2023屆江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)三校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．2．已知，，，若，則（）A． B． C． D．3．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．6．已知符號(hào)函數(shù)sgnxf（x）是定義在R上的減函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]7．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，8．已知集合，，則（）A． B． C． D．9．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．10．如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有的點(diǎn)()A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變11．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．14．袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，四個(gè)黃球，從中任取四個(gè)球，則其中三種顏色的球均有的概率為_(kāi)_______.15．已知△的三個(gè)內(nèi)角為，，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)__________.16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)，高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再?gòu)倪@10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.（1）設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－，0）、F2（，0）.點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過(guò)點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.22．（10分）已知函數(shù)（1）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，另外通過(guò)二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)．2、B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．3、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.4、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時(shí)，D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間，A，B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).5、C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的減函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，x＜ax，則有f（x）＞f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此時(shí)sgn[g（x）]＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，x＝ax，則有f（x）＝f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此時(shí)sgn[g（x）]＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，x＞ax，則有f（x）＜f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此時(shí)sgn[g（x）]＝﹣1，綜合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.7、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.8、B【解析】

求出集合，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.10、A【解析】

由函數(shù)的最大值求出，根據(jù)周期求出，由五點(diǎn)畫(huà)法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出，進(jìn)而求出的解析式，與對(duì)比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知，，又，，又，，，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得到的圖象，再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）即可.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系，屬于中檔題.11、D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．12、B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由于直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，因此過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率．注意對(duì)稱性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義知，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，從而．設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱性還有滿足題意．，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵．14、【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，1個(gè)白球和2個(gè)黃球，所以包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.【詳解】由，，成等差數(shù)列所以所以又化簡(jiǎn)可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)又，所以令，則當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，則在遞增，在遞減所以由，所以所以的最小值為最大值為故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求出，考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.16、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.18、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人，該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題19、（1）；（2）m－n－1＝0【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過(guò)M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關(guān)系式.試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝故橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±不妨設(shè)A（1，），B（1，－）因?yàn)閗1＋k3＝＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的關(guān)系式為＝1，即m－n－1＝0②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k（x－1）將y＝k（x－1）代入，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k1＋k3＝＝＝＝＝＝2所以2k2＝2，所以k2＝＝1所以m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0綜上所述，m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0.考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，20、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時(shí)，的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設(shè)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，可知，，令，?設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，即.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)根，且，在上單調(diào)