數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊3數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊31空間向量基本定理

3.1空間向量基本定理

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［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)空間向量基本定理

1.定理：如果向量”，乩c是空間三個(gè)不共面的向量，p是空間任意一個(gè)向量，那么

存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得p=.

2.基與基向量：

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是｛p|p=xa+）力+zc,x,

y,zGR｝,這個(gè)集合可看作由向量a,6,c生成的，我們把叫作空間的一組

基，a,b,c都叫作基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基.

狀元隨筆（1）若0=x3+y6+z乙則x3+yU+z］叫做向量3，b,E的線性表達(dá)式或線性

組合，或者說0可以由3,b,3線性表示.

（2）對于基幅，b,5｝,除了應(yīng)知道甘，b,亡不共面外，還應(yīng)明確以下三點(diǎn)：

①基選定后，空間的所有向量均可由基唯一表示.選用不同的基，同一向量的表達(dá)式也

可能不同；②由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以若三個(gè)向量

不共面，就說明它們都不是0；③空間的一個(gè)基是指一個(gè)向量組，是由三個(gè)不共面的空間向

量構(gòu)成的；一個(gè)基向量是指基中的某個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.

［基礎(chǔ)自測］

1.思考辨析（正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“X”）

（1）只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基.（）

（2）對于三個(gè)不共面向量a,,。2,。3,不存在實(shí)數(shù)組｛九"2,念｝使0=為m+42。2+23。3.（）

（3）基選定后，空間的所有向量均可由基唯一表示.（）

（4）空間的一個(gè)基是指一個(gè)向量組，是由三個(gè)不共面的空間向量構(gòu)成的.（）

2.已知｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基，則可以與向量。=。+從4=。一力構(gòu)成基的向量是（）

A.aB.bC.a-\~2bD.a+2c

3.0、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn)，又｛鼐，0B,無｝為空間的一個(gè)基，則（）

A.0、A、B、C四點(diǎn)不共線

B.。、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線

C.。、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線

D.。、A、B、C四點(diǎn)不共面

4.在四面體O-ABC中，0A=o,OB=Z>,OC=c,D為8c的中點(diǎn)，E為AQ的中點(diǎn)，

則麗=（用a,b,c表示）.

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題型一基的判斷

例1已知｛ei,62>?3｝是空間的一個(gè)基，且OA=ei+2e2—e3,0B=-3ei+02+203,0C

=ei+ez—e3,試判斷｛嬴，0B,阮｝能否作為空間的一個(gè)基.

方＞/i何林

1.如果向量中存在零向量，則不能作為基：如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性

表示，則不能構(gòu)成基.

2.假設(shè)。=乃+//c,運(yùn)用空間向量基本定理，建立2,〃的方程組，若有解，則共面，

不能作為基；若無解，則不共面，能作為基.

跟蹤訓(xùn)練1［多選題］設(shè)x=a+b,y—b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基,

給出下列向量組，其中可以作為空間一個(gè)基的向量組是()

A.{a,b,x}B.{x,y,z}

C.{b,c,z)D.{x,y,a+6+c}

題型二空間向量的表示

例2(1)如圖，已知空間四邊形0ABC,其對角線為。8,AC,M,N分別是對邊OA,

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且就=2版，現(xiàn)用基向量嬴，0B,而表示向量而，設(shè)前=

xOA+yOB+zOC,則x,y,z的值分別是()

(2)在平行六面體ABCQ-AbC。中，設(shè)屈=a,而=b,A^=c,P是C4的中點(diǎn)，M是

的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是C4上的點(diǎn)，且CQ：QA』4：1,用基{a,b,c}表

示以下向量：

?AP；②而；?AN；@AQ.

方破阻他

用基中的基向量表示向量（即向量的分解），關(guān)鍵是結(jié)合圖形，運(yùn)用三角形法則、平行四

邊形法則及多邊形法則，逐步把待求向量轉(zhuǎn)化為基向量的“代數(shù)和”.

跟蹤訓(xùn)練2⑴如圖，在平行六面體ABCQ-AICQi中，AC與8。交于點(diǎn)M,設(shè)施=

a,AD—b,AAi=c,則B]M=（）

A.B-la+lb-c

C.）一，一cD.—）+，一c

（2）已知四面體ABC。中，AB=a-2c,而=5a+65一8c,對角線AC,B。的中點(diǎn)分別

為E,F,則品=.

易錯(cuò)辨析對基理解不清致誤

例3在平行六面體ABCD-A\BxC\Dy中,M為AC與8。的交點(diǎn).若國瓦=a，硒*=。,

A]7=C,試用基｛a,b,c｝表示向量C]B.

解析：

如圖，連接則手/=耳?-A]C；=工7+加一（AIB；+AID；）=37+|（A$；

+而j一百瓦+AX）=4A*百瓦+而）=_/―/+,

【易錯(cuò)警示】

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

本題易錯(cuò)的地方是向量分解的不徹底，可能

會(huì)得到如下錯(cuò)解：@荷=可法一'G=m+基可以表示空間內(nèi)任一向量，用基表示向量

前一（AiB；+AiD；）=c+前一a-b時(shí)，最后結(jié)果應(yīng)含基向量.

事實(shí)上，而仍需用基表示.

[課堂十分鐘]

1.以下四個(gè)命題中正確的是()

A.基｛a,b,c｝中可以有零向量

B.空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基

C.△ABC為直角三角形的充要條件是說?前=0

D.空間向量的基只能有一組

2.已知點(diǎn)。，A,B,C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量”=血+通+充，向量6=麗+

OB-OC,則與a,8不能構(gòu)成空間基的向量是()

A.OAB.OBC.OCD.OABJCOB

3.下列能使向量MX,MB,正成為空間的一個(gè)基的關(guān)系式是()

A.0M=i0A+-0B+i0CB.MA=MB+MC

333

C.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC

4.已知G=ei+02+03,b=e\~\~e2—的，c—e\-02+^3,d=e1+2c2+3。3，若d=aa+，b

+Ac,則a,4，2的值分別為.

如圖，己知%_L平面48CD,四邊形ABC。為正方形，G為的重心，AB=t,AD

=j,AP=*,試用基｛i,j,眉表示向量同，BG.

3.1空間向量基本定理

新知初探?課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)

1.xa-\-yb-\-zc

2.｛a,b,c］

［基礎(chǔ)自測］

1.(1)X(2)X(3)J(4)7

2.解析：A、B,C都與向量p、g共面，只有D與p、g不共面，故選D.

答案：D

3.答案：D

4.解析：OE=OA+|AD

=OA+|x|(AB+AC)

一?1,,11>,11>

=0A+t(OB-OA+OC-OA)

=-OA+-OB+-OC

244

=-a-\--b-\--c

244

答案：

244

題型探究?課堂解透

例1解析：假設(shè)玄，0B,次共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)居y

使血=苫而+)，玩成立，

；?ei+2。2—e3=x(—3ei+e2+2e3)+y(e]+。2—4)，

即e1+2。2-=(y—3x)e1+(x+y)e2+(2x—y)e3

(y-3x=1,

/Jx+y=2,此方程組無解.

(2x-y=-1,

即不存在實(shí)數(shù)X,y使得殖=m而+)6￡,

所以6K,0B,前不共面.

所以｛殖，0B,玩｝能作為空間的一個(gè)基.

跟蹤訓(xùn)練1解析：

如圖所示，令。=屈，Z>=AA1,c=而，

則*=人81，y=ADi，z=AC,

a+Z>+c=AC1.由于A,Bi,C,四點(diǎn)不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理仇

c,z和x,y,a+8+c也不共面.故選BCD.

答案：BCD

例2解析：(1)連接N分別是對邊。A,BC的中點(diǎn),

----------91-->-->1-->-->--?--->--->--->2---?---?0--?---?

AOM=jOA,ON=](OB+OC),AOG=OM+MG=OM+|MN=OM+|(0N-0M)=

iOM+-ON=ixiOA+-xi(OB+OC)=iOA+-OB+-OC,：.x=-,y=z=乙故選D.

333232、'633673

(2)連接AC、AC.AD'

①而三(AC+而)=：(AB+AD+研=：(a+b+c).

②前=*前+和)=*屈+2前+而)=)+5+,

③京=家近7+而計(jì)中(麗+AD+而)+(而+AA7)]

=|(AB+2AD+2AA,)=|a+Z?+c.

?AQ=AC+CQ=AC+1(AA7-AC)

=三通+-AD+-A^^-a+-b+-c.

555555

答案：(l)D(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練2解析：⑴B[M=BB]+BM=—c+1BD=—c+g(Z>—Q)=——，

故選D.

(2)如圖所示，取BC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則而=而一族=之而一之鈦而+1而

=|(5a+6Z>-8C)+|(Q-2c)=3a+3Z>-5c.

答案：(1)D(2)3a+3b—5c

［課堂十分鐘］

I.解析：使用排除法.因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個(gè)非零向量都共面，故A不正確；缸ABC

為直角三角形并不一定是麗?壇=0,可能是瓦?麗=0,也可能是口?而=0,故C不正

確；空間基可以有無數(shù)多組，故D不正確.故選B.

答案：B

2.解析：；玩=%一，且a,?不共線，h,前共面，.?.玩與a,Z>不能構(gòu)成一

組空間基.故選C.

答案:C

3.解析：對于選項(xiàng)A,由訓(xùn)?=xM+y而+z玩(x+y+