專題3-2 平行四邊形（考題猜想構(gòu)造中位線解題的五種方法）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題3-2平行四邊形（考題猜想，構(gòu)造中位線解題的五種方法）方法1：連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線【例題1】（2023下·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別是CD，CE

A．5 B．102 C．13 D．【答案】D【分析】CE平分∠BCD可得∠DCE=∠BCE，根據(jù)矩形ABCD可得△BCE是等腰直角三角形，所以BC=AD=BE【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠BEC∵CE平分∠BCD∴∠DCE∴∠BCE∴BC=∵AB=∴AE=連接DE，如圖，

∴DE=∵點(diǎn)F、G分別為CD、∴FG=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記性質(zhì)與定理是解題關(guān)鍵．【變式1】.（2023下·湖北黃岡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，連接CF交AE于點(diǎn)G，且CG=GF=AF，若【答案】2【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理．連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等和余角的性質(zhì)可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，設(shè)OG=GM=【詳解】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OG，令BD與CF交于點(diǎn)M，∵GF=∴∠FAG∵四邊形ABCD為矩形，∴BD=AC=4∵CG=∴OG為△CAF∴AF=2OG，∴∠FDM∵AE⊥∴∠FGA+∠GMO∴∠GMO∴∠GMO∴OG=設(shè)OG=GM=∴FD=∴CF=4在Rt△CD=在Rt△DC即15x解得x=2∴CD=故答案為：215【變式2】（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，下列4個(gè)結(jié)論中說(shuō)法正確的有（

）（1）（2）（3）；（4）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和，可以確定為等腰三角形，再應(yīng)用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可判斷（1）正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)確定，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可判斷（2）正確；根據(jù)三角形的中位線和平行四邊形的性質(zhì)可以確定，且，進(jìn)而得到平行四邊形，再應(yīng)用其對(duì)角線互相平分的性質(zhì)確定（3）正確；根據(jù)可得確定（4）正確．【詳解】解：①∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴．∵E為中點(diǎn)，∴．故（1）正確．②∵，G是中點(diǎn)，∴．∵E、F分別是中點(diǎn)，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．故（2）正確．如下圖所示，連結(jié)．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵E、F分別是中點(diǎn)，∴．∴，即．∵，，∴．∴四邊形是平行四邊形．∴．故（3）正確．④∵四邊形是平行四邊形，∴，∵E為中點(diǎn)，∴∴，故（4）正確；綜上可知，正確的有（1）（2）（3）（4），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形中位線和直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定定理以及三角形面積與底和高之間的關(guān)系，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵【變式2】．（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)．求證：AF與DE互相平分．

【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖，連接DF，EF．，，分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，與DE互相平分．

【變式3】如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn)．(1)求證：PM＝PN；(2)求∠MPN的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；(2)∠MPN＝120°.【詳解】試題分析：（1）連接CD、AE,由△ABD和△BCE是等邊三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，易證△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位線的性質(zhì)可證PM＝PN；（2）如圖，設(shè)PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易證四邊形PFHG為平行四邊形，故∠MPN＝120°.試題解析：(1)如圖，連接CD，AE.由三角形中位線定理可得PM=CD，PN=AE，∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如圖，設(shè)PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易證四邊形PFHG為平行四邊形，∴∠MPN＝120°.方法2：已知角平分線及垂直構(gòu)造中位線【例題2】（22-23八年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若平分，線段的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊長(zhǎng)度的一半．延長(zhǎng)交于，證明，則，，，可證是的中位線，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，由題意知，，，在和中，∵，∴，∴，，∴是的中點(diǎn)，，又∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴的長(zhǎng)為．故選：B【變式1】（20-21八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在中，是對(duì)角線，，E是的中點(diǎn)，平分，連接，．若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】/3.5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，由“”可證，可得，，由三角形中位線定理可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵平分，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴．故答案為：【變式2】（22-23八年級(jí)下·遼寧盤錦·期中）如圖，中，AD平分，E是中點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，先證明，得到，D是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖AD平分，，，，，，D是的中點(diǎn)，E是中點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，正方形的對(duì)角線相交于O，平分，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，求證：

(1)；(2)；(3)若M為得中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理：（1）先由正方形的性質(zhì)得到，再證明，即可證明，推出；（2）由正方形的性質(zhì)得到，再證明，即可證明；（3）由角平分線的定義得到，進(jìn)而得到，證明，得到，，由勾股定理得，則，證明是的中位線，則．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，由（1）得，∴，∴；（3）解：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，由勾股定理得，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴方法3：倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形中位線【例題3】（22-23八年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·期末）如圖，中，平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．

【答案】的長(zhǎng)為．【分析】先添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用性質(zhì)求出，最后用中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，證明是的中位線【變式1】（22-23八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角和等腰直角，，M為的中點(diǎn)，連接，過(guò)B作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S．(1)求證：；(2)若，，，則四邊形的面積為_(kāi)_____．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接．由三角形中位線定理可得，．再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，，從而可證，，進(jìn)而得出，即證明，得出結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．延長(zhǎng)交于點(diǎn)I．易證，，再結(jié)合可證，得出，，根據(jù)勾股定理可求出，即可求出．由為中位線，可得出．又根據(jù)四邊形為矩形，即得出，從而可求出．根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)可得出，即可由求出最后結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接．∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，．∵和都為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，即，∴，∴；（2）如圖，在（1）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．延長(zhǎng)交于點(diǎn)I．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴，∴．∵為中位線，∴點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴．由所作輔助線可知四邊形為矩形，∴，∴．由（1）可知，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）（1）如圖1，在中，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，那么是否成立？證明你的猜想；（3）如圖3，邊長(zhǎng)為4的等邊外有一點(diǎn)，，，、分別是邊、的點(diǎn)，滿足，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）不成立，理由見(jiàn)詳解（3）8【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)可得，再進(jìn)行邊的等量代換，即可作答．（2）不成立，延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，證明，再結(jié)合，，得，因?yàn)槿切蔚娜呹P(guān)系，即可作答．（3）把繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，證出，進(jìn)而得到，即可得的周長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴∵，∴（2）不成立，理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，如圖所示．∵是的中點(diǎn)∴∵∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，∵，∴，∵，把繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴點(diǎn)在同一條直線上，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線“倍長(zhǎng)中線法”，中位線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023上·福建漳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）【知識(shí)探究】探究得到定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【定理證明】請(qǐng)你利用矩形的性質(zhì)，證明該定理.已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，（1）求證：OB=（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點(diǎn)，連接BE，EF，【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，使OD=OB，連接AD、CD，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證平行四邊形ABCD是矩形，得（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得BE=12AC，再由三角形中位線定理得EF=【詳解】解：證明：如圖1，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，使OD=OB，連接AD、∵O是AC∴OA∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC∴OB故答案為：OB=（2）證明：如圖2，∵∠ABC=90°，E是∴BE∵F是CD∴EF是△∴EF∵AC∴BE∴∠1=∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形中位線定理，證出OB=方法4：已知兩邊中點(diǎn)，取第三邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線【例題4】（21-22八年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，在中，，，E，F(xiàn)分別為CA，CB上的點(diǎn)，，M，N分別為AF，BE的中點(diǎn)，若，則MN＝．【答案】【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接MD、ND，如圖，先判斷DM為△ABF的中位線，DN為△ABE的中位線得到DM=BF=2，DM∥BF，DN=AE=2，再證明AE⊥BF，則DM⊥DN，然后根據(jù)△DMN為等腰直角三角形確定MN的長(zhǎng)．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)D，連接MD、ND，如圖，AE=1，∵CA=CB，CE=CF，∴BF=AE=1，∵點(diǎn)M、N分別為AF、BE的中點(diǎn)，∴DM為△ABF的中位線，DN為△ABE的中位線，∴DM=BF=，DM∥BF，DN=AE=，DN∥AE，∵AE⊥BF，∴DM⊥DN，∴△DMN為等腰直角三角形，∴MN=DM=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)【變式1】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．若AB=10，CD=8求【答案】1<【詳解】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)P，連接PM，PN．∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴PM是△ABD同理可得PN=在△PMN中，∵PM-【變式2】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線FE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AB=CD=2，【答案】EF【詳解】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH和FH．∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴EH=12∴∠HFE∵AB=CD=2，∴∠EHF∴EF【變式3】（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，P是上的動(dòng)點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值為cm．【答案】10【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和對(duì)稱軸，線段和最小，根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱性計(jì)算即可．【詳解】∵是等邊三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴直線為的一條對(duì)稱軸，，取的中點(diǎn)F，連接，，∵E是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，,,，∴，，∴直線為線段的垂直平分線，∴直線為線段的對(duì)稱軸，連接，交于點(diǎn)G，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)，∵，∴，∵，∴，故的最小值為，故答案為：10方法5：已知一邊中點(diǎn)，推理得出另一邊中點(diǎn)，再取第三邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線【例題5】（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上有一點(diǎn)P，連接AP，CP，且CP=2，取AP

A．10 B．655 C．13-【答案】C【分析】令A(yù)C中點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN,BN，則AN=12AC=2，根據(jù)勾股定理求出BN=13，由中位線定理得出MN=1【詳解】解：令A(yù)C中點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN,∵點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，∴AN=根據(jù)勾股定理可得：BN=∵點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，CP=2∴MN=∴在△BMN中，BM>BN當(dāng)點(diǎn)B、M、N在同一直線上時(shí)，BM=此時(shí)BM取最小值13-故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方；三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式1】（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連CE，設(shè)CE的最大值為

【答案】6【分析】取AB的中點(diǎn)F，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出AB=2BC=6，利用三角形中位線定理推出EF=1【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BD=如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF、∵∠BAC∴AB=2BC=6