樣本相關(guān)系數(shù)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第三冊(cè)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

樣本相關(guān)系數(shù)復(fù)習(xí)回顧:兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系把成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái),由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.2.散點(diǎn)圖3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢(shì).正相關(guān):一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì).負(fù)相關(guān):4.線性相關(guān)非線性相關(guān)

通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.

散點(diǎn)圖雖然直觀,但無(wú)法確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無(wú)法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引人均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣,引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”,對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?問(wèn)題1.你能否判斷出那副圖的相關(guān)性更強(qiáng)呢?

如果變量x和變量y負(fù)相關(guān),那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第二、四象限,對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)居多.························

一般地,如果變量x和變量y正相關(guān),那么均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第一、三象限,對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)居多;問(wèn)題3.根據(jù)上述分析,你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律,構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎?

利用散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是否同號(hào),可以構(gòu)造一個(gè)量問(wèn)題4.Lxy的大小是否一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?因?yàn)長(zhǎng)xy的大小與數(shù)據(jù)的度量得有關(guān),所以不宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.

樣本相關(guān)系數(shù)

對(duì)于變量x和變量y,設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),???,(xn,yn),其中x1,x2,???,xn和y1,y2,???,yn的均值分別為和.我們稱

為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征:①當(dāng)r>0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);

當(dāng)r<0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②r的范圍:|r|≤1;特別地,當(dāng)|r|=0時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)的沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系;但不排除它們有其他相關(guān)關(guān)系當(dāng)|r|=1時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)都落在一條直線上.③當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);

當(dāng)|r|越接近0時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱;圖(1)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強(qiáng).圖(2)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的負(fù)線性相關(guān)程度比較強(qiáng).圖(3)中對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱.圖(4)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱

兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)散點(diǎn)圖對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度:r的符號(hào)反映相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性,|r|的大小反映兩個(gè)變量線性相關(guān)的程度,即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān),且相關(guān)程度很強(qiáng).編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān),且相關(guān)程度很強(qiáng).練習(xí)1.已知變量x和變量y的3對(duì)隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)(2,2),(3,-1),(5,-7),計(jì)算成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個(gè)變量線性相關(guān)嗎?為什么?解:由樣本數(shù)據(jù)可得雖然樣本相關(guān)系數(shù)為-1,三個(gè)樣本點(diǎn)在一條直線上,但是由于樣本量太小,據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)并不可靠.練習(xí)2.畫(huà)出下列成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此,請(qǐng)你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫(huà)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系上的特點(diǎn).(1)(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7);(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16);(3)(-2,-8),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)

(1,),(0,2),(-1,),(-2,0).248x-4-320-213-16y-2??????515x2041310y?????20.51.5x-320-213-11y??????51020x-10-320-213-115y-5??????25例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如下表所示.解:第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬(wàn)元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫(huà)出散點(diǎn)圖,推斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān),并通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.

畫(huà)出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖所示.從散點(diǎn)圖看,A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷,A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān),即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢(shì),且相關(guān)程度很強(qiáng).例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如下表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖,分別如圖(1)和(2)所示,兩個(gè)散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征

練習(xí)3.隨機(jī)抽取7家超市,得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下:解:由樣本數(shù)據(jù)可得正線性相關(guān),相關(guān)性較強(qiáng),銷售額與廣告支出的變化趨勢(shì)相同.超市ABCDEFG廣告支出/萬(wàn)元1246101420銷售額/萬(wàn)元19324440525354請(qǐng)推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的特征.課堂小結(jié):1.樣本相關(guān)系數(shù):2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):①當(dāng)r>0時(shí),稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r

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