函數(shù)的性質(zhì)與圖像變換

函數(shù)的性質(zhì)與圖像變換一、函數(shù)的性質(zhì)定義：函數(shù)是兩個非空數(shù)集A、B之間的對應(yīng)關(guān)系，記作f：A→B。函數(shù)的要素：domain（定義域）、range（值域）、rule（對應(yīng)法則）。函數(shù)的性質(zhì)：單射性（一一對應(yīng)）：若f：A→B，對于A中任意兩個不同的元素x1、x2，都有f(x1)≠f(x2)，則f為單射函數(shù)。滿射性（完全對應(yīng)）：若f：A→B，對于B中任意一個元素y，都存在A中至少一個元素x，使得f(x)=y，則f為滿射函數(shù)。連續(xù)性：若f：A→B，對于A中任意一個元素x，都有l(wèi)im(x→a)f(x)=f(a)，則f為連續(xù)函數(shù)。二、圖像變換橫向變換（平移）左加右減：若函數(shù)f(x)圖像向左平移h個單位，則新函數(shù)為f(x+h)；若函數(shù)f(x)圖像向右平移h個單位，則新函數(shù)為f(x-h)。上下變換（伸縮）上加下減：若函數(shù)f(x)圖像向上平移k個單位，則新函數(shù)為f(x)+k；若函數(shù)f(x)圖像向下平移k個單位，則新函數(shù)為f(x)-k。左縮右擴：若函數(shù)f(x)圖像在x軸方向上壓縮m倍（m>1），則新函數(shù)為f(mx)；若函數(shù)f(x)圖像在x軸方向上擴展m倍（0<m<1），則新函數(shù)為f(mx)?？v向變換（對稱）y=f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y=f(-x)。y=f(x)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)為y=-f(x)。y=f(x)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為y=-f(-x)。橫向與縱向變換的組合y=f(x)先向左平移h個單位，再向上平移k個單位的函數(shù)為y=f(x+h)+k。y=f(x)先向右平移h個單位，再向下平移k個單位的函數(shù)為y=f(x-h)-k。y=f(x)先在x軸方向上壓縮m倍，再向上平移k個單位的函數(shù)為y=f(mx)+k。y=f(x)先在x軸方向上擴展m倍，再向下平移k個單位的函數(shù)為y=f(mx)-k。三、函數(shù)圖像的特點與應(yīng)用直線圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖像為直線，斜率k決定直線的傾斜程度，截距b決定直線與y軸的交點。拋物線圖像：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像為拋物線，開口方向由a的正負決定，頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。分段函數(shù)圖像：分段函數(shù)由多個基本函數(shù)組成，根據(jù)各段的定義域和表達式，畫出每段的圖像，再進行拼接。實際問題：通過函數(shù)圖像解決實際問題，如最優(yōu)化問題、邊界問題等。物理方程：將物理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，通過繪制函數(shù)圖像來分析物理現(xiàn)象。數(shù)據(jù)分析：對一組數(shù)據(jù)進行擬合，找出符合數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)圖像，從而對數(shù)據(jù)進行分析。四、函數(shù)與方程的關(guān)系函數(shù)與方程的定義：函數(shù)：兩個非空數(shù)集A、B之間的對應(yīng)關(guān)系，記作f：A→B。方程：含有未知數(shù)的等式，記作f(x)=0。函數(shù)與方程的關(guān)系：習(xí)題及方法：習(xí)題一：判斷以下函數(shù)是否為單射函數(shù)。f：R→R，f(x)=2xg：R→R，g(x)=x^2答案與解題思路：答案：是單射函數(shù)。解題思路：對于任意兩個不同的實數(shù)x1、x2，若f(x1)=f(x2)，則有2x1=2x2，即x1=x2，故f為單射函數(shù)。答案：不是單射函數(shù)。解題思路：對于任意兩個不同的實數(shù)x1、x2，若g(x1)=g(x2)，則有x12=x22，即x1=x2或x1=-x2，故g不是單射函數(shù)。習(xí)題二：已知函數(shù)f(x)=2x+3，求f(x)向左平移2個單位后的函數(shù)。答案與解題思路：答案：f(x+2)=2(x+2)+3=2x+7。解題思路：根據(jù)平移變換的法則，將x替換為x+2，得到f(x+2)=2(x+2)+3。習(xí)題三：已知函數(shù)f(x)=x^2-2，求f(x)向上平移1個單位后的函數(shù)。答案與解題思路：答案：f(x)+1=(x2-2)+1=x2-1。解題思路：根據(jù)平移變換的法則，將原函數(shù)的值域中的每一個元素加1，得到新的函數(shù)f(x)+1。習(xí)題四：已知函數(shù)f(x)=3x-2，求f(x)在x軸方向上壓縮2倍后的函數(shù)。答案與解題思路：答案：f(2x)=3(2x)-2=6x-2。解題思路：根據(jù)壓縮變換的法則，將x替換為2x，得到f(2x)=3(2x)-2。習(xí)題五：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)。答案與解題思路：答案：f(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x。解題思路：根據(jù)對稱變換的法則，將x替換為-x，得到f(-x)。習(xí)題六：已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)。答案與解題思路：答案：-f(x)=-(x2-4x+3)=-x2+4x-3。解題思路：根據(jù)對稱變換的法則，將原函數(shù)的輸出取相反數(shù)，得到-f(x)。習(xí)題七：已知函數(shù)f(x)=x^2，求f(x)關(guān)于原點對稱的函數(shù)。答案與解題思路：答案：-f(-x)=-(x2)=-x2。解題思路：根據(jù)對稱變換的法則，將x替換為-x，并將輸出取相反數(shù)，得到-f(-x)。習(xí)題八：已知函數(shù)f(x)=2x+3，求f(x)先向左平移1個單位，再向上平移2個單位后的函數(shù)。答案與解題思路：答案：f(x+1)+2=2(x+1)+3+2=2x+7。解題思路：根據(jù)組合變換的法則，先將x替換為x+1，得到f(x+1)，再將輸出加2，得到f(x+1)+2。其他相關(guān)知識及習(xí)題：定義：如果函數(shù)f：A→B，且對于B中的每一個元素y，都有唯一的x∈A使得f(x)=y，則稱f為一一對應(yīng)的函數(shù)，這時，函數(shù)f有一個反函數(shù)，記作f^-1：B→A。習(xí)題一：判斷以下函數(shù)是否具有反函數(shù)。f：R→R，f(x)=2xg：R→R，g(x)=x^2答案與解題思路：答案：具有反函數(shù)。解題思路：對于任意實數(shù)y，存在唯一實數(shù)x使得2x=y，即x=y/2，因此f具有反函數(shù)。答案：不具有反函數(shù)。解題思路：對于任意實數(shù)y，存在兩個不同的實數(shù)x1、x2使得x12=y和x22=y，因此g不具有一一對應(yīng)性，不具有反函數(shù)。習(xí)題二：已知函數(shù)f(x)=3x+4，求f的反函數(shù)。答案與解題思路：答案：f^-1(x)=(x-4)/3。解題思路：設(shè)y=f(x)，則y=3x+4，解出x得到x=(y-4)/3，因此f^-1(x)=(x-4)/3。二、函數(shù)的單調(diào)性定義：若函數(shù)f在區(qū)間I上，對于任意的x1、x2∈I，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱f在區(qū)間I上單調(diào)遞增；若對于任意的x1、x2∈I，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱f在區(qū)間I上單調(diào)遞減。習(xí)題三：判斷以下函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性。f：R→R，f(x)=x^3g：R→R，g(x)=-2x+5答案與解題思路：答案：單調(diào)遞增。解題思路：對于任意的x1、x2∈（0，+∞），當x1<x2時，有x13<x23，因此f(x1)<f(x2)，故f在（0，+∞）上單調(diào)遞增。答案：單調(diào)遞減。解題思路：對于任意的x1、x2∈（0，+∞），當x1<x2時，有-2x1+5>-2x2+5，因此f(x1)>f(x2)，故g在（0，+∞）上單調(diào)遞減。三、函數(shù)的極值定義：若函數(shù)f在區(qū)間I上，存在x0使得對于任意的x∈I，都有f(x0)≥f(x)，則稱f在x0處取得極大值；若存在x0使得對于任意的x∈I，都有f(x0)≤f(x)，則稱f在x0處取得極小值。習(xí)題四：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f的極大值和極小值。答案與解題思路：答案：極大值為2，極小值為-2。解題思路：求導(dǎo)得到f’(x)=3x^2-3，令f’(x)=0得到x=±1，計算f(1)和f(-1)得到極大值為2，極小值為-2。四、函數(shù)的應(yīng)用線性規(guī)劃：利用函數(shù)的性質(zhì)解決實際問