高中數(shù)學-數(shù)列的奇偶分類討論

［下載后獲高清完整版-優(yōu)質(zhì)文檔］

高中數(shù)學■數(shù)列的奇偶分類討論

匚觀察發(fā)現(xiàn)、探究規(guī)律］

引例：“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的"帕

斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角

形數(shù)陣，記,為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10....構(gòu)成的數(shù)列｛q｝的

第”項，貝！1q8的值為一.

1

11

12/

13y1

14/41

15ml05I

例題講解

伊噩：城數(shù)糠源于《乾坤港》

中對《易傳》大行之數(shù)五十的

鰥,主要用于耀中國傳筑文化

鋪j太極行生磔.礴所示，數(shù)

列中的每一項,都代表太極后生過

程中曾皖歷過的兩憾逗頡1,

麗10項依次是0.2,4,8,12,

18,24,32,40,50，.一崢

初礴g｝,痢

則/一____：S--___■《乾坤譜》大衍數(shù)列示意圖

問題1:觀察圖形，如何得到數(shù)列的遞推關(guān)系式？

當〃為偶數(shù)時，

當〃為奇數(shù)時，=

a4-as=^

et.-18

a-a=4

人口14<9)54

。6-。5=6

<<?-40

————十(10

a7-a6=6

《乾坤譜》大衍數(shù)列示意圖

問題2:如何由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的通項公式？

當"為明時，o

t解答】

當〃為偶數(shù)時，當”為奇數(shù)時，a？-a?i=n-l.

4=/+(附_%)+&_%)+…+&—4T)

=2+2+4-H4+--+(n-2)+(?-21)+?

=4xfl+2+--卜閥=；/

問題2:如何由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的通項公式？

當”為明時，a,-a,,t=n;

當"為奇數(shù)時，當"為奇數(shù)時，an-a^=n-l.

<7“=4+(藥一a)+33-。2)+?一+3”-4-1)=2+2+4+4+--+(n-l)+(n-l)

=4xfl+2+--+^i-l=?-1

I2)2

經(jīng)驗證：符合上式。

沙-I)口為領(lǐng)?

仿為寓數(shù))

問題3:數(shù)列求和時應(yīng)注意的關(guān)鍵點是什么？

1解答】（”為奇數(shù)）

當”為偶數(shù)時,I"'（"為曲數(shù)）

*=q+%+--+%

=-xll2-l)+-x22+--h-xn2

2'22

12+22+-?21n

--------------------------------X-

222

礁+2)(2”1)

問題3:數(shù)列求和時應(yīng)注意的關(guān)鍵點是什么？當X為破品>1.

S_赤+2煬-1)

當”為翎時,-12

&=/+4++4

=1^-l)+jx2J+-+lp-l)"T空mi（”為奇物

P+24+1n+1M，"；?，，一1）（“為喇

=----------------------------------——X-----------

222

_(?-l)(n+l)(2n+3)

或暮U4-"券也以擁斗配叫嚴+3）

問題4:能否根據(jù)項本身的值，直接得到數(shù)列的通項公式？

。②④⑧④一。，回?,gg,...

【解答】

a=2=—x2*>。,=8=一x4*>a=18=—x6l(L,-32=-x8*?i

?2222

q=0,03=4=4x1,《=12=4x3=4x(1+2),a.=24=4x6=4x(1+2+3卜?

當H為偶魏時，&

當H為奇數(shù)時，4=4x(l+2+…+與1)=展

三、課堂練習

練習1：設(shè)數(shù)列5｝的百;頁4=1,且黃足。“：=%>故；與。則$*=—.

【解】

;數(shù)列｛%｝的首項q=1.且41VH=2a211T.

，繳刊｛4”,是以4=1為3項，2為公論的等論繳列?

二4-1=2”".

1%*—“a”-i+1

l

；.c2,n=<3ln.l+l=2"'+l.

三、課堂練習:

絳習〕：設(shè)數(shù)列5｝的首項4=1.且超￡&*：=陰卬；與%==〃-+1，則Sx=—.

二5式,=lo(+%)—(a；+。/+…+1?！?a：0)J21+2——…-2")+10-2056或

S==(6*a3*%)，(%+a」?％3)=(2"?2'■+2'|+|2"-2?+->2*?10)=2056

三.課堂練習|

練習2：數(shù)列｛4中，J+(-1)*j=%-1,賜嫁前12項第于()

A.76B.78C.SOD.82

【解】

?'把一I，⑷-6二尸3產(chǎn)S，的。尸7,a-劣=911G+圖=11,…,0ir+aw=19,

9口-川=21

.'.d=2，a，+a;二8，???,aiLaio=4。_

?.?酷一項刑&，?取2個相滿睦(酬汗2,■21黨碉，

依次取2個相鄰蹦項曲n構(gòu)成以8為首項，以16為公部等詡列.

I三解M習I

朝2:數(shù)列｛嗎中，&-+《-1)乜=2-1，則數(shù)列前(B)

A.76B.78C.80D.82

以上式子相加可得，

S)2=?！赣?"ri2

二(aiP3)十(at*ar)-r(6*xni)T(sp4)十一<di<r?JU)

=3*2*210=78

I以方法歸納I

Q)奇偶分類討論問題的常見題型：

①數(shù)列中連續(xù)兩項和或租的問題(為+的-1=4”)或。疝/工1=>/("))；

②含有(-1)你I類型；

⑤含有｛Qj，｛Gn-l｝的類型；

④已知條件明確的奇偶項問題。

(2)通項公式分奇偶不同的數(shù)列｛〃｝求與時，我們可以分別求出奇數(shù)項的

和與儡敕項的和。

五、課后作業(yè)|

%+L”=2￡

【緣習1】已知數(shù)列：4｝的的”項和為s“，qt，q(ieAT).

2alM+1.”=2￡-1

則下列選耍正確的為<>

B.散列｛里川+可心￡.▽)是哄2為公比的等比JB列

c.對于任意的*■e.N”，oa=2*-'-J

D.s.>1000的屆4、正整的"的侑為15

I五、課后作業(yè)I

【絳習2】在數(shù)列｛6｝中，已知5=1,,記S*為⑹的前"項和,

%=g+G"」，rWn"

(1審斷數(shù)列。J是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式J

(2加數(shù)列｛6｝的通項公式；

(3涿&

再課后作業(yè)I

［<>)31已i?刷［4｝滿足修=1，。：二。3〉1),反.「?！欢！?。」十3國0四

(1)當d-a2時，號出內(nèi)而訐可能的信i

《2)當d=l時，若的且內(nèi),>g7對任5〃JV*恒成立，求的列｛q｝的通項公

式.

［五，藻后作業(yè)I

I練習4】〈制東義界〉對干豺列｛6卜若R第二項起的若一項均大干諼項之花的所有響的

和，則稱｛6｝為［數(shù)列.

<1>豹列｛mJ九1,I,3,5,7,先列｛d｝為-1.-.1.--判斷船列3卜(3

248

懸否為尸數(shù)