專(zhuān)題4-1 二元一次方程組（考題猜想六種特殊解法）解析版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專(zhuān)題4-1二元一次方程組（考題猜想，六種特殊解法）解法1：用整體代入法解二元一次方程組【例題1】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀以下材料：解方程組，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，這種解法稱為“整體代入法”．請(qǐng)你用這種方法解方程組：．【答案】．【分析】本題考查的是在解二元一次方程組時(shí)整體思想的應(yīng)用．仿照所給的題例先把①變形，再代入②中求出y的值，進(jìn)一步求出方程組的解即可．【詳解】解：由①得③，即，把代入②，得，解得，把代入③得，解得．∴【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組：，由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程組的解為；這種方法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請(qǐng)用這種方法解方程組：．【答案】．【分析】本題考查了解二元一次方程組．根據(jù)材料的方法，利用整體代入法求解即可．【詳解】解：由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程組的解為【變式2】（23-24八年級(jí)上·陜西寶雞·期末）材料：解方程組將①整體代入②，得，解得，把代入①，得，所以這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請(qǐng)解方程組【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組．理解并掌握整體代入法解方程組，是解題的關(guān)鍵．利用整體代入法解方程組即可．【詳解】解：由①得：③，將③代入②得：，解得：，將代入①得：，解得：，∴方程組的解為【變式3】2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）解方程組【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組．讀懂題意，掌握整體代入法的步驟是解題關(guān)鍵．將①變形為，再整體代入②中，即可求出y的值．再將y的值代入，即可求出x的值，方程組得解．【詳解】解：由①得，，代入②得，解得，把代入③得，，解得．故原方程組的解為解法2：用特殊消元法解二元一次方程組類(lèi)型1：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等【例題2】（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組(1)若方程組的解互為相反數(shù)，求的值(2)若方程組的解滿足方程，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了用加減消元法解二元一次方程組．已知二元一次方程組的根的情況求參數(shù)以及相反數(shù)的應(yīng)用.（1）解方程組得出，，根據(jù)方程組的解互為相反數(shù)，得出，即，解關(guān)于k的方程即可；（2）解方程組得，然后代入原方程即可求出k的值．【詳解】（1）解：①②，得，①②，得．∵方程組的解互為相反數(shù)，∴，即，∴．（2）②①，得，∵，解得，代入②得：，∴【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·階段練習(xí)）解下列方程或方程組(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查的是一元一次方程和二元一次方程組的求解，正確的掌握求方程和方程組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，之后合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1即可；（2）先去分母，再去括號(hào)、移項(xiàng)，之后合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1即可；（3）利用加減消元即可求出方程組的解．【詳解】（1）解：去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得；（3）解：，，得解得．把代入①，得，解得．所以原方程組的解為【變式2】（2024·廣東肇慶·一模）解二元一次方程組．【答案】【分析】用加減消元法解方程組即可；【詳解】解：得，解得．

將代入（1）得．所以該方程組的解為【變式3】（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查加減消元法解二元一次方程組，掌握加減法的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）整理為系數(shù)相同后，再運(yùn)用加減消元法即可求解．【詳解】（1）解：①②得，，把的值代入②得，，∴原方程組的解為；（2）解：得，，解得，，把的值代入①得，，∴原方程組的解為．類(lèi)型2：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對(duì)值相等【例題3】（23-24七年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組，為常數(shù)．(1)求方程組的解（用含的式子表示）；(2)平面直角坐標(biāo)系中，若以方程組的解為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，一，三象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練的解方程組是解本題的關(guān)鍵．（1）直接利用加減消元法解方程組即可；（2）由一，三象限角平分線上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：，，得，∴．將代入①，得．原方程組的解為：；（2）∵以方程組的解為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，∴，解得：【變式1】（2024年貴州省黔南州中考一?？荚嚁?shù)學(xué)模擬試題）解方程組：【答案】【分析】靈活運(yùn)用加減消元法解方程組是解題的關(guān)鍵．選擇相加消元后直接解方程即可．【詳解】，得，解得，把代入①，可得，解得，是原方程的解【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·階段練習(xí)）甲、乙兩人同時(shí)解方程組，甲解題看錯(cuò)了①中的m，解得，乙解題時(shí)看錯(cuò)②中的n，解得，試求原方程組的解．【答案】．【分析】本題考查了二元一次方程組的解，加減消元法解方程組．把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m與n的值代入方程組求解即可得到答案．【詳解】解：把代入②得：，解得：，把代入①得：，解得：，把，代入方程組得：，得：，即，把代入①得：，則方程組的解為【變式3】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用加減法解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程組的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：，，得，，得，解得，把代入①，得，解得：，所以這個(gè)方程組的解是．（2）解：，得，，得，解得：，把代入②，得，解得：，所以這個(gè)方程組的解是．解法3：用換元法解二元一次方程組【例題4】（22-23八年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）閱讀下列文字，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：(1)解方程組，我們利用加減消元法，可以求得此方程組的解為_(kāi)__________；(2)如何解方程組呢，我們可以把分別看成一個(gè)整體，設(shè)，，請(qǐng)補(bǔ)全過(guò)程求出原方程組的解；(3)若關(guān)于m，n的方程組，則方程組的解為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二元一次方程組的解法，會(huì)利用題中換元方法解方程組是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)加減消元法解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中的解得到，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)（1）中的解得到，進(jìn)而解方程組即可求解．【詳解】（1）解：，得，則，得，則，∴方程組的解為，故答案為：；（2）解：設(shè)，，則原方程組化為，解得，∴，解得，∴原方程組的解為；（3）解：原方程組可化為設(shè)，，則原方程組化為，解得，∴，即得，則，得，則，∴原方程組的解為．故答案為：．【變式1】（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）計(jì)算：解方程組【答案】【分析】利用換元法和加減消元法解方程組即可．【詳解】解：令，原式，得：，解得：，將代入得：，解得：，，兩式相加得：，解得：，將代入，解得：，【變式2】（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）閱讀下列文字，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：(1)已知方程組的解為，如何解大于的方程組呢，我們可以把分別看成一個(gè)整體，設(shè)，則原方程組的解為_(kāi)_____________________；(2)若方程組的解是，求方程組的解．(3)已知m，n為定值，關(guān)于x的方程，無(wú)論k為何值，它的解總是，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程的意義，并用整體思想解題是關(guān)鍵．（1）利用整體思想得到關(guān)于的方程，進(jìn)而即可求解；（2）把，分別看成一個(gè)整體，設(shè)，，即可解題；（3）把代入方程，依次求出m、n，即可解題．【詳解】（1）解：由題意可得，∴，故答案為：；（2）解；原方程組可化為：，令，則，解得：；（3）解：去分母得：，把代入，得，恒成立，，即，【變式3】（23-24八年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）用換元法解方程組：．【答案】【分析】本題考查了換元法解方程組，設(shè)，，則原方程組可化為，求出，從而得到，求解即可，正確換元是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，，則原方程組可化為，解得，于是，得，得，檢驗(yàn)：把，代入原方程組中所含各分式的分母，各分母的值不為零，原方程組的解是解法4：用同解交換法解二元一次方程組【例題5】（23-24八年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程組和的解相同．求的值．【答案】【分析】本題主要考查解二元一次方程組，掌握加減消元法解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩個(gè)方程組有相同的解，將①與④組合可求出的值，再代入②與③組合的方程組中即可求解．【詳解】解：方程組與的解相同，∴①與④組合得，，①④得，，∴，把代入②與③組合的方程組中得，，把③代入②得，，∴，∴【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，求的值．【答案】1【分析】此題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，乘方的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的求解，正確求得的值．由題意可得：方程組和方程組的解相同，求得的值，代入求解即可．【詳解】解：由題意可得：方程組和方程組的解相同，解方程組可得：，將代入可得：，解得：，將代入可得，原式，即的值．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川眉山·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)學(xué)霸甲、乙兩人在一次解方程組比賽中，甲求關(guān)于的方程祖的正確解與乙求關(guān)于的方程組的正確的解相同．則的值為多少？【答案】1【分析】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．聯(lián)立不含a與b的方程求出x與y的值，進(jìn)而確定出a與b的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】解：聯(lián)立得：，解得：，代入得：，解得：，∴【變式3】（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組與方程組的解相同，求的值．【答案】【分析】本題考查的是解二元一次方程組，掌握加減消元法是解題關(guān)鍵．先解方程組，再根據(jù)兩個(gè)方程組同解，得到關(guān)于、的方程，求解即可計(jì)算求值．【詳解】解：，得：，解得：，將代入①得：，方程組的解集為，方程組與方程組的解相同，，解得：，解法5：用主元法解方程組【例題6】（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）已知，，，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，，將、代入求出結(jié)果即可．【詳解】解：由題意得：，，得：，即，將代入①，得：，解得：，將、代入得：．故答案為：【變式1】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知（x，y，z均不為0），求的值．【答案】【分析】本題不能直接求出x，y，z的值，這時(shí)可以把其中一個(gè)未知數(shù)當(dāng)成一個(gè)常數(shù)，然后用含這個(gè)未知數(shù)的式子去表示另外兩個(gè)未知數(shù)．【詳解】解：將原方程組變形，得解得所以【點(diǎn)睛】本題不是考查學(xué)生直接解方程的能力，而是讓學(xué)生理清三個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系，所以未知數(shù)之間的轉(zhuǎn)換就是關(guān)鍵【變式2】（20-21八年級(jí)上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知．（1）用含z的代數(shù)式表示x，y；（2）求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)加減消元法解關(guān)于x、y的方程組即可（2）將（1）中的結(jié)果代入分式中進(jìn)行運(yùn)算即可【詳解】解：（1）①②得，解得．把代入①，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了用加減法解方程組的特殊解法，把x、y看作未知數(shù)解方程組是解題的關(guān)鍵【變式3】已知x，y，z都不為零，且滿足，．求的值．【答案】【分析】先根據(jù)題意用含有z的式子來(lái)表示x、y，然后代入即可得．【詳解】由，解得，∵x，y，z都不為零，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程組，代數(shù)式求值，能根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的解法，如本題中用含有z的代數(shù)式來(lái)表示x、y，這是解題的關(guān)鍵解法6：用設(shè)輔助元法解方程組【例題7】【觀察思考】怎樣判斷兩條直線是否平行？如圖①，很難看出直線a、n是否平行，可添加“第三條線”（截線c），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．我們稱直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問(wèn)題中，很難用算術(shù)直接計(jì)算出結(jié)果，于是，引入字母解決復(fù)雜問(wèn)題，我們稱引入的字母為“輔助元”．事實(shí)上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問(wèn)題．【理解運(yùn)用】（1）計(jì)算這個(gè)算式直接計(jì)算很麻煩，請(qǐng)你引入合適的“輔助元”完成計(jì)算．【拓展提高】（2）若關(guān)于x，y的方程組的解是，則關(guān)于x、y的方程組的解為．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)，將式子進(jìn)行變形，即可求解；（2）把代入得到不含x、y的方程，通過(guò)與方程組比較，得到答案．【詳解】解：（1），則原式===（2）把代入得，，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】掌握題目中引入的輔助元思想和整體對(duì)比的方法是本題解題的關(guān)鍵．【變式1】．（22-23七年級(jí)下·廣西玉林·期末）【閱讀·領(lǐng)會(huì)】怎么判斷兩條直線是否平行？

如圖①，很難看出直線是否平行，可添加“第三條線”（截線），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，我們稱直線為“輔助線”.在部分代數(shù)問(wèn)題中，難用算術(shù)直接計(jì)算出結(jié)果，于是，引入字母解決復(fù)雜問(wèn)題，我們稱引入字母為“輔助元”或“整體代換”．事實(shí)上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問(wèn)題．

【實(shí)踐·體驗(yàn)】（1）已知，則______（引入“輔助元”或“整體代換”計(jì)算）.（2）如圖②，已知，求證：，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)摹拜o助線”，并完成證明．

【創(chuàng)造·突破】（3）若關(guān)于的方程組的解是，則關(guān)于的方程組的解為_(kāi)_____．【答案】（1）4；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）把變形為，然后整體代入求值即可；（2）利用“輔助線”延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由三角形內(nèi)角和定理以及等量代換可得，由同位角相等，兩直線平行可得結(jié)論；（3）將代入關(guān)于x、y的方程組可得，，再代入關(guān)于x、y的方程組可得答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，故答案為：4

（2）如圖，延長(zhǎng)到，使與相交于點(diǎn)，

∵∴，∴；（3）將代入關(guān)于x、y的方程組可得，，再代入關(guān)于x、y的方程組可得，，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，平行線的性質(zhì)以及有理數(shù)的運(yùn)算，掌握二元一次方程組的解法、平行線的性質(zhì)和判定，理解“輔助線”、“輔助元”、“輔助元素”的意義是正確解答的前提．【變式2】【閱讀?領(lǐng)會(huì)】怎樣判斷兩條直線否平行？

如圖1，很難看出直線、是否平行，可添加“第三條線”（截線），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．我們稱直線為“輔助線”．在部分代數(shù)問(wèn)題中，很難用算術(shù)直接計(jì)算出結(jié)果，于是，引入字母解決復(fù)雜問(wèn)題，我們稱引入的字母為“輔助元”．事實(shí)上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問(wèn)題．【實(shí)踐?體悟】(1)計(jì)算這個(gè)算式直接計(jì)算很麻煩，請(qǐng)你引入合適的“輔助元”完成計(jì)算．(2)如圖2，已知，求證，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)摹拜o助線”，并完成證明．【創(chuàng)造?突破】(3)若關(guān)于的方程組的解是，則關(guān)于的方程組的解為_(kāi)__________．(4)如圖3，，，，我們把大于平角的角稱為“優(yōu)角”，若優(yōu)角，則優(yōu)角___________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)(4)【分析】（1）設(shè)，將式子進(jìn)行變形，即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用平行線的判定定理可得出結(jié)論；（3）把代入方程組得到不含，的方程組，通過(guò)與方程組比較便可得到答案；（4）連接、，分成兩個(gè)五邊形，利用多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，原式；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：

是的外角，，又，，；（3）把代入方程組得：，與方程組比較得：，方程組的解為：，故答案為：；（4）連接、，分成兩個(gè)五邊形，如圖所示：

五邊形的內(nèi)角和為，兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和為，兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，平行線的性質(zhì)與判斷，解二元一次方程組，多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，加入了“輔助”的思想解題的關(guān)鍵是正確找到“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”．【變式3】．（20-21七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）[閱讀?領(lǐng)會(huì)]如圖①，為了判斷兩直線的位置關(guān)系．我們添加了直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問(wèn)題中，引入字母解決復(fù)雜問(wèn)題，我們稱引入的字母為“輔助元”．【實(shí)踐?體悟】（1）計(jì)算，這個(gè)算式直接計(jì)算很麻煩，請(qǐng)你引入合適的“輔助元”完成計(jì)算．（2）若關(guān)于x、y的方程組的解是的解是，則關(guān)于x、y的方程組的解為．【創(chuàng)造?突破】（3）已知直線ABCD．如圖2