2023年高考分類題庫考點5 函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的奇偶性與周期性

考點5函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的奇偶性與周期性4.(2023·新高考Ⅰ卷·T4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)【命題意圖】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,考查學(xué)生的邏輯推理能力.【解析】選D.因為y=2t在R上是增函數(shù),所以函數(shù)t=x(x-a)=(x-a2)2-a24在(0,1)上單調(diào)遞減,所以a2≥111.(2023·新高考Ⅰ卷·T11)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則()A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)為偶函數(shù) D.x=0為f(x)的極小值點【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)求值、奇偶性的判斷,以及函數(shù)極值點的求解,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,特值法求解問題的能力.【解析】選ABC.對于A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正確;對于B,令x=1,y=1,f(1×1)=12f(1)+12f(1)=2f(1)?f(1)=0,所以B正確;對于C,x=-1,y=-1,f((-1)×(-1))=(-1)2f(-1)+(-1)2f(-1)=2f(-1)?f(-1)=0,再令x=-1,y=x,f((-1)×x)=x2f(-1)+(-1)2f(x)?f(-x)=f(x),所以C正確;對于D,若函數(shù)f(x)=0為常函數(shù),滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常函數(shù)沒有極值點,所以D錯誤.19.(2023·新高考Ⅰ卷·T19)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當a>0時,f(x)>2lna+32【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式,考查學(xué)生的分類討論思想,綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力.【解析】(1)由f(x)=a(ex+a)-x,得f'(x)=aex-1.①若a≤0,則aex≤0,f'(x)=aex-1<0,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.②若a>0,則f'(x)在R上單調(diào)遞增.令f'(x)=aex-1=0,則x=ln1a=-lna,所以當x∈(-∞,-lna)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(-lna,+∞)時,f'(x)>0,所以f(x)單調(diào)遞增綜上所述,若a≤0,f(x)在R上單調(diào)遞減;若a>0,當x∈(-∞,-lna)時,f(x)單調(diào)遞減,當x∈(-lna,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增.(2)由(1)可得,a>0時,f(x)在x=-lna時取得最小值,f(x)min=f(-lna)=1+a2+lna,令g(a)=f(-lna)-2lna+32=1+a2+lna-2lna-32=a2-lna-12則g'(a)=2a-1a,令h(a)=2a-1a,h'(a)=2+1a2>0,所以g'(令g'(a)=2a-1a=0,得2a2-1=0,從而得a=22(負根舍去當0<a<22時,g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減;當a>22時,g'(a)>0,g(a)當a=22時,g'(a)=0,g(a)取得最小值,g22=222-ln22-12=-ln22=ln2>ln1=0,所以g(則f(x)min>2lna+32,即f(x)>2lna+34.(2023·新高考Ⅱ卷·T4)若函數(shù)f(x)=(x+a)ln2x-12x+1為偶函數(shù),則a=A.-1 B.0 C.12 D.【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的奇偶性.利用兩個奇函數(shù)的乘積為偶函數(shù)進行求解.【解析】選B.因為g(x)=ln2x-12x+1是奇函數(shù),而f(x)=(x+a)g(x)為偶函數(shù),有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故6.(2023·新高考Ⅱ卷·T6)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為()A.e2 B.e C.e-1 D.e-2【命題意圖】本題以函數(shù)的單調(diào)性為命題背景,考查導(dǎo)數(shù)基本應(yīng)用及構(gòu)造函數(shù)解決含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合問題.【解題指導(dǎo)】根據(jù)f'(x)=aex-1x≥0在(1,2)上恒成立,再分離參數(shù)求最值【解析】選C.由題意可知f'(x)=aex-1x≥0在區(qū)間(1,2)上恒成立,即a≥1xex設(shè)g(x)=xex,則在x∈(1,2)上恒有g(shù)'(x)=(x+1)ex>0,所以當x∈(1,2)時,g(x)>g(1)=e,則a≥e-1.15.(2023·天津高考)若函數(shù)f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為.

【解析】①當a=0時,f(x)=-2x-|x2+1|=-2x-x2-1,不滿足題意;②當方程x2-ax+1=0滿足a≠0且Δ≤0時,有a2-4≤0即a∈[-2,0)∪(0,2],此時,f(x)=(a-1)x2+(a-2)x-1,當a=1時,不滿足;當a≠1時,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2>0,滿足;③當方程x2-ax+1=0滿足a≠0且Δ>0時,a∈(-∞,-2)∪(2,+∞),記x2-ax+1的兩根為m,n,不妨設(shè)m<n,則f(x)=[(a當a>2時,x1=1a-1,x2=-1且x∈(-∞,m]∪[n但此時x12-ax1+1=-a+2(a-x3=1a+1,x4=1,且x∈(m,但此時x32-ax3+1=a+2(a+1)故僅有1與-1兩個解,于是,a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)4.(2023·全國乙卷·理科·T4)已知f(x)=xexeax-1是偶函數(shù),A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.因為f(x)=xexeax-1為偶函數(shù),則f(x)-f(-x)=xe又因為x不恒為0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,則x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.11.(2023·全國甲卷·文科·T11)已知函數(shù)f(x)=e-(x-1)2.記a=f22,b=f32,c=f62,則A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【解析】選A.令g(x)=-(x-1)2,則g(x)開口向下,對稱軸為x=1,因為62-1-1-32=6+32而(6+3)2-42=9+62-16=62所以62-1-1-32=6+32-4即62-1>1-3由二次函數(shù)性質(zhì)知g62<g32,因為62-1-1-22=6+22而(6+2)2-42=8+43-16=43-8=4(3-即62-1<1-2所以g62>g22,綜上,g22<g62<g32,又y=ex為增函數(shù),故a<c<b,即b>c>a.13.(2023·全國甲卷·理科·T13)若y=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數(shù),則a=.

【解析】因為y=f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2=(x-1)2+ax+cosx為偶函數(shù),定義域為R,所以