重慶市九校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

重慶市九校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知中，，，為邊上的中點(diǎn)，則()A．0 B．25 C．50 D．1002．已知函數(shù)f（x），則f[f（2）]＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．從A，B，C三個同學(xué)中選2名代表，則A被選中的概率為（）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列中，若，且成等差數(shù)列，則（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．200 B．210 C．400 D．4106．若函數(shù)（）有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知四棱錐中，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A． B．C． D．9．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法，求某多項(xiàng)式值的一個實(shí)例，若輸入的值分別為4和2，則輸出的值為（）A．32 B．64 C．65 D．13010．已知，，，則的最小值是（）A． B．4 C．9 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知遞增數(shù)列共有項(xiàng)，且各項(xiàng)均不為零，，如果從中任取兩項(xiàng)，當(dāng)時，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，則數(shù)列的各項(xiàng)和_____．12．兩圓交于點(diǎn)和，兩圓的圓心都在直線上，則____________；13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，且（），記，則的值是________.14．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個點(diǎn)D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）15．已知，，若，則______16．若點(diǎn)，關(guān)于直線l對稱，那么直線l的方程為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大?。唬?）求的值.18．求過三點(diǎn)的圓的方程.19．如圖，在三棱錐中，分別為棱上的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，求證：平面平面.20．已知圓的半徑是2，圓心為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的最大值等于7，求點(diǎn)的坐標(biāo).21．如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、F在邊BC、AC上，且，，EF交AD于點(diǎn)P.(Ⅰ)若∠BAC=，求與所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，故可知其長度，由向量運(yùn)算法則，對式子進(jìn)行因式分解，由平行四邊形法則，求出向量，由長度計算向量積.【詳解】由勾股定理逆定理可知三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，所以，原式=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積，數(shù)量積問題一般要將兩個向量轉(zhuǎn)化為已知邊長和夾角的兩向量，但本題經(jīng)化簡能得到共線的兩向量所以直接根據(jù)模的大小計算即可.2、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求解即可.【詳解】由題.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值,屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】

先求出基本事件總數(shù)，被選中包含的基本事件個數(shù)，由此能求出被選中的概率．【詳解】從，，三個同學(xué)中選2名代表，基本事件總數(shù)為：，共個，被選中包含的基本事件為：，共2個，被選中的概率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查列舉法和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，列出方程可得q的值，可得的值.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（），成等差數(shù)列，，，，解得：，，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，熟悉其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由題，，又因?yàn)樗援?dāng)時，可解的當(dāng)時，，與相減得當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為正整數(shù)時，，則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)有數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于一般題．6、A【解析】

函數(shù)（）有兩個不同的零點(diǎn)等價于函數(shù)在均有一個解，再解不等式即可.【詳解】解：因?yàn)椋珊瘮?shù)（）有兩個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)在均有一個解，則，解得：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，重點(diǎn)考查了分式不等式的解法，屬中等題.7、D【解析】

因?yàn)闉榈妊苯侨切危?故,則點(diǎn)到平面的距離為,而底面正方形的中心到邊的距離也為,則頂點(diǎn)正方形中心的距離,正方形的外接圓的半徑為,故正方形的中心是球心,則球的半徑為,所以該幾何體外接球的表面積,應(yīng)選D．8、D【解析】

先由題意設(shè)所求直線為：，再由直線過點(diǎn)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，因此，可設(shè)所求直線為：，又所求直線過點(diǎn)，所以，解得，所求直線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見形式即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】程序運(yùn)行循環(huán)時變量值為：；；；，退出循環(huán)，輸出，故選C．10、C【解析】

利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值．【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原則，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

∵當(dāng)時，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，而數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是單調(diào)性的利用以及累加法的運(yùn)用，有一定難度；根據(jù)題中條件從中任取兩項(xiàng)，當(dāng)時，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，結(jié)合遞增數(shù)列必有，，利用累加法可得結(jié)果.12、【解析】

由圓的性質(zhì)可知，直線與直線垂直，，直線的斜率，，解得.故填：3.【點(diǎn)睛】本題考查了相交圓的幾何性質(zhì)，和直線垂直的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、3【解析】

由已知條件推導(dǎo)出是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此能求出的值.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，且（），，.即，.是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點(diǎn)和不是中點(diǎn)兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點(diǎn)，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當(dāng)為中點(diǎn)時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當(dāng)不是中點(diǎn)時，不與垂直，設(shè)此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當(dāng)為中點(diǎn)時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．15、【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出．【詳解】由得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用．16、【解析】

利用直線垂直求出對稱軸斜率，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】求得，∵點(diǎn)，關(guān)于直線l對稱，∴直線l的斜率1，直線l過AB的中點(diǎn)，∴直線l的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，考查了直線點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進(jìn)而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．詳解：（1）∵，∴，∵為銳角，∴；（2）由余弦定理得：.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.18、【解析】

設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】設(shè)圓的方程為經(jīng)過，所以，解得：，所以圓的方程為.【點(diǎn)睛】此題考查求圓的方程，根據(jù)圓上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程可以待定系數(shù)法求解，也可根據(jù)幾何意義分別求出圓心和半徑.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理，在平面中找的平行線，轉(zhuǎn)化為線線平行的證明；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為平面.【詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，；又平面，平面，平面.（2），，；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的證明，難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法：結(jié)合已知條件，選定其中一個面為垂面，在另外一個面中找垂線，不行再換另外一個面.20、（1）；（2）或．【解析】

（1）直接根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，寫出圓的方程即可；（2）設(shè)．由等于1．即，解得即可．【詳解】解：（1）已知圓的半徑是2，圓心為．圓的方程：；（2）設(shè)．的最大值等于7，等于1．．解得或，即或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)以AC所在直線為x軸，過B且垂直于