八年級數(shù)學(xué)下冊專題07 平行四邊形綜合壓軸特訓(xùn)（解析版）

專題07平行四邊形綜合壓軸特訓(xùn)一．選擇題（共16小題）1．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP＝90°，又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；∵AE＝AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，故③正確；∵AE＝AP＝1，∴PE＝AE＝，在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，＝×1×1+××2，＝0.5+，故④正確；過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝×2＝，即點B到直線AE的距離為，故②錯誤，綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：A．2．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對角線交于點O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對角線交BD于點O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2．…，依此類推，則平行四邊形ABC2009O2009的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD的對角線互相平分，面積為5，∴平行四邊形ABC1O1的面積為，∵平行四邊形ABC1O1的對角線互相平分，∴平行四邊形ABC2O2的面積為×＝，…，依此類推，平行四邊形ABC2009O2009的面積為．故選：B．3．如圖，在正方形ABCD中，點M、N為邊BC和CD上的動點（不含端點），∠MAN＝45°下列三個結(jié)論：①當(dāng)MN＝MC時，則∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周長不變．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，∴MN＝，∴MN2＝MC2+NC2．當(dāng)MN＝MC時，MN2＝2MC2，∴MC2＝NC2∴MC＝NC．∴BM＝DN易證△ABM≌△ADN（SAS）．∴∠BAM＝∠DAN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，故①正確；②：如圖，將△ABM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，則∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，則在△EAN和△MAN中，∴△EAN≌△MAN（SAS），∴∠AMN＝∠AED，∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，故②正確；③：∵△EAN≌△MAN，∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，∴△MNC的周長為：MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，∵DC和BC均為正方形ABCD的邊長，故△MNC的周長不變．綜上①②③都正確．故選：D．4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AC與BD相交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝3，P為對角線BD上一點，當(dāng)對角線BD平分∠NPM時，PM﹣PN值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解答】解：如圖所示，∵對角線BD平分∠NPM，∴作以BD為對稱軸N的對稱點N'，連接MN'，PN'，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O為AC中點∴OA＝OC＝2∵N為OA的中點∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'為等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值為1．故選：A．5．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點的坐標(biāo)分別是（）A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）【答案】B【解答】解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，延長CA交x軸于點H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE＝，即點B（，3），∴AF＝OE＝，∴點C的橫坐標(biāo)為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點C（﹣，4）．故選：B．6．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四邊形DEOF中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，而CE＝DF，∴AF＝DE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，所以（1）正確；∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AE⊥BF，所以（2）正確；連接BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）錯誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，∴S△AOB＝S四邊形DEOF，所以（4）正確．故選：B．7．如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則PQ的長為（）A． B． C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，∴△BQA≌△BQE，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點Q是AE中點，點P是AD中點（三線合一），∴PQ是△ADE的中位線，∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，∴PQ＝DE＝3．故選：C．8．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解答】解：如圖，設(shè)正方形S2的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22+22，＝8，∴S2的面積為EC2＝8；∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故選：B．9．如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連接菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的周長為1，則第n個矩形的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：已知第一個矩形的周長為1；由中位線定理，可知第二個矩形的邊長是菱形對應(yīng)的對角線的，即第二個矩形的邊長是第一個矩形對應(yīng)的邊長的，所以第二個矩形的周長為第一個矩形周長的，故第二個矩形的周長為；同理，第三個矩形的周長是第二個矩形周長的，故第三個矩形的周長為（）2；…故第n個矩形的周長為（）n﹣1．故選：C．10．在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：由勾股定理的幾何意義可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故選A．11．如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC【答案】C【解答】解：依題意得，四邊形EFGH是由四邊形ABCD各邊中點連接而成，連接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，要使四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的判定（有一個角為直角的平行四邊形是矩形）故當(dāng)AC⊥BD時，∠EFG＝∠EHG＝90度．四邊形EFGH為矩形．故選：C．12．用邊長為1的正方形紙板，制成一副七巧板（如圖①），將它拼成“小天鵝”圖案（如圖②），其中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖，陰影部分面積是正方形的面積減去，A，B，C部分的面積，A與B的和是正方形的面積的一半，C的面積是正方形的，所以，陰影部分面積＝1﹣﹣＝．故選：A．13．已知：四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分別是AD，BC的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤【答案】D【解答】解：連接BD，過M作MG∥AB，連接NG．∵M(jìn)是邊AD的中點，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位線，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；∵N是BC的中點，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位線，NG＝CD＝×3＝，在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，當(dāng)MN＝MG+NG，即MN＝時，四邊形ABCD是梯形，故線段MN長的取值范圍是＜MN≤．故選：D．14．如圖，把菱形ABCD沿對角線AC的方向移動到菱形A′B′C′D′的位置，它們的重疊部分（圖中陰影部分）的面積是菱形ABCD面積的，若AC＝，則菱形移動的距離AA′是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：依題意有，AC＝，所以A′C＝1．則平移的距離是AA′＝﹣1．故選：B．15．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A，O，E在同一直線l上，且EF＝，AB＝3，給出下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正確；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故錯誤；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延長線于G，則FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故錯誤；④△COF的面積S△COF＝×3×1＝，故正確；∴其中正確的結(jié)論為①④，故選：B．16．定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點M（2，0），在邊AB存在點P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點P的坐標(biāo)為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．綜上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故選：D．二．填空題（共11小題）17．如圖，正方形ABCD的邊長為4，O為對角線BD的中點，點M在邊AB上，且BM＝2AM，點N在邊BC上，且BN＝AM，連接AN，MD交于點P，連接OP，則OP的長為．【答案】．【解答】解：如圖，設(shè)AN和BD交于點Q，∵正方形ABCD的邊長為4，∴BD＝＝4，∵BM＝2AM，∴BM+AM＝AB＝4，∴AM＝BN＝，BM＝，∵AD∥BN，∴△NQB∽△AQD，∴＝＝＝，∴DQ＝3BQ，∴DQ＝3，BQ＝，∵O是BD的中點，∴OD＝2，∴OQ＝DQ﹣OD＝，在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（SAS），∴∠ADM＝∠BAN，∵∠PAD+∠BAN＝90°，∴∠PAD+∠ADM＝90°，∴∠APD＝90°，∵∠DAM＝90°，AM＝，AD＝4，∴DM＝＝，∵S△ADM＝AD?AM＝DM?AP，∴AP＝＝，∴PM＝＝，∴PD＝DM﹣PM＝，∵△ADM≌△BAN，∴AN＝DM＝，∵＝，∴NQ＝，AQ＝，∴PQ＝AQ﹣AP＝﹣＝，如圖，過點O作OG⊥DM于點G，∵OG∥PQ，∴△OGD∽△QPD，∴＝＝＝，∴DG＝DP＝×＝，OG＝QP＝×＝，∴PG＝DP﹣DG＝﹣＝，∴OP＝＝＝．故答案為：．18．如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC延長線于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的結(jié)論序號是①②③．【答案】①②③．【解答】解：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正確；∴矩形DEFG為正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正確；當(dāng)DE⊥AC時，點C與點F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯誤，綜上所述：①②③．故答案為：①②③．19．在正方形ABCD中，點G在AB上，點H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分別與對角線AC交于點E、F，則線段AE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系為EF2＝AE2+CF2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，將△DCH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△DAM，則△DAM≌△DCH則DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM在DM上截取DN＝DF，連接NE，AN在△DAN和△DCF中；∴△DAN≌△DCF（SAS）∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°又∵∠DAC＝45°∴∠NAE＝90°∴AN2+AE2＝NE2∵∠GDH＝45°，∴∠NDE＝45°在△DNE和△DFE中∴△DNE≌△DFE∴NE＝EF又∵AN＝CF∴CF2+AE2＝EF2故答案為：EF2＝AE2+CF2．20．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC最小時，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC?BC＝AB?PC，∴PC＝．∴線段EF長的最小值為；故答案為：．21．如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次連接△A1B1C1三邊中點，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點得△A3B3C3，…，則△A5B5C5的周長為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此類推：△A5B5C5的周長為△A1B1C1的周長的，∴則△A5B5C5的周長為（7+4+5）÷16＝1．故答案為：122．如圖所示，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以AE為邊作第三個正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面積S1＝1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，…Sn（n為正整數(shù)），那么第8個正方形面積S8＝128．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意可得：第n個正方形的邊長是第（n﹣1）個的倍；故面積是第（n﹣1）個的2倍，已知第一個面積為1；則那么第8個正方形面積S8＝27＝128．故答案為128．23．將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A1、A2…An分別是各正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積的和為cm2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n﹣1）＝cm2．故答案為：．24．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC＝60°．連接AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是（）n﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接DB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB．AC⊥DB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝，同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為（）n﹣1，故答案為（）n﹣1．25．如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，則EF的長為1.5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴AD＝BD，∵∠AFB＝90°，∴DF＝AB＝2.5，∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案為：1.5．26．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2＝36．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，∵E、H分別是AB、DA的中點，∴EH是△ABD的中位線，∴EH＝BD＝3，同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，∴EF＝GH＝AC＝3，F(xiàn)G＝BD＝3，∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥HF，且垂足為O，∴EG＝2OE，F(xiàn)H＝2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，等式兩邊同時乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，∴（2OE）2+（2OH）2＝36，即EG2+FH2＝36．故答案為：36．27．已知：如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運(yùn)動，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則P點的坐標(biāo)為（2，4）或（3，4）或（8，4）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：顯然PO≠PD，不考慮；當(dāng)OD＝PD（P在右邊）時，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：過P作PQ⊥x軸交x軸于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，根據(jù)勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，則P1（8，4）；當(dāng)PD＝OD（P在左邊）時，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：過P作PQ⊥x軸交x軸于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，根據(jù)勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，則P2（2，4）；當(dāng)PO＝OD時，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：過P作PQ⊥x軸交x軸于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，根據(jù)勾股定理得：OQ＝3，則P3（3，4），綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（2，4）或（3，4）或（8，4）．故答案為：（2，4）或（3，4）或（8，4）三．解答題（共13小題）28．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為垂直，數(shù)量關(guān)系為相等．②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運(yùn)動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD…（2分）故答案為：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD與△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD…（7分）（2）當(dāng)∠ACB＝45°時可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G…（9分）則∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF＝∠AGD＝45°∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°∴CF⊥BC…（12分）29．已知：如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF＝AE．（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）當(dāng)∠A的大小為多少度時，四邊形BECF是正方形？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴BE：AB＝DB：BC，∵D為BC中點，∴DB：BC＝1：2，∴BE：AB＝1：2，∴E為AB中點，即BE＝AE，∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四邊形BECF是菱形．（2）當(dāng)∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形．證明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．30．（1）證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)（“已知”除外）]（2）如圖2，在?ABCD中，對角線交點為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點，…，以此類推．若?ABCD的周長為1，直接用算式表示各四邊形的周長之和l；（3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，求證：DE∥BC且DE＝BC，證明：如圖，延長DE至F，使EF＝DE，∵E是AC的中點，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠A＝∠ECF（全等三角形對應(yīng)角相等），∴AD∥CF，∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∴BD＝CF且BD∥CF，∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DF∥BC且DF＝BC（平行四邊形的對邊平行且相等），∵DE＝EF＝DF，∴DE∥BC且DE＝BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點，∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，∴四邊形A1B1C1D1的周長＝×1＝，同理可得，四邊形A2B2C2D2的周長＝×＝，四邊形A3B3C3D3的周長＝×＝，…，∴四邊形的周長之和l＝1++++…；（3）由圖可知，+++…＝1（無限接近于1），所以l＝1++++…＝2（無限接近于2）．31．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACD的外角平分線于點F．（1）求證：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的長；（3）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點E，交∠ACD的外角平分線于點F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．證明：當(dāng)O為AC的中點時，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形．32．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF＝2．連接BD．（1）圖中有幾對三角形全等？試選取一對全等的三角形給予證明；（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．（3）當(dāng)△BEF的面積取得最小值時，試判斷此時EF與BD的位置關(guān)系．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對；證明：△BDE≌△BCF．在△BDE和△BCF中，，故△BDE≌△BCF．（2）△BEF為正三角形．理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF為正三角形；（3）設(shè)BE＝BF＝EF＝x，則S△BEF＝?x?x?sin60°＝x2，當(dāng)BE⊥AD時，x最?。?×sin60°＝，此時△BEF的面積最小，此時點E、F分別位于AD、CD的中點，故此時BD垂直平分EF．33．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最?。虎诋?dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵M(jìn)B＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）解：①當(dāng)M點落在BD的中點時，A、M、C三點共線，AM+CM的值最小．②如圖，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時，EN+MN+CM取得最小值，最小值為EC．在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS），∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，∴若連接EC，則∠BEC＝∠BCE，∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同時在直線EC上．∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．（3）解：過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．設(shè)正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝．在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴（）2+（x+x）2＝．解得x1＝，x2＝﹣（舍去負(fù)值）．∴正方形的邊長為．34．已知：如圖，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上的一動點，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分別為E、F．（Ⅰ）當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長與寬滿足什么條件？試說明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，矩形PEMF變?yōu)檎叫危繛槭裁?？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（Ⅰ）法1：答：當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又∵AM＝DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB＝∠DMC∵四邊形PEMF為矩形，∴∠BMC＝90°，∴∠AMB＝∠DMC＝45°∴AM＝DM＝DC，即AD＝2DC．∴當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍；法2：∵四邊形PEMF為矩形，∴∠M為直角，∴B、C、M三點共圓，BC為直徑，又∵M(jìn)為AD的中點，∴BC＝2CD，∴當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍．（Ⅱ）答：當(dāng)點P運(yùn)動到BC中點時，四邊形PEMF變?yōu)檎叫危摺鰽MB≌△DMC，∴MB＝MC．∵四邊形PEMF為矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵點P是BC中點，∴PE＝PF＝MC∴四邊形PEMF為正方形．35．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE＝EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM＝EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）正確．證明：在AB上取一點M，使AM＝EC，連接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分線，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）正確．證明：在BA的延長線上取一點N．使AN＝CE，連接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．36．設(shè)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上滑動保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于點P．（1）求證：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）延長CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，而EF′?AB＝EF?AP，∴AB＝AP．解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF＝EC+CF+EF′＝EC+BE+CF+BF′＝BC+CF+DF＝BC+CD＝2AB＝10．37．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，向D，B運(yùn)動．當(dāng)一個點到達(dá)端點時，停止運(yùn)動，另一個點也停止運(yùn)動．（1）如果P、Q的速度分別為1cm/s和3cm/s．運(yùn)動時間為t秒，則t為何值時，PQ＝DC．并說明理由．（2）如果P的速度為1cm/s，其他條件不變，要使四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，求Q點運(yùn)動的速度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H．則四邊形ABHD是矩形．∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，①當(dāng)四邊形PQCD是平行四邊形時，PD＝CQ，∴20﹣t＝3t，解得t＝5．②當(dāng)四邊形PQCD是等腰梯形時，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，∴3t﹣（20﹣t）＝8，解得t＝7．綜上所述，t＝5或7s時，PQ＝CD．（2）設(shè)Q點運(yùn)動的速度xcm/s時，∵四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，∴t＝4或16，∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解得x＝5或，∴要使四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，Q點運(yùn)動的速度為5cm/s或cm/s．38．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE交AC于F．（1）求證：四邊形ADCE為矩形．（2）線段DF與AB有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？簡述你的理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解