等比數(shù)列教學(xué)案

等比數(shù)列教學(xué)案

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)

知能目標(biāo)解讀

1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來.

2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.

3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運(yùn)用.

重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥

重點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用.

難點(diǎn)：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.

學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，把它們重新依次看成

一個(gè)新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因?yàn)殡S意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù),

則以取得的第一個(gè)數(shù)為首項(xiàng)，且仍滿足從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都

是同一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比

數(shù)列.

2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢?biāo)成等差的三項(xiàng)及以上的數(shù)，按原數(shù)列的先

后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡言之：下角標(biāo)成等差，項(xiàng)成等比.我們

不妨設(shè)從等比數(shù)列｛an｝中依次取出的數(shù)為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…，則===—

=qm（q為原等比數(shù)列的公比），所以此數(shù)列成等比數(shù)列.

3.如果數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比為q,c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列｛can｝

仍是等比數(shù)列，且公比仍為q；?｛an｝?也是等比，且公比為q.我們可以設(shè)數(shù)列｛an｝

的公比為q,且滿足=口,則==q,所以數(shù)列｛can｝仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可

證｛an｝也是等比數(shù)列，公比為q.

4.在等比數(shù)列｛an｝中,若m+n=t+s且m,n,t,sGN+則aman=atas.理由如下：因

為aman=a1qm-1a1qn-

=a21qm+n-2,atas=alqt-la1qs-l=a21qt+s-2,又因?yàn)閙+n=t+s,所以

m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項(xiàng)數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首

末兩端相等的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)之積.

5.若｛an｝,｛bn｝均為等比數(shù)列,公比分別為ql,q2,則

(1)｛anbn｝仍為等比數(shù)列，且公比為qlq2.

(2)｛｝仍為等比數(shù)列，且公比為.

理由如下:(1)=qlq2,所以｛anbn｝仍為等比數(shù)列,且公比為qlq2；(2)

一,

所以(｝仍為等比數(shù)列，且公比為.

知能自主梳理

1.等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系

(1)兩項(xiàng)關(guān)系

通項(xiàng)公式的推廣：

an=am(田、n￡N+).

(2)多項(xiàng)關(guān)系

項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)

若m+n=p+q(m、n、p、q￡N+),

貝ijaman二.

特別地，若m+n=2p(m、n、p￡N+),

則aman=.

2.等比數(shù)列的項(xiàng)的對稱性

有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積（若有

中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的平方），即alan=a2=ak=a2（n為正奇數(shù)）.

［答案］1.qn-mapaqa2p

2.an-1an-k+

思路方法技巧

命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m（m、nGN+）解題

［例門在等比數(shù)列｛an｝中,若a2=2,a6=162,求alO.

［分析］解答本題可充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，求得q,再求alO.

［解析］解法一：設(shè)公比為q,由題意得

alq=2al=al=-

，解得，或.

alq5=162q=3q=-

.?.al0=alq9=X39=13122或al0=alq9=-X（-3）9=13122.

解法二：Va6=a2q4,

q4===81,

二a10=a6q4=162X81=13122.

解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2al0得

alO===13122.

［說明］比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求

解，使問題變得簡單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)

列的問題時(shí)，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.

變式應(yīng)用1已知數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且qNl,試比較al+a8與

a4+a5的大小.

［解析］解法一：由已知條件al>0,q>0,且qWl,這時(shí)

(al+a8)-(a4+a5)=al(l+q7-q3-q4)=al(l-q3)(l-q4)

=al(l-q)2(l+q+q2)(l+q+q2+q3)>0,

顯然，al+a8>a4+a5.

解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

由于(al+a8)-(a4+a5)=(al-a4)-(a5-a8)

=al(l-q3)-a5(l-q3)=(l-q3)(al-a5).

當(dāng)01時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，l-q3與al-a5同為負(fù)數(shù)，

:(al+a8)-(a4+a5)恒正.

Aal+a8>a4+a5.

命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m,n,p,qEN+,且m+n=p+q)解題

［例2］在等比數(shù)列｛an｝中，已知a7al2=5,則a8a9例0all=(

)

A.10

B.25

C.50

D.

［分析］已知等比數(shù)列中兩項(xiàng)的積的問題，常常離不開等比數(shù)列的性質(zhì)，用

等比數(shù)列的性質(zhì)會(huì)大大簡化運(yùn)算過程.

［答案］B

［解析］解法一：Va7al2=a8all=a9a10=5,a8a9alOal1=52=25.

解法二：由已知得alq6alqll=a21ql7=5,

a8a9a10all=alq7alq8alq9a1q10=a41q34=(a21ql7)2=25.

［說明］在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算，若按照

常規(guī)解法，往往是建立al,q的方程組，這樣解起來很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等

比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡的效果.

變式應(yīng)用2在等比數(shù)列用n｝中,各項(xiàng)均為正數(shù)，J.a6al0+a3a5=41,a4a8=5,

求a4+a8.

［解析］Va6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41.

又a4a8=5,an>0,

二a4+a8===.

探索延拓創(chuàng)新

命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用

［例3］試判斷能否構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列｛an｝,使其滿足下列三個(gè)條件：

①al+a6=l1；②a3a4=:③至少存在一個(gè)自然數(shù)m,使am-l,am,am+l+依次成等

差數(shù)列，若能，請寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請說明理由.

［分析1由①②條件確定等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否符合條件③.

［解析］假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列｛an｝,不妨設(shè)數(shù)列｛an｝的

公比為q,由條件①②及ala6=a3a4,得

al+a6=l1

al=al=

，解得，或

ala6=a6=a6=.

al=al=

從而，或.

q=2q=

故所求數(shù)列的通項(xiàng)為an=2n-l或an=26-n.

對于an=2nT,若存在題設(shè)要求的m,則

2am=am-l+(am+l+)，得

2(2m-1)=

2m-2+2m+，得

2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.

對于an=26-n,若存在題設(shè)要求的m,同理有

26-m-8=0,即26-m=8,/.m=3.

綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項(xiàng)為an二26-n.

［說明］求解數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用.

變式應(yīng)用3在等差數(shù)列｛an｝中，公差dW0,a2是al與a4的等比中項(xiàng)，已知

數(shù)列al,a3,akl,ak2,…,akn,...成等比數(shù)列，求數(shù)歹U｛kn｝的通項(xiàng)kn.

［解析］由題意得a22=ala4,

即(al+d)2=al(al+3d),

又d^O,Aal=d.

an=nd.

又al,a3,ak1,ak2,...,akn,....成等比數(shù)列，

???該數(shù)列的公比為q===3.

akn=al3n+l.

又akn=knd,/.kn=3n+l.

所以數(shù)列｛kn｝的通項(xiàng)為kn=3n+l.

名師辨誤做答

［例4］四個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且前三項(xiàng)之積為1,后三項(xiàng)之和為1,求這

個(gè)等比數(shù)列的公比.

［誤解］設(shè)這四個(gè)數(shù)為aq-3,aq-l,aq,aq3,由題意得

a3q-3=l,①

aq-l+aq+aq3=l.②

由①得a=q,把a(bǔ)=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2二-(舍去)，

故所求的公比為.

［辨析］上述解法中，四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2,則公比為正數(shù)，

但題設(shè)并無此條件，因此導(dǎo)致結(jié)果有誤.

［正解］設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

(aq)3=1,

①

aq+aq2+aq3=l.②

由①得a=q-l,把a(bǔ)=q-l代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-，故所

求公比為或-.

課堂鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.在等比數(shù)列｛an｝中，若a6=6,a9=9,則a3等于(

)

A.4

B.

C.

D.3?

［答案］A?

［解析］解法一：?.,a6=a3q3,

Aa3q3=6.?

a9=a6q3,

q3==.

Aa3==6X=4.

解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得

a26=a3a9,

36=9a3,/.a3=4.

2.在等比數(shù)列｛an｝中，a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于(

)

A.90

B.30

C.70

D.

［答案］D

［解析］Vq2==2,?

a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，那么(

)?

A.數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛2an｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛Igan｝是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛nan｝是等比數(shù)列

［答案］A

［解析］數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2,故選A.

二、填空題

4.若a,b,c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.？

［答案］1?

2b=a+c,

［解析］由題意知

b2=ac,

解得a=b=c,/.q=l.

5.在等比數(shù)列｛an｝中，公比q=2,a5=6,則a8二.？

［答案］

［解析］a8=a5q8-5=6X23=48.

三、解答題

6.已知｛an｝為等比數(shù)列,且ala9=64,a3+a7=20,求all.?

［解析］???｛an｝為等比數(shù)列，？

/.ala9=a3a7=64,又a3+a7=20,?

Aa3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個(gè)根.？

/.a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

當(dāng)a3=4時(shí)，a3+a7=a3+a3q4=20,?

Al+q4=5,Aq4=4.?

當(dāng)a3=16時(shí),a3+a7=a3(l+q4)=20,

.\l+q4=,q4=.?

/.all=alql0=a3q8=64或1.

課后強(qiáng)化作業(yè)

一、選擇題

1.在等比數(shù)列｛an｝中,a4=6,a8=18,則al2二(

)

A.24

B.30

C.54

D.108?

［答案］C?

［解析］Va8=a4q4,.*.q4===3,

/.al2=a8q4=54.

2.在等比數(shù)列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為(

)

A.124

B.128

C.130

D.1

［答案］B?

［解析］,/a2+a3=2,a4+a5=16,?

又a4+a5=(a2+a3)q2,

Aq2=8.?

/.a6+a7=(a4+a5)q2=16X8=128.

3.已知｛an｝為等比數(shù)列,且an〉O,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于(

)

A.5

B.10

C.15

D.20?

［答案］A?

［解析］a32=a2a4,a52=a4a6,?

a32+2a3a5+a52=25,

(a3+a5)2=25,?

XVan>0,/.a3+a5=5.

4.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，al和al9為方程x2T0x+16=0的兩根，則

a8al0al2等于(

)

A.16

B.32

C.64

D.256?

［答案］C?

［解析］由已知，得alal9=16,?

又a1a19=a8a12=a102,

/.a8a12=a102=16,又an>0,?

Aal0=4,

/.a8al0al2=al03=64.

5.已知等比數(shù)列｛an｝的公比為正數(shù)，且a3a9等a25,列=1,則al=(

)?

A.

B.

C.

D.2?

［答案］B?

［解析］'/a3a9=a26,又；a3a9=2a25,?

?.a26=2a25,/.()2=2,?

/.q2=2,Vq>0,.,.q=.

又a2=l,.*.al===.

6.在等比數(shù)列｛an｝中,an>an+l,且a7ali=6,a4+al4=5,則等于(

)

A.

B.

C.

D.

［答案］A

a7all=a4al4=

［解析］??,

a4+al4=

a4=3a4=

解得或.

a14=2al4=

又,.?an>an+l,.?.a4=3,al4=2.

??.二二.

7.已知等比數(shù)列｛an｝中，有a3ali=4a7,數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7,

則b5+b9等于(

)

A.2

B.4

C.8

D.

［答案］c

［解析］Va3all=a72=4a7,：a7#0,

；.a7=4,；加7=4,

：｛bn｝為等差數(shù)列,b5+b9=2b7=8.

8.已知00,且a2=l+al,a4=9+a3,則a5-a4等于.

［答案］

［解析］由題意，得a2-al=l,a4-a3=(a2-al)q2=9,

；.q2=9,又an>0,.,.q=3.?

故a5-a4=(a4-a3)q=9X3=27.

10.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=-，則等于.

［答案］-

［解析］=

==-3.

11.（2012株州高二期末）等比數(shù)列｛an｝中，an〉0,且a5a6=9,則

log3a2+log3a9二.

［答案］

［解析］'."an>0,Iog3a2+log3a9=log3a2a

=log3a5a6=log39=log332=2.

12.（2011廣東文，11）已知｛an｝是遞增等比數(shù)列，a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列

的公比q=.

［答案］2?

［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解

得.

解析：a4-a3=a2q2-a2q=4,?

因?yàn)橐?2,所以q2-q-2=0,解得q=—1,或q=2.

因?yàn)閍n為遞增數(shù)列，所以q=2.

三、解答題

13.在等比數(shù)列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求alO.

［解析］Va4a7=a3a8=-512,

a3+a8=124a3=-4a3=l

???，解得或.

a3a8=-512a8=128a8=一

又公比為整數(shù)，

a3=-4,a8=128,q=-2.

Aal0=a3q7=(-4)X(-2)7=512.

14.設(shè)｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an,若

b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.?

［解析］由bl+b2+b3=3,?

得log2(ala2a3)=3,

??ala2a3=23=8,

Va22=ala3,??.a2=2,又blb2b3=-3,

設(shè)等比數(shù)列｛an