七年級數(shù)學(xué)下冊專題04 平方根與立方根壓軸四大類型（解析版）

專題04平方根與立方根壓軸四大類型考點一：平方根的非負(fù)性考點二：探究性規(guī)律問題考點三：平方根與立方根的綜合應(yīng)用考點四：平方根與立方根的實際應(yīng)用【考點一：平方根的非負(fù)性】【典例1】（2023秋?道縣期末）若a，b為實數(shù)，且，則（ab）2024的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【答案】B【解答】解：由題可知，，則a+2＝0，b﹣＝0，即a＝﹣2．b＝，所以（ab）2024＝（﹣1）2024＝1．故選：B．【變式1-1】（2023秋?麻陽縣期末）已知實數(shù)x，y滿足+（y+1）2＝0，則x+y等于1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x+y＝2+（﹣1）＝1．故答案為：1．【變式1-2】（2023秋?渠縣期末）已知|x+5|+＝0，則x+y＝﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵|x+5|+＝0，又∵|x+5|≥0，，∴x+5＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣5，y＝3，∴x+y＝﹣5＝3＝﹣2，故答案為：﹣2．【變式1-3】（2023秋?簡陽市期末）若（x+4）2+＝0，則x+y＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵（x+4）2+＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3，∴x+y＝﹣4+3＝﹣1．故答案為：﹣1．【考點二：探究性規(guī)律問題】、【典例2】（2023?東興區(qū)校級開學(xué)）按要求填空：（1）填表：a0.00040.0444000.020.2220（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：已知：，則＝26.83，＝0.02683；已知：，，則x＝3800．【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）26.38，0.02638，3800．【解答】解：（1）根據(jù)題意填表如下：a0.00040.0444000.020.2220故答案為：0.02，0.2，2，20；（2）∵，∴＝26.83，＝0.02683；∵，∴，則x＝3800；故答案為：26.83，0.02683，3800．【變式2-1】（2022秋?南海區(qū)校級月考）觀察等式2；3；4；…；根據(jù)規(guī)律寫出第（n﹣1）個等式為n（n為自然數(shù)，且n≥2）．【答案】n．【解答】解：∵2；3；4；…；∴第（n﹣1）個等式為n（n為自然數(shù)，且n≥2），故答案為：n．【變式2-2】（2023春?通遼期末）觀察下表規(guī)律，a0.0088800080000000.2220200利用規(guī)律如果＝1.333，＝2.872，則＝0.2872．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：23.7×0.001＝0.0237，∴＝0.1×＝0.2872．故答案為：0.2872．【變式2-3】（2023春?民勤縣校級期中）有一組按規(guī)律排列的數(shù)：，，，2，…則第n個數(shù)是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：觀察數(shù)據(jù)可知，這組數(shù)據(jù)的規(guī)律是：，，，，…，則第n個數(shù)是．故答案為：．【考點三：平方根與立方根的綜合應(yīng)用】【典例3】（2023秋?都昌縣期末）已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算術(shù)平方根是5，c是9的算術(shù)平方根．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵43＝64，∴6a+34＝64，∴a＝5；∵52＝25，∴5a+b﹣2＝25，又∵a＝5，∴b＝2；∵32＝9，∴c＝3；（2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得：3×5﹣2+3＝16，∵（±4）2＝16，∴3a﹣b+c的平方根是：±4．【變式3-1】（2023秋?沐川縣期末）已知正數(shù)a的兩個不同平方根分別是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算術(shù)平方根是4．（1）求a和b的值；（2）求2a﹣b2+17的立方根．【答案】（1）a的值為36，b的值為5；（2）4．【解答】解：（1）由題意得，2x﹣2+6﹣3x＝0，解得x＝4，∴2x﹣2＝6，∴a＝62＝36，∵a﹣4b的算術(shù)平方根是4，∴a﹣4b＝16，∴b＝5；（2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64，而64的立方根是4，∴2a﹣b2+17的立方根為4．【變式3-2】（2023秋?儀征市期末）已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3．（1）求m﹣n的平方根；（2）若4a+m的算術(shù)平方根是4，求3a﹣2n的立方根．【答案】（1）m﹣n的平方根為±1；（2）3a﹣2n的立方根﹣2．【解答】解：（1）由題意得，3m+1＝52，5n﹣m＝33，解得m＝8，n＝7，∴m﹣n＝8﹣7＝1，∵（±1）2＝1，∴m﹣n的平方根為±1；（2）∵16的算術(shù)平方根4，∴4a+m＝16，即4a+8＝16，解得a＝2；∴3a﹣2n＝3×2﹣2×7＝﹣8，∵﹣8的立方根為﹣2，∴3a﹣2n的立方根﹣2．【變式3-3】（2023秋?宿城區(qū)期末）已知實數(shù)a+9的一個平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．（1）求a、b的值．（2）求2a+b的算術(shù)平方根．【答案】（1）a＝16，b＝4；（2）6．【解答】解：（1）∵實數(shù)a+9的一個平方根是﹣5，∴a+9＝（﹣5）2＝25，解得a＝16，∵2b﹣a的立方根是﹣2，∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，解得b＝4，∴a＝16，b＝4；（2）解：，即2a+b的算術(shù)平方根是6．【考點四：平方根與立方根的實際應(yīng)用】【典例4】（2023春?云夢縣期中）某農(nóng)場有一塊用鐵柵欄圍墻圍成面積為700平方米的長方形空地，長方形長寬之比為7：4．（1）求該長方形的長寬各為多少？（2）農(nóng)場打算把長方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗田，兩個小正方形的邊長比為4：3，面積之和為600平方米，并把原來長方形空地的鐵柵欄圍墻全部用來圍兩個小正方形試驗田，請問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗田嗎，如果能，原來的鐵柵欄圍墻夠用嗎？【答案】（1）長方形的長35米，寬20米；（2）能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗田；原來的鐵柵欄圍墻不夠用．【解答】解：（1）設(shè)該長方形花壇長為7x米，寬為4x米，依題意得：7x×4x＝700，x2＝25，∴x＝5（﹣5不合題意舍去）∴7x＝35，4x＝20，答：該長方形的長35米，寬20米；（2）設(shè)大正方形的邊長為4y米，則小正方形的邊長為3y米，依題意有（4y）2+（3y）2＝600，25y2＝600，y2＝24，y＝，4y＝，，∵＜35，，∴能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗田；，（35+20）×2＝110，∵，∴原來的鐵柵欄圍墻不夠用．【變式4-1】（2023秋?汝州市期中）如圖，用兩個邊長為cm的小正方形紙片拼成一個大的正方形紙片，沿著大正方形紙片的邊的方向截出一個長方形紙片，能否使截得的長方形紙片的長是寬的2倍，且面積為30cm2？請說明理由．【答案】見解答過程．【解答】解：因為大正方形紙片的面積為+＝36cm2，所以大正方形的邊長為6cm，設(shè)裁出的長方形的寬為acm，則長為2acm，由面積為30cm2得，2a?a＝30，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），所以2a＝2＞6，所以不能使截得的長方形紙片的長是寬的2倍，且面積為30cm2．【變式4-2】（2023秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣校級月考）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3．（1）求長方體的水池長、寬、高為多少？（2）當(dāng)有一個半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的，求該小球的半徑為多少（π取3，結(jié)果精確到0.01cm）？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3，∴設(shè)長方體的水池長、寬、高為2x，2x，4x，∴2x?2x?4x＝16000，∴16x3＝16000，∴x3＝1000，解得：x＝10，∴長方體的水池長、寬、高為：20cm，20cm，40cm；（2）設(shè)該小球的半徑為rcm，則：πr3＝×16000，∴r3＝×16000×，∴r≈4.05，答：該小球的半徑為4.05cm．【變式4-3】（2022春?嘉祥縣月考）如圖，把兩個底面直徑分別為12cm和16cm，高為20cm的圓柱形鋼錠熔化后做成一個正方體的鋼錠，求這個正方體鋼錠的棱長．（精確到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64）【答案】18cm．【解答】解：設(shè)這個正方體鋼錠的棱長為xcm．由題意得，．∴x3＝2000π．∴x＝≈≈18（cm）．∴這個正方體鋼錠的棱長為18cm．1．設(shè)S1＝1+，，，…，，則++…+的值為（）A． B． C．24 D．23【答案】C【解答】解：＝1+1﹣，＝1+﹣，＝1+﹣，＝＝1+﹣，…，，∴＝1+1…+1+﹣＝24+1﹣＝＝24．故選：C．2．交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計車輛行駛的速度，所用的經(jīng)驗公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦因數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中，測得d＝20米，f＝1.2，肇事汽車的車速大約為78.38千米/時．（結(jié)果精確到0.01千米/時）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：v＝16≈78.38（千米/時）．3．已知實數(shù)2a﹣1的平方根是±3，＝5，求a+b的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由已知2a﹣1的平方根是±3，則2a﹣1＝32＝9，則a＝5；由＝5，則2b+3＝52＝25，則b＝11，則a+b＝16．所以a+b的平方根為±4．4．已知a、b、c滿足，求以a、b、c為三邊長的三角形周長．【答案】5+5．【解答】解：（1）由題意得：，∴a＝2，b＝5，c＝3；2+5+3＝5+5．答：三角形的周長為：5+5．5．求下列各式中x的值：（1）（x+2）2﹣36＝0；（2）64（x+1）3＝27．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣36＝0∴（x+2）2＝36∴x+2＝±6解得，x1＝﹣8，x2＝4；（2）∵64（x+1）3＝27∴（x+1）3＝∴x+1＝∴x＝﹣．6．如圖，長方形ABCD的面積為360cm2，長和寬的比為3：2，在此長方形內(nèi)沿著邊的方向能否并排截出兩個面積均為147cm2的圓（π取3），請通過計算說明理由．【答案】不能，理由見詳解．【解答】解：設(shè)長方形的長DC為3xcm，寬AD為2xcm．由題意，得3x?2x＝360，解得：x2＝60，∵x＞0，∴，∴AB＝3cm，BC＝2cm．∵圓的面積為147cm2，設(shè)圓的半徑為rcm，∴πr2＝147，解得：r＝7．∴兩個圓的直徑總長為28cm．∵3＜3＝3×8＝24，∴不能并排裁出兩個面積均為147cm2的圓．7．小麗想用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300平方厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2．她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁．小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：正方形的邊長＝＝20（cm）．設(shè)長方形的邊長為3xcm，2xcm．根據(jù)題意得：3x?2x＝300，解得：x2＝50，解得：x＝5或x＝﹣5（舍去）．∴矩形的長為3×5＝15＞20，∴小麗不能用這款紙片才裁出符合要求的紙片．8．某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間t（h）可以用公式t2＝來估計，其中d（km）是雷雨區(qū)域的直徑，如果雷雨區(qū)域的直徑為9km，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵t2＝，∴t＝．將d＝9代入得：t＝＝0.9．∴那么這場雷雨大約能持續(xù)0.9h時間．9．閱讀下列解題過程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…（1）＝，＝．（2）觀察上面的解題過程，則＝（n為自然數(shù)）（3）利用這一規(guī)律計算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）＝，＝，故答案為：，．（2）觀察上面的解題過程，則＝＝，故答案為：；（3）原式＝＝＝．10．如圖是一塊面積為900cm2的正方形紙片，小明想沿著邊的方向用它裁出一塊面積為560cm2的長方形紙片．且使它的長、寬之比為2：1，不知能否裁出來，正在發(fā)愁，小華看見了說：“肯定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片呀！”你同意小華的觀點嗎？小明能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)長方形的寬為xcm，則長方形的長為2xcm，根據(jù)題意，得：2x2＝560，解得：x＝2（負(fù)值舍去），則長為4，∵70＞64，∴4＞4，即4＞32，又∵正方形的邊長為cm，即30cm，∴4＞32＞30，∴小華的觀點錯誤，小明不能用這塊正方形的紙片裁剪出符合條件的長方形紙片．11．請閱讀材料：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么正數(shù)就叫做a的算術(shù)平方根，記作（即＝＝x），如32＝9，3叫做9的算術(shù)平方根．（1）計算下列各式的值：＝2，＝5，＝10（2）觀察（1）中的結(jié)果，，之間存在怎樣的關(guān)系？?＝（3）由（2）的猜想：＝（a≥0，b≥0）（4）根據(jù)（3）計算：＝4，＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）＝2，＝5，＝10（2）觀察（1）中的結(jié)果，，之間存在：?＝，（3）由（2）的猜想：＝（a≥0，b≥0）（4）根據(jù)（3）計算：＝＝＝4，＝＝＝．故答案為：2，5，10，?＝，．12．一物體從高處自由落下，落到