2024年高中數(shù)學專題10-9概率全章綜合測試卷提高篇教師版新人教A版必修第二冊

第十章概率全章綜合測試卷（提高篇）一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2024秋·上海浦東新·高二期末）已知集合A是集合B的真子集，則下列關于非空集合A，B的四個命題：①若任取x∈A，則x∈B是必定事務；②若任取x?A，則x∈B是不行能事務；③若任取x∈B，則x∈A是隨機事務；④若任取x?B，則x?A是必定事務．其中正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】由題意作出韋恩圖，結合必定事務、不行能事務和隨機事務的定義對選項一一推斷即可得出答案.【解答過程】因為集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：對于①：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取x∈A，則x∈B是必定事務，故①正確；對于②：任取x?A，則x∈B是隨機事務，故②不正確；對于③：因為集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，則x∈A是隨機事務，故③正確；對于④：因為集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取x?B，則x?A是必定事務，故④正確；所以①③④正確，正確的命題有3個．故選：C．2．（5分）（2024·全國·高一專題練習）下列命題正確的是A．用事務A發(fā)生的頻率fnA估計概率PAB．若事務A與事務B相互獨立，則事務A與事務B相互獨立.C．事務A與事務B同時發(fā)生的概率確定比A與B中恰有一個發(fā)生的概率小.D．拋擲一枚勻整的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大.【解題思路】依據(jù)概率的定義，事務的獨立性概念推斷各選項．【解答過程】在相同的條件下做大量重復試驗,一個事務A出現(xiàn)的次數(shù)和總的試驗次數(shù)n之比,稱為事務A在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率.當試驗次數(shù)n很大時,頻率將穩(wěn)定在一個常數(shù)旁邊.n越大,頻率偏離這個常數(shù)較大的可能性越小.這個常數(shù)稱為這個事務的概率，并不是說n越大，估計的精度越精確，A錯；事務A與事務B相互獨立，即A是否發(fā)生與B是否發(fā)生無關，∴事務A是否發(fā)生與事務B是否發(fā)生也無關，它們相互獨立，B正確；拋一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不大于5記為事務A，出現(xiàn)的點為不小于2記為事務B，則事務A與事務B同時發(fā)生是指引數(shù)為2，3，4，5，概率為46=23，而事務A與拋擲一枚勻整的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性與出現(xiàn)反面的可能性還是一樣．D錯．故選：B．3．（5分）（2024春·高一課時練習）（福建省福州2025屆高三質(zhì)檢）規(guī)定：投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀.依據(jù)以往閱歷，某選手投擲一次命中8環(huán)以上的概率為45907

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989據(jù)此估計，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為A．45 B．C．112125 D．【解題思路】依據(jù)隨機模擬產(chǎn)生的隨機數(shù)，進行求解即可.【解答過程】由所給數(shù)據(jù)可知，20組數(shù)據(jù)中有3組191，031，113不是優(yōu)秀，其余17組是優(yōu)秀，所以可以拿到優(yōu)秀的概率為1720故選D．4．（5分）（2024·全國·高一專題練習）從裝有4個紅球和3個白球的口袋中任取4個球，那么互斥而不對立的事務是（

）A．至多有2個白球與恰有3個白球 B．至少有1個白球與都是紅球C．恰有1個紅球與恰有3個白球 D．至多有1個紅球與至多有1個白球【解題思路】依據(jù)給定條件，分析各個選項中的兩個事務包含的基本事件，再結合對立事務、互斥事務的定義推斷作答.【解答過程】從裝有4個紅球和3個白球的口袋中任取4個球的基本事件有：4個紅球，1個白球3個紅球，2個白球2個紅球，3個白球1個紅球，對于A，至多有2個白球的事務有：2個白球2個紅球，1個白球3個紅球，4個紅球，恰有3個白球的事務是3個白球1紅球的事務，明顯兩個事務互斥且對立，A不是；對于B，至少有1個白球的事務有：1個白球3個紅球，2個白球2個紅球，3個白球1紅球，都是紅球的事務是4個紅球，明顯兩個事務互斥且對立，B不是；對于C，恰有1個紅球的事務是3個白球1紅球的事務，因此恰有1個紅球與恰有3個白球為同一事務，C不是；對于D，至多有1個紅球的事務是1個紅球3個白球的事務，至多有1個白球的事務有：1個白球3個紅球，4個紅球，明顯這兩個事務不能同時發(fā)生，可以同時不發(fā)生，即至多有1個紅球與至多有1個白球是互斥而不對立的事務，D是.故選：D.5．（5分）（2024·高一課時練習）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事務A=“甲擊中靶”，事務B=“乙擊中靶”，事務E=“靶未被擊中”，事務F=“靶被擊中”，事務G=“恰一人擊中靶”，對下列關系式（A表示A的對立事務，B表示B的對立事務）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PFA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】依據(jù)事務關系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.【解答過程】由題可得：①E=AB，正確；②事務F=“靶被擊中”，AB表示甲乙同時擊中，F(xiàn)=AB+A③F=A+B，正確，④A+B表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤G=AB+AB，正確；⑥E,F互為對立事務，P(F)=1?P(E)，正確；⑦P(F)=P(A)+P(B)?P(AB)正確的是①③⑤⑥．故選：B.6．（5分）（2024·全國·高一專題練習）小剛參加一種答題游戲，須要解答A，B，C三道題．已知他答對這三道題的概率分別為a，a，12，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為14，則他三道題都答錯的概率為（A．12 B．13 C．1【解題思路】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事務D，E，F(xiàn)，并利用D，E，F(xiàn)構造相應的事務，依據(jù)概率加法公式與乘法公式求解相應事務的概率.【解答過程】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事務D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且PD恰好能答對兩道題為事務DEF+DE所以P=P=a×a×1?整理得1?a2=1故PD故選：C.7．（5分）（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某校高二年級學生實行中國象棋競賽，經(jīng)過初賽，最終確定甲、乙、丙三位同學進入決賽.決賽規(guī)則如下：累計負兩場者被淘汰；競賽前抽簽確定首先競賽的兩人，另一人輪空；每場競賽的勝者與輪空者進行下一場競賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人被淘汰，最終的勝者獲得冠軍，競賽結束.若經(jīng)抽簽，已知第一場甲、乙首先競賽，丙輪空.設每場競賽雙方獲勝的概率都為12，則（

A．甲獲得冠軍的概率最大 B．甲比乙獲得冠軍的概率大C．丙獲得冠軍的概率最大 D．甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等【解題思路】依據(jù)競賽進行的場次進行分類探討，結合相互獨立事務概率計算公式，求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率，從而確定正確答案．【解答過程】依據(jù)決賽規(guī)則，至少須要進行四場競賽，至多須要進行五場競賽，（1）甲獲得冠軍有兩種狀況：①共競賽四場結束，甲四連勝奪冠，概率為(1②共競賽五場結束，并且甲獲得冠軍．則甲的勝、負、輪空結果共有四種狀況∶勝勝輸贏勝，勝輸贏空勝，輸贏空勝勝，負空勝勝勝，概率分別為(12)因此，甲最終獲得冠軍的概率為116（2）乙獲得冠軍，與（1）同理，概率也為932（3）丙獲得冠軍，概率為1?9由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A，B，D錯誤，C正確，故選∶C．8．（5分）（2024春·河北邢臺·高一階段練習）小趙同學準備了四個游戲，四個游戲中的不透亮的盒子中均裝有3個白球和2個紅球（小球除顏色外都相同），游戲規(guī)則如下表所示：游戲1游戲2游戲3游戲4取球規(guī)則一次性取一個，取一次一次性取兩個，取一次一次性取一個，不放回地取兩次一次性取一個，有放回地取兩次獲勝規(guī)則取到紅球→小趙勝取到白球→小趙敗兩個球不同色→小趙勝兩個球同色→小趙敗兩個球不同色→小趙勝兩個球同色→小趙敗兩個球不同色→小趙勝兩個球同色→小趙敗若你和小趙同學玩這四個游戲中的一個，你想獲勝，則應當選（

）A．游戲1 B．游戲2 C．游戲3 D．游戲4【解題思路】分別求出游戲1、游戲2、游戲3、游戲4試驗的樣本空間，設事務A=“取到白球”，事務B=“取到的兩個球同色”，事務C=“取到的兩個球同色”，事務D=“取到的兩個球同色”，求出事務A、B、C、D包含的樣本個數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.【解答過程】設3個白球分別為a，b，c，2個紅球分別為1，2.游戲1：這個試驗的樣本空間可記為Ω=a,b,c,1,2，共包含5個樣本點.設事務A=“取到白球”，則A=a,b,c游戲2：這個試驗的樣本空間可記為Ω=a,b,a,c,a,1,游戲3：這個試驗的樣本空間可記為Ωc,1,共包含20個樣本點.設事務C=“取到的兩個球同色”，則C=a,b,b,a游戲4：這個試驗的樣本空間可記為Ωc,1,共包含25個樣本點.設事務D=“取到的兩個球同色”，則D=c,a,包含13個樣本點，所以PD故選：A.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2024春·黑龍江哈爾濱·高一階段練習）下列說法不正確的是（

）A．若A，B為兩個事務，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件B．若A，B為兩個事務，則PC．若事務A，B，C兩兩互斥，則PD．若事務A，B滿足PA+PB=1，則【解題思路】A.“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.PA+BC.舉反例說明PAD.舉反例說明A與B不對立，所以該選項錯誤.【解答過程】解：A.若A，B為兩個事務，“A與B互斥”則“A與B不愿定相互對立”；“A與B相互對立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，所以該選項正確；B.若A，B為兩個事務，則PA+BC.若事務A，B，C兩兩互斥，則PA+PB+PC=1不愿定成立，如：擲骰子一次，記A=向上的點數(shù)為1，B=向上的點數(shù)為2，C=向上的點數(shù)為3，事務A，D.拋擲一枚勻整的骰子，所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是12，擲一枚硬幣，正面對上的概率是12，滿足PA+PB故選：BCD.10．（5分）（2024·高一單元測試）連擲一枚勻整的骰子兩次，向上的點數(shù)分別為m，n，記t=m+n，則下列說法錯誤的是（

）A．事務“t=12”的概率為121 B．事務“t是奇數(shù)”與“m=nC．事務“t=2”與“t≠3”為互斥事務 D．事務“t>8且mn<32”的概率為1【解題思路】對于A，事務“t=12”為兩次都擲出6點，可求得事務“t=12”的概率，推斷A；對于B，事務“t是奇數(shù)”與“m=n”互為互斥但不對立事務，推斷B；對于C，事務“t=2”與“t≠3”可以同時發(fā)生，推斷C；對于D，列出事務“t>8且mn<32”的可能狀況，求得其概率，即可推斷.【解答過程】連擲一枚勻整的骰子兩次，向上的點數(shù)分別為m，n，則共有6×6=36個樣本點，又t=m+n，則事務“t=12”為兩次都擲出6點，則事務“t=12”的概率為136事務“t是奇數(shù)”即兩次向上的點數(shù)為一次為奇數(shù)一次為偶數(shù)，與“m=n”為互斥但不對立事務，故B錯誤；事務“t=2”與“t≠3”可以同時發(fā)生，故二者不是互斥事務，故C錯誤；事務“t>8且mn<32”的狀況有m=3n=6，m=4n=5，m=4n=6，m=5n=4，m=5n=5，m=5n=6，故事務“t>8且mn<32”的概率為936故選：ABC.11．（5分）（2024秋·陜西西安·高二期末）疫情當下，通過直播帶貨來助農(nóng)，不僅為更多年輕人帶來了就業(yè)崗位，同時也為當?shù)剞r(nóng)夫銷售出了農(nóng)產(chǎn)品，促進了當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展.某直播平臺的主播現(xiàn)要對6種不同的臍橙進行選品，其方法為首先對這6種不同的臍橙（數(shù)量均為1），進行標號為1~6，然后將其放入一個箱子中，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個臍橙，記第一次取出的臍橙的標號為a1，其次次為a2，設A=a1a2，其中[A．P(a1+a2C．P(a1>a2【解題思路】依據(jù)有放回的隨機取兩次結果36種逐個分析推斷即可解決.【解答過程】由題知，從中有放回的隨機取兩次，結果有（記為a111,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,共36種，若a1+a2所以P(a若a1=6，則所以與A=0互斥，故B正確；P(a當a1=3,a2=2時，A=所以事務a2=1與故選：BC.12．（5分）（2024·全國·高三專題練習）4支足球隊進行單循環(huán)競賽（任兩支球隊恰進行一場競賽），任兩支球隊之間勝率都是12．單循環(huán)競賽結束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成果，成果按從大到小排名次依次，成果相同則名次相同．下列結論中正確的是（

A．恰有四支球隊并列第一名為不行能事務 B．有可能出現(xiàn)恰有三支球隊并列第一名C．恰有兩支球隊并列第一名的概率為14 D．只有一支球隊名列第一名的概率為【解題思路】4支足球隊進行單循環(huán)競賽總的競賽共有C42=6選項A，這6場競賽中不滿足4支球隊得分相同的的狀況；選項B，舉特例說明即可；選項C，在6場競賽中，從中選2支球隊并列第一名有C4選項D，只有一支球隊名列第一名，則該球隊應贏了其他三支球隊，由古典概型問題計算即可.【解答過程】4支足球隊進行單循環(huán)競賽總的競賽共有C42=6選項A，這6場競賽中若4支球隊優(yōu)先各贏一場，則還有2場必定有2支或1支隊伍獲勝，那么所得分值不行能都一樣，故是不行能事務，正確；選項B，其中a,b,b,c,選項C，在a,b,b,c,c,d,d,a,a,c,d,b6場競賽中，從中選2支球隊并列第一名有C42=6種可能，若選中a，b，其中第一類a贏b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d選項D，從4支球隊中選一支為第一名有4種可能；這一支球隊競賽的3場應都贏，則另外3場的可能有23=8種，故只有一支球隊名列第一名的概率為故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2024·全國·高一專題練習）假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)接受隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計，該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為12【解題思路】依據(jù)隨機數(shù)以及古典概型的概率計算公式即可求解.【解答過程】解：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數(shù)中有且只有一個數(shù)為1，2，3，4中的之一.它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個，因此所求的概率為1020故答案為：1214．（5分）（2024春·黑龍江哈爾濱·高一期末）哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如8=3+5，在不超過11的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是35【解題思路】先把不超過11的素數(shù)列舉出來，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【解答過程】因為不超過11的素數(shù)有2,3,5,7,11五個數(shù)，從中選取兩個不同的數(shù)的基本事件有2,3,其中和為偶數(shù)的基本事件有3,5,所以和為偶數(shù)的概率為610故答案為：3515．（5分）（2024秋·上海徐匯·高二期末）甲?乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲?乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為34，乙每輪猜對的概率為23.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為5【解題思路】兩輪活動猜對3個成語,相當于事務“甲猜對1個,乙猜對2個”、事務“甲猜對2個,乙猜對1個”的和事務發(fā)生,依據(jù)獨立事務概率求法,即可得解.【解答過程】解：設A1,APAPB設A=“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”,則A=A1B2∪A2B1,且A1B所以PA=PA1B因此,“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是512故答案為：51216．（5分）（2024·高一課時練習）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形態(tài)相同的小球，從中取出2球，事務A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個黃球”，C=“取出的2球至少有一個白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個白球”.下列推斷中正確的序號為①④.①A與D為對立事務；②B與C是互斥事務；③C與E是對立事務：④PC∪E=1；⑤【解題思路】在①中，由對立事務定義得A與D為對立事務；有②中，B與C有可能同時發(fā)生；在③中，C與E有可能同時發(fā)生；在④中，P(CUE)=P（C）+P（E）?P(CE)=1；在⑤中C≠B，從而P（B）≠P（C）．【解答過程】∵口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形態(tài)相同小球，從中取出2球，事務A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個黃球”，C=“取出的2球至少有一個白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個白球”，①，由對立事務定義得A與D為對立事務，故①正確；②，B與C有可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事務，故②錯誤；③，C與E有可能同時發(fā)生，不是對立事務，故③錯誤；④，P（C）=1?615=35，P從而P(C∪E)=P（C）+P（E）?P(CE)=1，故④正確；⑤，C≠B，從而P（B）≠P（C），故⑤錯誤．故答案為：①④．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024·高一課時練習）同時轉(zhuǎn)動如圖的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤（1）得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤（2）得到的數(shù)為y，結果為x,y．(1)寫出這個試驗的樣本空間．(2)求這個試驗的基本事件個數(shù)．(3)“x+y=5”這一事務包含哪幾個基本事件？“x<3且y>1”呢？(4)用集合A表示事務：xy=4；用集合B表示事務：x=y．【解題思路】（1）依據(jù)給定條件按兩個轉(zhuǎn)盤中的數(shù)字依依次不重不漏地寫各對數(shù)即可得試驗的樣本空間；（2）利用（1）即可求出樣本空間中的基本事件總數(shù)；（3）借助（1）的樣本空間即可寫出事務“x+y=5”、“x<3且y>1”的樣本點，從而確定基本事件；（4）借助（1）的樣本空間即可寫出事務xy=4”、“x=y”的樣本點得集合A，B．【解答過程】（1）解：這個試驗的樣本空間為：Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}（2）解：由（1）可知，這個試驗的樣本點的總數(shù)為16．（3）解：“x+y=5”包含的樣本點為1,4，2,3，3,2，4,1．“x<3且y>1”包含的樣本點為1,2，1,3，1,4，2,2，2,3，2,4．（4）解：A=1,4,2,218．（12分）（2024·全國·高二期末）新冠疫情防控期間，為保證抗疫物資的質(zhì)量，我國加大了質(zhì)量檢測的力度.某市今年新增了兩家特地生產(chǎn)測溫槍的工廠.質(zhì)檢部門現(xiàn)從這兩家工廠各隨機抽取了100把測溫槍，檢測其某項質(zhì)量指標，得到甲、乙兩廠所生產(chǎn)的測溫槍的該項質(zhì)量指標值的頻數(shù)分布表，如下表所示：質(zhì)量指標值70,8080,9090,100100,110110,120甲廠測溫槍的頻數(shù)82436248乙廠測溫槍的頻數(shù)62638228已知每把測溫槍的等級與該項質(zhì)量指標值間的關系如下表所示：質(zhì)量指標值70,9090,100100,120等級二級一級特級（1）試利用樣本估算總體的思想分別估計甲、乙兩廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率；（2）若生產(chǎn)一把二級測溫槍、一級測溫槍、特級測溫槍分別可獲得純利潤10元、20元、30元，且不考慮其他因素，試從平均數(shù)的角度分析哪家工廠生產(chǎn)測溫槍的利潤更高.【解題思路】（1）分別計算頻率，用頻率估計概率；（2）分別計算甲與乙的平均數(shù)，再進行比較.【解答過程】（1）由表格可得，甲廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的頻數(shù)為32.故頻率為32100乙廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的頻數(shù)為30，故頻率為30100由此估計：甲廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率為0.32，乙廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率為0.30.（2）甲廠生產(chǎn)一把測溫槍的平均利潤為y1乙廠生產(chǎn)一把測溫槍的平均利潤為y2所以y1所以甲廠生產(chǎn)的測溫槍的利潤更高.19．（12分）（2024·高一課時練習）如圖所示，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的勻整轉(zhuǎn)盤A，B．轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標上1，2，3三個數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標上3，4，5，6四個數(shù)字．有人為甲、乙兩人設計了一個游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字，將指針所指的兩個數(shù)字相加，假如和是6，那么甲獲勝，否則乙獲勝．你認為這樣的游戲規(guī)則公允嗎？假如公允，請說明理由；假如不公允，怎樣修改規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公允？【解題思路】運用古典概型的概率計算公式，列出表格，得到事務總數(shù)和和為6的事務個數(shù)，即可得到結果.【解答過程】列表如下：由表可知，等可能的結果有12種，和為6的結果只有3種．因為P(和為所以這樣的游戲規(guī)則不公允．假如將規(guī)則改為“和是6或7，則甲勝，否則乙勝”，那么此時游戲規(guī)則是公允的.20．（12分）（2024春·遼寧沈陽·高一開學考試）為增加學生的環(huán)保意識，讓學生駕馭更多的環(huán)保學問，某中學實行了一次“環(huán)保學問競賽”.為了解參加本次競賽學生的成果狀況，從中抽取了部分學生的成果（得分取正整數(shù)，滿分100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，依據(jù)50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（莖葉圖中僅列出了得分在50,60，90,100的數(shù)據(jù)），如下圖所示.(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；(2)試估測本次競賽學生成果的平均數(shù)、中位數(shù)；(3)在70,80，80,90內(nèi)按分層抽樣的方法抽取5名學生的成果，從這5名學生中隨機抽取2人，求2人成果都在70,80的概率.【解題思路】（1）利用50,60的頻數(shù)8及頻率0.16可得出樣本容量，進而求出x，y的值；（2）中點值以及占比計算出平均值，面積法得到中位數(shù)；（3）運用列舉法得出2人成果都在70,80的概率.【解答過程】（1）由題意可知，樣本容量n=80.016×10=50x=0.1?0.004?0.010?0.016?0.04=0.030.（2）x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6設中位數(shù)為m，則(m?70)×0.04=0.5?0.16?0.3，所以m=71.（3）在[70,80)，[80,90)成果分組的學生分別為20人，5人，現(xiàn)要按分層抽樣抽取5人，則在[70,80)，[80,90)成果分組中各抽取4人，1人；記成果在[70,80)的學生為A，B，C，D，成果在[80,90)的學生為E.則從這5人中抽取2人有A,B，A,C，A,D，A,E，B,C，B,D，B,E，C,D，C,E，D,E共10種狀況.2人成果都在[70,80)的有A,B，A,C，A,D，B,C，B,D，C,D共6種狀況.所以從這5名學生中隨機抽取2人，2人成果都在[70,80)的概率P=321．（12分）（2024秋·福建莆田·高二期中）甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋競賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場競賽，方框中是進行該場競賽的兩名棋手，第i場競賽的勝者稱為“勝者i”，負者稱為“負者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場競賽獲勝的概率均為34（Ⅰ）求甲獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是其次次相遇的概率.【解題思路】（Ⅰ）甲獲得冠軍，有三種途徑，第一種連勝三場，其次種先勝一場，然后輸一場勝兩場，第三種先輸一場，再連贏三場，求三種狀況的概率之和即可.（Ⅱ）假如甲進入決賽，且乙與其決賽對手是其次次相遇，有三種可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三種狀況的概率之和即可.【