高中數學-三次函數的圖象和性質詳解

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高中數學必考點-三次函數的圖象和性質詳解

。、引言

有關三次函數/(%)=ax3+bx2+ex+d(a豐0)的問

題在近幾年的數學高考中屢屢出現，利用導數研究三次函數

的圖象和性質，以及借助數形結合的思想方法解決問題,可

以遷移到其他函數的研究中，其研究的過程與方法具有普適

性、一般性和有效性.

一、知識梳理

1、定義

［定義1：)形如/1(無)=ax3+bx2+ex+d(aH0)的函數，稱

為“三次函數”；

定義2:］三次函數的導數/'(x)=3ax2+2bx+c(aW0),把

A=4b2-12ac叫做三次函數導函數的判別式.

2、性質

(1彈調性)

一般地，當爐一3。。工0時，三次函數/(%)=g3++

ex+d(aW0)在R上是單調函數；

當乒-3ac>0時，三次函數/(x)=ax3+bx2+ex+

d(a豐0)在R上有三個單調區(qū)間.

(根據a>0,a<0兩種不同情況進行分類討論)

(21對稱中叫

三次函數f(x)=ax3+bx2+ex+d(aW0)關于點對稱，且

對稱中心為點(-二/(-卷)),是三次函數的拐點，此點的橫

坐標是二階導數費的根：

［證明：)設函數/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)的對稱中心為

(犯n).將函數的圖象進行平移，

則所得函數y=f(x+m)-n是奇函數，所以f(x+ni)+

/(—x+tn)—2n—0

代入化簡得：(3ma十b)x2十am3十bm2+cm+d-n=0,

上式對尤eR恒成立,故3ma+b=0,

得/n=-&n=am3+bm2+cm+d=5).

所以，函數/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)向對稱中心是

(一青/(—*))?

②當A=4b2-12ac>0時，由于方程/⑴=0有兩個

不同的實根與,如不妨設/<小，

可知,當a>0,冗1為函數的極大值點，比2為函數的極小值點，

且函數y=/（%）在（一8,修）和（小,+8）上單調遞增，

在（石,處）上單調遞減.

?

此時結合函數圖象可知：

1°若/(%1)/(小)>0,即函數y=/(%)的極大值和極小值同

號,所以函數有且只有一個零點;

2°若/(小)/(小)<0,即函數y=/(%)的極大值和極小值

異號，函數圖象與％軸必有三個交點,

所以函數有三個不同零點；

3°若/01)/(>2)=0,貝”(%)與f(%2)中有且只有一個

值為0,所以函數有兩個不同零點

(4)同值點問題

若南數/⑺在的附近恒有/(&)>/W(r(x0)</(x)),

則稱/O)在點打處取得極大值(極小值)，

稱點g為極大殖點(極小值點).

當4>0時，三次函數y=/(x)在(-8,+8)上的極值點有兩個;

當AW0時，三次函數y=/O)在(-8,十8)上不存在極值點.

函數/(無)=ax3+bx2+ex+d(aW0),xe[m,n],

若Xoe[m,M],且/'(xo)=0,b2—Sac>0

則={/(m),/(x0),/(n))；

={/(m)JOo)J(n)}.

二、問題探究

題組一三次函數性質的相關問題

例1.已知函數/Qr)—x3+ax2+bx+c在M=—|

與笨=1時都取得極值.

(1)求a,b的值與函數/(%)的單調區(qū)間；

(2)若對me[-1,2],不等式f(x)＜《2恒成立，

求c的取值范圍.

二、問題探究

二、問題探究題組--:次函數性歷的相關何題

例1.己知函數，(x)=X3+ax2+bx+c在*

題組一三次函數性質的相關問題與*=1時都取得極值.

(1)求a,b的值與函數“幻的單調區(qū)間；

⑵若對xG(-1,2],不等式，(幻<C?恒成立,

【分析】求c的取值范圍.

⑴求出廣⑺，由題意得/(—1)=0且/(I)=0聯(lián)立

解得。與b的值，然后把a、b的值代入求得“為及ro),

列表討論導函數的正負得到函數的單調區(qū)間；

(2)根據(1)中函數的單調性，由于%￡[-1,2],不等式恒成

立,求出函數的最大值為/(2),代入求出最大值，然后令

/(2)<c2列出不等式，求出c的范圍即可.

【解】(1)/(%)-x3+ax2+bx+c,

=3x2+2ax+b

4

—a+b二0

3，解得產二-3

If'(l)=3+2a+b=0kb=-2

f,(x)=3x2—x—2-(3x+2)(x—1),

函數的單調性如下表：

2

（-G-|）(-1,1)1(1,+0C)

X-3

r（X）+0-0+

/(x)增極大值減極小值增

所以函數人%）的增區(qū)間是（-8,-|）和（1,+8）,

減區(qū)間是（-1,1）.

(2)=x3-|x2-2x+c,xe[-1,2],

根據(D中函數f(x)的單調性，

得人的在(-1,-手上遞增，在(-a1)上遞減，在(1,2)上遞增,

所以當x=-1時，/)=:+。為極大值，

而/1⑵=2+c>:+c,所以八2)=2+c為最大值.

要使F(M)VC2對2]恒成立，只需。2>/(2)=2+C.

解得cV-l或c>2.

變式17已知函數/(久)=x3-3ax-1

在％=-1處取得極值.

(1)求實數a的值；

(2)當2,1]時,求函數/(%)的最小值.

【分析】

(1)求導，根據極值的定義可以求出實數a的值；

(2)求出工6[-2,1]時的極值，比較極值和端點值

/(-2),/(1)之間的大小的關系，最后求出函數的最小值.

【解】(1)f'(x)=3/_3a,函數f⑺二爐—3ax-1

在％二—1處取得極值，所以有/■'(—1)=0

=3(—I)2—3a=0=a=1.

，/可知］(域=X3—3x-1

=>f(x)=3x2—3=3(x+l)(x—1),

當46(-2,-1)時，/'(%)>0,函數f(x)單調遞增，

當時，/(x)<0,函數/(%)單調遞減，

i故函數在4=-1處取得極大值，符合題意.j

一J

(2)由(1)可知，函數在久=-1處取得極大值，

因此/1(-1)=(-1)3-3X(-1)-1=1,

又因為/(—2)=(—2)3—3X(—2)—1=—3>

f(l)=l3-3xl-l=-3,

故函數〃幻的最小值為/'(1)=f(-2)=-3.

變式1-2已知函數/(X)=2x3+3ax2+3bx+c

在無=1及x=2處取得極值.

(1)求的值；

(2)若方程/(乃=0有三個根，求c的取值范圍.

?

【分析】

(1)利用ra)=o,列出方程組，

然后求解用力即可.

(2)利用導函數的符號，推出函數的單調性,

得到函數的極值，列不等式求解即可.

【解】

(1)因為/'(x)=6x2+6ax+3b=0,

由/''(1)=0/(2)=0.

即LX圖普—解得。=-3,I

(經檢驗單調性。，力均符合題意)

(2)由(1)可知，

f(x)=2爐-M+lZv+c,/(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1)

令/(x)=0得1=1,X2=2

當X<1或。2時，/(x)>0,/(x)遞增，

當l<x<2時，f'(x)<0/(%)遞減，

由題嗎霏MB解得-5<c<-4.

2

例2.已知函數/(%)=+lax+bx+l(a,beR),

其導函數記為g(>).

(1)求函數/(%)的單調區(qū)間；

(2)若函數/(m)有兩個極值點％],x2,

試用a,b裝示/■(尤1)+/(尤2)；

(3)在(2)的條件下，若g(%)的極值點恰為/(%)的零點，

試求/'(%)，。伊)這兩個函數的所有極值之和的取值范圍.

題組二三次函數中有關參數范圍問題

【分析】

(1)根據題意，求出導數，即可求函數;1(%)的單調區(qū)間.

(2)根據fO)有兩個極值點打,尤2,由(1)知4=a2-4b>0,

利用韋達定理以及極值點對應的導函數的值為0,

得化1+%2-—a，xl+x1=a2—2b,

得/Oi)+/(x2)

+yff(x2)j+^(xi+xz)+y(xi+x2)+2>

總代入各項對應的值即可.

【分析】

(3)根據題意，解出。伏)的極值點，代入/(%),

可得a與6的等量關系，再結合(2)中的不等關系

解出a的范圍，將/(%),g(x)這兩個函數的所有

極值之和用a表達出來，構造一個新的關于a的函數,

利用導數，即可求/(%),g(￡)這兩個函數的所有極

值之和的取值范圍.

【解】（l）g（x）=x2+ax+b,A=a2—4b.

若4M0,^（x）>0,/O）在（-8,+8）上單調遞增；

若4>0,

方程^（九）=0有兩個不等實根尤1=專區(qū)，電二圈

/（%）在上單調遞增，在（％1，%2）上單調遞減，

在（小，+8）上單調遞增.

(2)因/1(%)有兩個極值點*1，X2,

由⑴知4=a2-4b>0,

且％i+%2=-G，x1+%2=a2-2b,g(%i)=g(%2)-0.

于是fOi)+/(x2)

..-一法一二一飛CL/'2b,、

+可。(％2)+T(X1+x2)+芍(％1+元2)+2

屋⑷-2b)+y(-a)+2=9—ab+2.

(3)由g(x)=/+g+萬=(久+I)十力一

則g(%)的極值點為％=-今

于是/(一9=°，即

顯然，aw0,則6=老十三

6a

由(2)知4=a?_4b>0,b<—,

4

則9+解得a<0或a>3.

于是/(%1)+/(x2)="-a/+5)+2=o.

故/(%)，。(幻的所有極值之和為b-包=貯+乙_貯=_貯+2

46a412a

=h(a),因為/i(a)=一'一檢，

若a>V24,則九(a)<0,h(a)在(VI/+8)上單調遞減，

故/i(a)<舊)=0.

若a<0,a<—折區(qū)時有/i'(a)>0;a>—VH時有<(a)<0,

則/i(a)在(-8,-V12)上單調遞增，在(-近2,0)上單調遞減，

故九(①<n(-V12)=-M

因此，當a<0時，所求的取值范圍為(_8,_粵),

當a>時，所求的取值范圍為(-8,0).

綜上：/(%),以幻這兩個函數的所有極值之和的

取值范圍是(-8,0).

變式2-1已知函數/(%)=2x3-ax2+2.

(1)討論/'(%)的單調性；

(2)當0Va<3時，記/(乃在區(qū)間［0,1］的最大值為M,

最小值為求M-m的取值范圍.

【分析】

（1）先求/0）的導數，再根據a的范圍分情況討論

函數單調性；

（2）討論a的范圍，利用函數單調性進行最大值和

最小值的判斷，最終求得M-m的取值范圍.

【解】

⑴對/（幻=2x3-ax2+2,求導得/'（x）=6x2-2ax=6%（x-》

當aVO時，（-8由區(qū)間上單調遞增，（柒0）區(qū)間上單調遞減，

（0,+功區(qū)間上單調遞增；

當a=0時，（-8,+oo）區(qū)間上單調遞增；

當a>0時，（—8,0）區(qū)間上單調遞增，（0,或區(qū)間上單調遞減，

第十功區(qū)間上單調遞增.

(2)當0Va<3時，/(%)在區(qū)間(0,2單調遞減，

在區(qū)間?,1)單調遞增，所以區(qū)間[0,1]上最小值為/1(f).

若0VaM2,/(0)=2,/(1)=2-a+2>/(0),

故所以區(qū)間[0,1]上最大值為f(l).

所以M—/n=/(l)—

=(4-a)-[2(^)3-a(|)2+2]=^-a+2,

設函數g(x)=第一支+2,求導g")=y-1

當0v久42時g'(x)v0,從而gO)單調遞減.

若0Va42,所以卷工合―a+2<2.

即M-m的取值范圍是嘮,2).

若2VaV3時，若0)=2,/(1)=2-a+2<若0),

故所以區(qū)間［0,1］上最大值為/(()).

a3

所以M-m=/(0)-騏)=2—[2(學3_QG2+]

227,

而2<aV3,所以3<g<1.即M-m的取值范圍是舄,1).

綜上得M-皿的取值范圍是焉2).

變式2-2已知函數

/(x)=--AT++m(m—3)x+n.m,nER,且|m|<1.

(1)求函數/O)的單調區(qū)間；

(2)若函數y=e"與函數y=e*,/(%)在公共點「(曲,)。)處有相

同的切線，且/(乃之1在氏0-1,%()+1］上恒成立.

①求/'(X0)和/(孫)的值；

②求實數〃的取值范圍.

【分析】

(1)利用導數求單調性即可；

(2)①根據點P是y=e"與y=ex-/(%)的公共點,

以及根據導數的幾何意義列出方程組，

求解即可得到了'(與)和/(X())的值；

【分析】

(2)②由/Go)=O,/(%o)=1以及題設條件，判斷不是

/(%)的極小值點，由/(Xo)=/(?n)=1,列出方程，構造

函數?)=-|爐+|元2+1,利用導數得到

其最值，即可得到實數〃的取值范圍.

【解】(1):/'0)=-x2+3x+m(m-3)

=—(x—m)[x-(3-ni)]

又因為|m|41,所以ntV3-m.

令/'(x)>0,貝！)(%-m)[x—(3-m)]<0,Am<x<3-m；

令貝!—m),—(3—m)]>0,...KVm或無>3—m

.?./。:)的單調遞增區(qū)間為On,3-m),

單調遞減區(qū)間為(-8,m)和