幾何變換課件

第04講幾何變換

一、基礎(chǔ)知識

1.平移變換

(1).定義設(shè)可是一條給定的有向線段，T是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任

一點X變到X，，使得雙=0,則T叫做沿有向線段吊的平移變換。記為X"兩:，

X，，圖形F"PQ)>F'o

(2).主要性質(zhì)：在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿?/p>

形，圓變?yōu)閳A。兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行(共線)且相等。

2.軸對稱變換

(1).定義設(shè)1是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點

X變到X，，使得X與X，關(guān)于直線1對稱，則S叫做以1為對稱軸的軸對稱變換。

記為XqTX',圖形F-^F'o

(2).主要性質(zhì)在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線(段)或者平行，或者交于

對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。

3.旋轉(zhuǎn)變換

(1).定義設(shè)a是一個定角，0是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點0仍變到

0(不動點)，而把平面圖形F上任一點X變到X，，使得OX'=0X,且NXOX，=a,

則R叫做繞中心0,旋轉(zhuǎn)角為a的旋轉(zhuǎn)變換。記為XR0”)>x',圖形F>

F'o

其中a<0時，表示NX0X'的始邊0X到終邊0X'的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向；a>0

時，為逆時針方向。

(2).主要性質(zhì)：在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

4.位似變換

(1).定義設(shè)0是一個定點，H是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變

至IJX',使得充，=k?而，則H叫做以0為位似中心，k為位似比的位似變換。

記為XHS)>X',圖形F如o

其中k>0時，X，在射線0X上，此時的位似變換叫做外位似；k<0時，X，在射線0X

的反向延長線上，此時的位似變換叫做內(nèi)位似。

(2)主要性質(zhì)：在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一

條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應(yīng)線段的比等于

位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段

平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變;

圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心。

二.例題

例1如圖在等腰△ABC中，頂角NA=10(F,NB的平分線交AC于

E,求證：AE+BE=BC

分析：為使分散的線段集中起來，注意到BE平分NB,因而可作A關(guān)于BE的對

稱點AT易見EA=EA\再取BF=BE,計算后可知只需證明EA，=EF即可。

證明：作點A關(guān)于BE的對稱點A，

TBE是NB的平分線必在BC上，且EA』EA

在BC上取BF=BE

?.?頂角NA=100。.,.ZB=ZC=40°

.,.ZABE=ZCBE=20°

由等腰△BEF知：ZBEF=ZBFE=80°

XVZAEB=6O0/.ZCEF=180o-80°-60o=40°

.?.△FEC是等腰三角形，BPCF=EF

又?:NFA'E=NA'BE+NBEA'=20°+60°=80°

.,.ZEA'F=ZEFA'.*.DE=FE

:.CF=FE=EA'

故BC=BF+CF=BE+DE=AE+BE

例2P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且NPAB=NPCB。

求證：Z

PBA=ZPDAO

【分析】作變換△ABP」^U/kDCPT

則4ABPg△DCP',Z1=Z5,N3=N6。

由PP?AD幺BC,ADPP\PP，CB都是平行四邊形，

知N2=N8,Z4=Z7o由已知N1=N2,得N5=N8。

；.P、D、P\C四點共圓。故N6=N7,即N3=N4。

例3“風(fēng)平三角形"中，AA'=BB'=CC'=2,ZAOB'=ZBOC'=60°o

PQ

求證：SAAOB'+SABOC+SACOA,<6o

【分析】作變換ABOCT(B°')>AB'PR",

則R'R”重合，記為R。P、R、Q共線，O、A、Q共線，O、B\P共線，△OPQ

為等邊三角形。

:.SAAOB'+SABOC+SACOA,<SAOPQ=6

例4如圖△ABC是邊長為1的等邊三角形，ABDC是頂角NBDC=120。的等腰三角形,

以D為頂點作一個60。角，角的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連結(jié)MN,形成一個三

角形AMN,求證：AAMN的周長等于2。

分析：欲證△AMN的周長等于2,需要證明MN=BM+CN,考慮到NMBD=NDCN=RtN且

BD=DC,可將△DBM繞D順時針旋轉(zhuǎn)120。至4DCMT易知:N、C、M三點共線，且CM，=BM,

于是只需證MN=NM，即可。

證明：將4DBM繞D順時針旋轉(zhuǎn)120°ADCM，,則BM=CM',DM=DM',Z1=Z2

VAABC是等邊三角形，△DBC為頂角是120。的等腰三角形

/.ZMBC=ZACB=60o,ZDBC=ZDCB=30°

:.ZDBM=ZNCD=90°

ZNCD+ZDCM'=ZDCN+ZDBM=180°

；.N、C、M，三點共線

在△DMN和4DM'N中

DN=DN

ZMDN=Z1+Z3=Z2+Z3=6O°=ZNDM'

{DM=DM'

ADMN^ADM'N(SAS).*.MN=NM'

而CM'=BM.\MN=BM+NC

AAAMN的周長=AM+MN+AN

=AM+BM+NC+AN=AB+AC=1+1=2

例5在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。

【分析】取AC、BD的中點E、.，yAC"人＞AC,則A，BCD是一個符合條件的

平行四邊形。延長AF、CC交于G。

YE是AC的中點且EF〃CC,FC〃EC,，F(xiàn)、C分別為AG、CG的中點。

AD+BC=BG+BC^2BC'=A'D+BC'。

同理可得AB+DC^A'B+DC'o

故當四邊形為平行四邊形時，周長最小。

【評注】當已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目

中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。

例6如圖點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，己知△MCN的周長等于正

方形ABCD周長的一半，求NMAN。

解：將△ABM繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。使邊AB落在AD上，點M變換到點M，,

,:ZADM'=ZABM=90°

:.ZNDM'=ZNDA+ZADM'=180o

/.N、D、在一條直線上

在4AN^^與△ANM中，AM'=AM,AN=AN

又?.,△NMC的周長=BC+CD

MN=BM+ND=DM'+ND=M'N

.,.△ANM'之△ANM

:.ZMAN=ZNAM'=-ZBAD=45°

2

說明：進行旋轉(zhuǎn)變換時，要注意以下幾點：

（1）確定旋轉(zhuǎn)中心；

（2）確定旋轉(zhuǎn)角度（一般為60。,90?；?80。）及旋轉(zhuǎn)方向。

例7AABC中，NA290°,AD_LBC于D,△PQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證:

PQ+QR+RP>2ADo

證明：設(shè)p^Ac^>p?o貝(|RP=RP，，PQ=P"Q,AP=AP'=AP"o

；.PQ+QR+RP=P"Q+QR+RP'O

又NA290°,：.ZP'AP+ZP"AP=2ZA^180°,

A點在線段P，P”上或在凸四邊形P，RQP”的內(nèi)部。

.?.P"Q+QR+RP>AP+AP"=2AP>2ADo

.?.PQ+QR+RP>2ADo

【評注】如果題設(shè)中有角平分線、垂線，或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形，可以

將圖形或其部分進行軸對稱變換。此外，也可以適當選擇對稱軸將一些線段的位置變更，以

便于比較它們之間的大小。

例8以4ABC的邊AB、AC為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC,M是BC

的中點。求證：MP=MQ,MP±MQO

°E

圖7

【分析】延長BP到E,使PE=BP,延長CQ至！JF,使QF=CQ,貝(JaBAE、ACAF

都是等腰三角形。

R(A90)R(A90)

顯然：E-0>B,C'0>F,.\EC=BF,EC±BFO

MPM//-EC,MQ//-BF,，MP=MQ,MP±MQ

=2=20

例9已知O是aABC內(nèi)一點，NAOB=NBOC=NCOA=120°內(nèi)任一點,

求證：PA+PB+PCOA+OB+OCo（O為費馬點）

【分析】將CR（BL6O。）＞c，,0R（B,-6。。）＞O，,pR（B「6。。）＞p,,連結(jié)OO，、ppo則4

BOO\ABPP，都是正三角形。

.,.OO'=OB,PP'=PBo顯然△BO'C'絲△BOC,ABP'C'^ABPCO

由于NB（TC=NBOC=120。=180°-ZBO'O,:.A、O、O\C四點共線。

AAP+PP'+P'CAC'=AO+OO'+O'C',即PA+PB+PC2OA+OB+OC。

例10OO是給定銳角NACB內(nèi)一個定圓，試在。O及射線CA、CB上各求一點P、Q、

R,使得△PQR的周長為最小。

【分析】在圓O上任取一點P。，令P。'A）＞巧,p°q^p2,連結(jié)P1P2分別交CA、

CB于Qi、Rio顯然△P0Q1R1是在取定Po的情況下周長最小的三角形。

設(shè)PoPi交CA于E,P0P2交CB于F,則P0Qi+Q1R1+RiPo=PIP2=2EFO

VE.C、F、Po四點共圓，CPo是該圓直徑，由正弦定理，EF=CP0sinZECFo

...當CPo取最小值時，EF為最小，從而△PoQiRi的周長為最小，于是有作法：

S（CA＞＞S（CB）

連結(jié)OC,交圓周于P,令PP[,p＞P2＞連結(jié)P1P2分別交CA、CB于Q、

Ro則P、Q、R為所求。

例11AD是aABC的外接圓O的直徑，過D作。O的切線交BC于P,連結(jié)并延長PO

分別交AB、AC于M、No求證：OM=ONo

【分析】設(shè)OH(A前)>o，,NWAR>N，,而M"E>B,

VM>O、N三點共線，，B、O\N三點共線，且出=四。

OMON

取BC中點G,連結(jié)OG、O'G>DG、DBO

VZOGP=ZODP=90°,，P、D、G、O四點共圓。

.?.ZODG=ZOPG,而由MN〃BN有NOPG=N(TBG,

.?.ZODG=ZO'BG,AO\B、D、G四點共圓。

.?.ZO'GB=ZO'DBoffuZO'DB=ZACB,AZO'GB=ZACB,OG//AC,

而G是BC的中點，是BN的中點，(yB=O，N,

.?.OM=ONo

例12P是（DO的弦AB的中點，過P點引。O的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M,

連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NPo（蝴蝶定理）

【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn)^^^F'F,顯然，￡。€>。又PSGH,...PF^PF。

S(GH)

VPF>PF',PA=^^PB,Z.ZFPN=ZF'PM,PF=PF'O

又FF」GH,AN±GH,，F(xiàn)F〃AB。AZF'PM+ZMDF'=ZFPN+ZEDF'

=ZEFF+ZEDF'=180°,；.P、M、D、F四點共圓。AZPF'M=ZPDE=ZPFNo

.?.△PEN/△PF'M,PN=PMO

三.練習(xí)題

1.圖△ABC中，ZB=2ZC,ADJ_BC于D。求證：DC=AB+BD

分析：由AD±BC可作B關(guān)于AD的對稱點則BD=DB\AB=AB;于是只需證AB'=B'C

即可

證明：作B關(guān)于AD的對稱點B，，連結(jié)AB，

貝!|AD=DB',AB=AB'

:.ZB=ZAB'B

ZAB'B=ZC+ZB'AC,ZB=2ZC

:.ZC+ZB'AC=2ZC

.?.ZB'AC=ZC.?.AB'=B'C

:.DB'+B'C=AB+BD即DC=AB+BD

說明：本題還可以作C關(guān)于AD的對稱點CT可以構(gòu)造出與DC相等的線段DC,垂直

條件是構(gòu)造一種對稱圖形的出發(fā)點

2、如圖P是NMON內(nèi)一點，ZMON=20°,A>B分別是OM,ON上的任意一點，試求

△PAB的周長最小時，NP的值。

分析:找出使PA+AB+PB取最小值時的位置是解決本題的關(guān)鍵。這時只需設(shè)法把線段AB、

BP、AP變換成一條直線段即可，其方法是作P關(guān)于OM,ON的對稱點P\P”通過對稱變換

達到目的。

解：作P關(guān)于OM,ON的對稱點P\P”,連結(jié)P，A,P，O,P"B,P”O(jiān),PP\設(shè)PP咬OM,ON

于C、D

連結(jié)PC,PD,則△PCD的周長最小

這是PC+CD+PD+P,C+CD+DP,'=PT"<P"B+AB+AP,=PA+AB+PB

連結(jié)OP,易知OP=OP=OP”且NPOP”=2NMON=40。

:.ZOP'P"=ZOPC=ZOP"D=ZOPD=70°

.?.ZCPD=2X70°=140°

于是當△PAB的周長最小時，ZP的度數(shù)應(yīng)為140°

3、如圖四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O,且AC_LBD,

已知OA>OC,OB>OD,求證：BC+AD>AB+CD

證明：注意至（JAC_LBD,OA>OC,OB>OD,在線段OA上取C關(guān)于

BD的對稱點C，,在線段OB上取D關(guān)于AC的對稱點D，,連CD\AD\BC,

則CD=CD,BC'=BC,AD，=AD,要證BC+AD>AB+CD,只需證ABE

中,BE+AE>AB,在AOCE中，D，E+CE>CD;兩式相加即得BC+AD'AB+CD，

4、如圖P是等邊△A