＝4D'M，要求△ABD′面積的最小值，只要求D'M的最小值即可，∵D'M＝D'M+D'E﹣4≥EM﹣4≥EH﹣4，∴D'M的最小值為EH﹣4，過點C作CN⊥AB于點N，則EH＝CN，在Rt△BCN中，∵BC＝10，∠ABC＝60°，CN＝BC?sin60°＝10×＝5，∴EH＝5，∴D'M的最小值為5﹣4，∴△ABD′面積＝4（5﹣4）＝20﹣16，故答案為：20﹣16．【點評】本題考查翻折變換的性質，平行四邊形的性質，平行線間的距離處處相等，圓的確定，直線與圓的位置關系，兩點之間線段最短，垂線段最短，三角函數(shù)定義，找到△ABD′面積的最小值時，AB邊上的高的位置是解題的關鍵．16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列結論：①abc＞0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有兩個相等的實數(shù)根；③當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④若點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2；⑤滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞3．其中正確結論的序號為①②④．【分析】利用待定系數(shù)法求出a、b、c的值即可判斷①；利用根的判別式即可判斷②；利用二次函數(shù)的性質可判斷③；利用對稱性可判斷④；畫出函數(shù)圖形可判斷⑤．【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：，解得∴abc＞0，故①正確；∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，∴y＝﹣x2﹣2x+8，當y＝9時，﹣x2﹣2x+8＝9，∴x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有兩個相等的實數(shù)根，故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，9），又∵a＜0，∴當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大；當x＞﹣1時，y隨x的增大而減??；當x＝﹣1時，函數(shù)取最大值9，∵x＝﹣3與x＝1時函數(shù)值相等，等于5，∴當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y≤9，故③錯誤；∵，∴點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）關于對稱軸x＝﹣1對稱，∴y1＝y(tǒng)2，故④正確；由ax2+（b+1）x+c＜2得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，畫函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2圖象如下：由，解得，∴A（2，0），B（﹣3，5），由圖形可得，當x＜﹣3或x＞2時，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤錯誤；綜上，正確的結論為①②④，故答案為：①②④．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）17．（6分）利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：，若m是其顯示結果的平方根，先化簡：（+）÷，再求值．【分析】先利用分式的相應的法則對式子進行化簡，再根據(jù)計算器計算出m的值，代入運算即可．【解答】解：（+）÷＝（﹣）?＝?＝，根據(jù)計算器可得m＝±＝±＝±2，∵4﹣2m≠0，∴m≠2，當m＝﹣2時，原式＝＝﹣．【點評】本題主要考查分式的化簡求值和計算器—數(shù)的開方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．18．（7分）“山海同行，艦回煙臺”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學活動．為了解學生參與情況，隨機抽取部分學生對研學活動時長（用t表示，單位：h）進行調查．經過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：0≤t＜2；B組：2≤t＜4；C組：4≤t＜6；D組：6≤t＜8），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）請補全條形統(tǒng)計圖；（2）扇形統(tǒng)計圖中，a的值為32，D組對應的扇形圓心角的度數(shù)為28.8°；（3）D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機抽取兩人進行研學宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）用A組的人數(shù)除以它所占的百分比得到調查的總人數(shù)，然后求出C組的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；（2）用B組的人數(shù)除以總人數(shù)，求出a，再用360°乘以D組所占的百分比，從而得出D組對應的扇形圓心角的度數(shù)；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，找出所選的兩人恰好是一名男生和一名女生的結果數(shù)，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）抽取額的人數(shù)有：10÷20%＝50（人），C組的人數(shù)有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），補全統(tǒng)計圖如下：（2）a%＝＝32%，即a＝32；D組對應的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×＝28.8°；故答案為：32，28.8°；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數(shù)，其中所選的兩人恰好是一名男生和一名女生的結果數(shù)為8，所以所選的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果數(shù)n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計圖．19．（8分）根據(jù)手機的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，14°≤α≤29°；夏至日時，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側都無法獲得太陽光照射．現(xiàn)準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓AB共11層，乙樓CD共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米．AE為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數(shù)據(jù)要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇冬至日（填冬至或夏至）時，α為14°（填14°，29°，43°，76°中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數(shù)據(jù)進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．【分析】任務一：根據(jù)題意直接求解即可；任務二：過E作EF⊥AB于F，利用正切定義求得．【解答】解：任務一：根據(jù)題意，要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，只需α為冬至日時的最小角度，即α＝14°，故答案為：冬至，14°；任務二：過E作EF⊥AB于F，則∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，在Rt△AFE中，，∴AF＝EF?tan14°≈54×0.25＝13.5（米），∵AB＝11×3.3＝36.3（米），∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），∴22.8÷3.3≈7（層），答：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意是解答的關鍵．20．（8分）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”．康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售．根據(jù)市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？（2）全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？【分析】（1）根據(jù)單價每降低10元，每天可多售出4輛．可得單價每降低1元，每天可多售出0.4輛，那么單價每降低x元，每天可多售出0.4x輛．銷售利潤＝每臺輪椅的銷售利潤×（原銷售量+增加的銷售量），把得到的函數(shù)關系式整理為頂點式，進而根據(jù)每輛輪椅的利潤不低于180元得到自變量的取值范圍，代入得到函數(shù)關系式可得最大利潤；（2）取y＝12160，代入（1）中得到的函數(shù)關系式，求得合適的x的解即可．【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×）＝﹣0.4x2+20x+12000．＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．∵200﹣x≥180，∴x≤20．∴當x＝20時，利潤最大，最大利潤為：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．答：y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每輛輪椅降價20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為12240元；（2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+122500.4（x﹣25）2＝12250﹣121600.4（x﹣25）2＝90（x﹣25）2＝225．解得：x1＝40（不合題意，舍去），x2＝10．∴售出輪椅的輛數(shù)為：60+4×＝64（輛）．答：售出64輛輪椅．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用．得到降價后的銷售量是解決本題的關鍵；根據(jù)取值范圍得到函數(shù)的最大值是解決本題的易錯點．21．（9分）如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（，a）．將正比例函數(shù)圖象向下平移n（n＞0）個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足BE：CE＝3：2，過點B作BF⊥x軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線BC與BG關于直線BF成軸對稱，連接CG．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）求n的值及△BCG的面積．【分析】（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）作BG⊥y軸，CH⊥y軸，正比例函數(shù)向下平移n個單位后得到直線BC的解析式為y＝x﹣n．證明△GBE∽△HCE后利用相似比得到點B（3a，），則C（﹣2a，），根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征列出方程組求出a、n，得到E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），依據(jù)S△BCG＝S△BDG+S△CDG計算即可．【解答】解：（1）∵點A（，a）在直線y＝x的圖象上，∴A（，），∵點A（，）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝6，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）正比例函數(shù)向下平移n個單位后得到直線BC的解析式為y＝x﹣n．如圖，作BG⊥y軸，CH⊥y軸，∴BG∥CH，∴△GBE∽△HCE，∵BE：CE＝3：2，∴，設點B（3a，），則C（﹣2a，），∵點BC在直線y＝x+n的圖象上，，解得，∴直線BC解析式為y＝x+1，∵直線BC與BG關于直線BF成軸對稱，∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），∴GD＝4，∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝＝10．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式是關鍵．22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點，連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°得線段ED，連接BE．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段BC上時，線段BE與CD的數(shù)量關系為；【類比探究】（2）當點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，請直接寫出sin∠ECD的值．【分析】（1）過點E作EM⊥CB延長線于點M，利用一線三垂直全等模型證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；（2）同（1）中方法證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；（3）過點E作EM⊥CB延長線于點M，求出EM，CE即可．【解答】解：（1）如圖，過點E作EM⊥CB延長線于點M，由旋轉得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，∴BM＝EM，∵EM⊥CB，∴，故答案為：；（2）補全圖形如圖，，理由如下：過點E作EM⊥CB延長線于點M，由旋轉得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴BM＝DM+BD＝AC+BD＝BC+BD＝CD，∴BM＝EM，∵EM⊥CB，∴；（3）如圖，過點E作EM⊥CB延長線于點M，由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，∴CM＝CD+DM＝3，∴，∴．【點評】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．23．（11分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O，點I為△ABC的內心，連接CI并延長交⊙O于點D，E是上任意一點，連接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度數(shù)；（2）找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周長．【分析】（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圓內接四邊形的對角互補求解即可；（2）連接AI，由三角形的內心性質得到內心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圓周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性質證得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角對等邊可得結論；（3）過I分別作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分別為Q、F、P，根據(jù)內切圓的性質和切線長定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，進而可求解．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，∵四邊形ABEC是⊙O內接四邊形，∴∠CEB+∠CAB＝180°，∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；（2）DI＝AD＝BD，連接AI，∵點I為△ABC的內心，∴∠CAI＝∠BAI，，∴，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD；（3）過I分別作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分別為Q、F、P，∵點I為△ABC的內心，即為△ABC的內切圓的圓心，∴Q、F、P分別為該內切圓與△ABC三邊的切點，∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，∴CF＝CI?cos45°＝2＝CP，∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，∴，∴△ABC的周長