高中數(shù)學(xué)1.2空間向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理一、內(nèi)容及內(nèi)容解析1.內(nèi)容空間向量基本定理也成為空間向量分解定理，它與平面對量基本定理類似，區(qū)分僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了一“項(xiàng)”.證明的思路、步驟也基本相同．空間向量基本定理的推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對于今后用向量方法解幾何問題很有用，也為今后學(xué)習(xí)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算作打算．2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)空間向量基本定理也成為空間向量分解定理，它與平面對量基本定理類似，區(qū)分僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了一“項(xiàng)”.證明的思路、步驟也基本相同．空間向量基本定理的推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對于今后用向量方法解幾何問題很有用，也為今后學(xué)習(xí)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算作打算（2）蘊(yùn)含的思想與方法教學(xué)中，要結(jié)合詳細(xì)問題，引導(dǎo)學(xué)生類比利用平面對量解決平面幾何問題的“三步曲”的思路和方法.（3）培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)利用基底表示其他向量，培育邏輯推理的核心素養(yǎng)，通過夾角與垂直的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。（4）教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：空間向量基本定理.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1.本單元教學(xué)目標(biāo)空間向量基本定理是平面對量基本定理在空間的推廣，都是向量的分解，可以類比學(xué)習(xí)。1.了解空間向量基本定理及其意義，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.駕馭空間向量的正交分解，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.駕馭在簡潔問題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)記是：學(xué)生能夠類比平面對量基本定理理解空間向量基本定理；能夠依據(jù)詳細(xì)問題選擇基底的重要性，會運(yùn)用正交分解處理向量垂直和異面直線所成角的問題。三、教學(xué)問題診斷分析1.問題診斷之前學(xué)習(xí)過平面對量相關(guān)學(xué)問，可以接受類比學(xué)習(xí)法學(xué)習(xí)空間向量相關(guān)學(xué)問。2.教學(xué)難點(diǎn)難點(diǎn)：基底的恰當(dāng)選擇.四、教學(xué)支持條件分析1.技術(shù)支持利用電腦、互聯(lián)網(wǎng),可以特別便利快捷地查找到有關(guān)史料故事、拓寬視野,感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；借助計(jì)算器或電腦,可以計(jì)算較大數(shù)目的數(shù)量,獲得比較精準(zhǔn)的數(shù)值；借助實(shí)物投影或PPT，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，2.學(xué)問儲備空間向量基本定理是平面對量基本定理在空間的推廣，都是向量的分解，可以類比學(xué)習(xí)。五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)1.2空間向量基本定理課時(shí)教學(xué)內(nèi)容空間向量基本定理及其應(yīng)用空間西安理工的線性運(yùn)算（向量的加法、減法、數(shù)乘向量、向量共線定理）講向量幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)了解空間向量基本定理及其意義，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；駕馭空間向量的正交分解，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；駕馭在簡潔問題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：駕馭空間向量基本定理難點(diǎn)：用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題情境我們所在的教室即是一個(gè)三維立體圖,假如以教室的一個(gè)墻角為始點(diǎn),沿著三條墻縫作向量可以得到三個(gè)空間向量.這三個(gè)空間向量是不共面的,那么如何用這三個(gè)向量表示空間中隨意的向量呢？我們知道，平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量，來表示(平面對量基本定理)．類似地，隨意一個(gè)空間向量能否用隨意三個(gè)不共面的向量，，來表示呢?師生活動學(xué)生獨(dú)立思索、作答，老師展示探討路徑，板書空間向量及其運(yùn)算，揭曉課題：下面我們類比平面對量探討空間向量，先從空間向量的概念和表示起先．［設(shè)計(jì)意圖］主要方法是類比，即類比平面對量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，類比平面對量的運(yùn)算學(xué)習(xí)空間向量的運(yùn)算，類比用平面對量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡潔的立體幾何問題.教，使學(xué)生親歷探討的過程，積累基本活動閱歷.環(huán)節(jié)二視察分析，感知概念我們先從空間中三個(gè)不共面的向量兩兩垂直這一特別狀況起先探討．問題1：空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底？【提示】空間隨意三個(gè)“不共面”的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．如圖1.2-1，設(shè)，，是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點(diǎn)．對于隨意一個(gè)空間向量，設(shè)為在，所確定的平面上的投影向量，則．又向量，共線，因此存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，從而 而在，所確定的平面上，由平面對量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得 ．問題2：基底與基向量的概念有什么不同？【提示】一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．空間隨意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基底選定后,空間的全部向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.從而 問題3：空間的基底唯一嗎？【提示】不唯一，只要是三個(gè)向量不共面，這三個(gè)向量就可以組成空間的一個(gè)基底．一個(gè)基底是一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.由于零向量與隨意一個(gè)非零向量共線,與隨意兩個(gè)不共線的非零向量共面,所以若三個(gè)向量不共面,就說明它們都不是零向量.因此，假如，，是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，那么對隨意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得 ．我們稱，，分別為向量在，，上的分向量．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問題5：探究 在空間中，假如用隨意三個(gè)不共面的向量，，代替兩兩垂直的向量，，，你能得出類似的結(jié)論嗎?類似平面對量基本定理，我們有空間向量基本定理．定理假如三個(gè)向量，，不共面，那么對隨意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得．請你自己給出空間向量基本定理的證明．問題4：為什么空間向量基本定理中x，y，z是唯一的？你能證明唯一性嗎?【提示】平移向量a，b，c，p使它們共起點(diǎn)，如圖所示，以p為體對角線，在a，b，c方向上作平行六面體，易知這個(gè)平行六面體是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．由此可知，假如三個(gè)向量，，不共面，那么全部空間向量組成的集合就是．這個(gè)集合可看作由向量，，生成的，我們把叫做空間的一個(gè)基底(base)，，，都叫做基向量(basevectors)．空間隨意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念特別地，假如空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示．由空間向量基本定理可知，對空間中的隨意向量，均可以分解為三個(gè)向量，，，使．像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．由空間向量基本定理可知，假如把三個(gè)不共面的向量作為空間的一個(gè)基底，那么全部空間向量都可以用三個(gè)基向量表示出來．進(jìn)一步地，全部空間向量間的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為基向量間的運(yùn)算，這為解決問題帶來了便利．1．已知是空間的一個(gè)基底，從，，中選哪一個(gè)向量，確定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底?1．解：向量確定可以與，構(gòu)成另一個(gè)基底，因?yàn)?，與，共面，只有不與，共面．2．已知為空間的四個(gè)點(diǎn)，且向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)是否共面?解：，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，四點(diǎn)共面．3．如圖，已知平行六面體，點(diǎn)是側(cè)面的中心，且，，．（1）是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底?（2）假如構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么用它表示下列向量：，，，．解：（1），，不共面，是空間的一個(gè)基底．（2），，，．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1如圖1.2-2，是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，用向量，，表示．分析：，，是三個(gè)不共面的向量，它們構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可以用基底表示出來．解：．例2如圖1.2-3，在平行六面體中，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．求證：．分析：要證，只需證明．由已知，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．把和分別用基底表示，然后計(jì)算即可．證明：設(shè)，，這三個(gè)向量不共面，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，我們用它們表示，，則 ， 所以．所以．［設(shè)計(jì)意圖］例2是利用空間向量基本定理證明平行六面體中兩條線段相互垂直的例子.學(xué)生已經(jīng)會用向量的數(shù)量積運(yùn)算推斷兩直線是否具有垂直關(guān)系，教學(xué)時(shí)要留意引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕祝严嚓P(guān)向量用基底表示.例3如圖1.2-4，正方體的棱長為1，分別為，，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）要證明，只需證明與共線．設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底，把和分別用基向量表示，作相應(yīng)的運(yùn)算證明它們共線即可．（2）要求與所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．（1）證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底．所以 ， ．所以．所以．（2）解：因?yàn)?， ，所以所以與所成角的余弦值為．［設(shè)計(jì)意圖］例3是利用空間向量基本定理證明正方體中兩條線段相互平行和計(jì)算兩條線段所成角的余弦值的例子.立體幾何中有關(guān)兩宜線平行的問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量共線的問題，對于問題（D,教學(xué)中應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生利用正方體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正交基底，并用基向量表示相關(guān)的向量.對于問題（2）,教學(xué)中要留意引導(dǎo)學(xué)生用基向量表示向量數(shù)量積運(yùn)算中涉及的向量.練習(xí)（第14頁）1．已知四面體，，．求證：．1．證明：如圖，，，，，．2．如圖，在平行六面體中，，，，．求與所成角的余弦值．2．解：設(shè)，，．又，．．．所以與所成角的余弦值為0．3．如圖，已知正方體，和相交于點(diǎn)，連接，求證：．證明：設(shè)，且，，，，，．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升用基底表示向量的三個(gè)步驟(1)定基底：依據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，須要依據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最終求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間全部向量．表示要徹底、結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第12頁練習(xí)第1，2，3題第14頁練習(xí)第1，2，3題第15頁習(xí)題1.2第1,2,3,4,5,6,7,8題問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1.學(xué)問總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么學(xué)問？（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括實(shí)力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力。作業(yè)布置：教科書習(xí)題1.2（第15頁）1．假如向量，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么，間應(yīng)有什么關(guān)系?解：，與任何向量不能構(gòu)成空間一組基底，說明，，確定共面．∵任何兩個(gè)向量必共面，又是隨意向量，，必共線．2．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是()A．，，B．，，C．，，D．，，2．答案：C解析：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以向量，，不共面．對于A，因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面；對于B，因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面；對于C，若，，共面，則，則，，共面，這與向量，，不共面沖突，所以，，不共面，所以C正確；對于D，因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面．故選C．3．已知四面體，分別是棱的中點(diǎn)，且，用表示向量．3．解析：如圖，．4．如圖，在空間平移到，連接對應(yīng)頂點(diǎn)．設(shè)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，用基底表示向量，．4．解析：．．綜合運(yùn)用5．如圖，在長方體中，是與的交點(diǎn)．若，，求的長．