專題6-2 建模思想應(yīng)用的常見類型歸類（考題猜想五種類型）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題6-2建模思想應(yīng)用的常見類型歸類（考題猜想，五種類型）類型1：建立方程模型求幾何圖形面積【例題1】（21-22八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，將矩形紙片分別沿、折疊，若、兩點(diǎn)恰好都落在對角線的交點(diǎn)上，下列說法：①四邊形為菱形，②，③若，則四邊形的面積為，④，其中正確的說法有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，進(jìn)而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，可證明AE∥CF，AE=CE，根據(jù)矩形性質(zhì)可得CE∥AF，即可得四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形AECF為菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長，即可得OE的長，根據(jù)菱形的面積公式即可求出四邊形AECF的面積，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出AB：BC的值，綜上即可得答案．【詳解】解：∵將矩形紙片分別沿、折疊，若、兩點(diǎn)恰好都落在對角線的交點(diǎn)上，∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，∴AE∥CF，AE=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AECF是菱形，故①正確；∵∠BAE=30°，∠B=90°，∴∠AEB=60°，∴∠AEC=120°，故②正確；設(shè)BE=x，∵∠BAE=30°，∴AE=2x，∴x2+22=（2x）2，解得，∴OE+BE=，∴S菱形AECF=，故③正確；∵∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴BC=，∴AB：BC=1：，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論為①②③．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵【變式1】（22-23八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，將兩張長為8，寬為3的矩形紙條交叉疊放，使一組對角的頂點(diǎn)重合，其重疊部分是四邊形．則四邊形的面積是．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，通過證明可得四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，，即，求出的值，再用菱形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：四邊形、都是矩形，且兩個(gè)矩形全等，，，，四邊形是平行四邊形，在和中，，,，四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，，，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)，輔助線的作法是解題關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級下·浙江寧波·期末）【新知學(xué)習(xí)】定義：一組鄰邊相等，另一組鄰邊也相等的凸四邊形叫做“箏形”．如在凸四邊形中，若，，則四邊形是“箏形”．（1）如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，畫出“箏形”，要求點(diǎn)是格點(diǎn)；【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，，“箏形”的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，，分別在，，上，且，求對角線的長；【拓展思考】（3）如圖3，在“箏形”中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，平分，，，求“箏形”的面積．

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)“箏形”的定義，結(jié)合網(wǎng)格性質(zhì)畫圖即可；（2）分，兩種情況，畫出圖形，分別求解；（3）過A作，證明，得到，，再證明，從而說明四邊形是正方形，設(shè)，表示出相應(yīng)邊，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再計(jì)算面積．【詳解】解：（1）如圖，四邊形即為所求；

（2）如圖，當(dāng)時(shí)，

∵，，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形．∴．∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴．如圖，當(dāng)時(shí)，連結(jié)，，

∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴．∴．綜上所述，或．（3）如圖，過A作，∵平分，∴，∵，，∴，∴，．又，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，

設(shè)，則，，，在中，，即，解得．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定等知識(shí)，有一定綜合性和拓展性，通過新圖形“箏形”關(guān)聯(lián)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，能夠更好地體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用【變式3】．（23-24八年級下·福建福州·期中）【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，延長交線段于點(diǎn)，連接．求的度數(shù)．【實(shí)踐探究】（2）小瑞受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖②，正方形的邊長為6，點(diǎn)，分別在，上，連接，，．若，，求的長．【拓展遷移】（3）小波深入研究以上兩個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖③，是的高，，若，，求的面積．【答案】（1）；（2）的長為3；（3）【分析】此題是四邊形綜合題目，考查了折疊性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．（1）證明，得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）延長到，使，連接，證明，得出，由勾股定理可得出答案；（3）將沿和翻折得到，沿翻折得到，延長，交于點(diǎn)，證明四邊形是正方形，得出，設(shè)，則，，由勾股定理可得出答案．【詳解】（1）由折疊可得：，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，；（2）延長到，使，連接，則，，，，，，，，，設(shè)，則，，，在中，，，，的長為3．（3）將沿翻折得到，沿翻折得到，延長，交于點(diǎn)，，，，，，四邊形是正方形，，，設(shè)，則，，在中，，，解得，，．類型2：建立幾何模型解釋生活中的現(xiàn)象【例題2】（23-24八年級下·江西贛州·期中）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為．如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端往外移（

）．A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，在中，利用勾股定理得到長，在中，利用勾股定理得到長，作差即可得到答案，數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理求出線段長是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，，則由勾股定理可得；在中，，，，則由勾股定理可得；梯子底端往外移，故選：B【變式1】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）學(xué)習(xí)了勾股定理之后，一天小明看著操場上的旗桿陷入了深思，有沒有辦法利用勾股定理測量旗桿的高度呢？通過觀察，小明發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂下來距離地面米，如圖（1），于是他將繩子拉開一段距離至點(diǎn)，測得繩端到旗桿的水平距離為米，到地面的垂直距離為米，如圖（2），則該旗桿的高度為米．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旗桿、拉直的繩子與水平線構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖，依題意得：為直角三角形，四邊形為矩形，，設(shè)繩長為，旗桿的長度為m，則，在中，由勾股定理得：，解得：，∴旗桿的高度為，故答案為【變式2】（23-24八年級上·貴州貴陽·期末）如圖有兩棵樹，一棵高，一棵高，兩樹之間相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？【答案】一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了13米【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，平行線的應(yīng)用，設(shè)樹，過點(diǎn)C作于E，由平行線間間距相等得到，，進(jìn)而求出，則由勾股定理可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)樹，過點(diǎn)C作于E，由題意得，，∴，∴（平行線間間距相等），同理得，∴，∴，∴一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了13米．【變式3】（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為3米，則湖水深為多少？【答案】米．【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出方程是解題關(guān)鍵．直接利用勾股定理得出，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：設(shè)為米，∵在中，，，，∴由勾股定理得：，即，解得：，∴湖水深為米類型3：建立特殊四邊形的模型探尋條件【例題3】（19-20八年級下·浙江杭州·期末）已知：E、F、G、H分別為四邊形四邊中點(diǎn)，順次連接、、、得到四邊形，我們把這種四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．有下列說法：①四邊形是平行四邊形；②當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，四邊形是菱形；③當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，四邊形是菱形；④當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；⑤若四邊形是正方形，則四邊形一定是正方形．其中正確的是（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤【答案】A【分析】連接BD、AC，利用中位線的性質(zhì)得到EH=FG，EF=HG，可判斷①；再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷②和③；利用中位線的性質(zhì)得到EF∥BD，EH∥AC，結(jié)合AC⊥BD可得EF⊥EH，可判斷④；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BD=AC，BD⊥AC，但不能判定四邊形ABCD是正方形，可判斷⑤．【詳解】解：連接BD、AC，∵E、H分別為AD，CD中點(diǎn)，∴EH=AC，同理，F(xiàn)G=AC，EF=BD，HG=BD，∴EH=FG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；當(dāng)四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EH=EF，∴平行四邊形ABCD是菱形，而當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，不能得出EH=EF，故②錯(cuò)誤，③正確；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∵E、F、H分別為AD、AB、CD中點(diǎn)，∴EFBD，，∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，∴四邊形EFGH是矩形，故④正確；∵EF=GH=BD，EH=FG=AC，四邊形EFGH是正方形，∴EF=GH=EH=FG，EF⊥EH，∴BD=AC，BD⊥AC，不能說明四邊形ABCD是正方形，故⑤錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形，矩形，正方形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷四邊形EFGH是平行四邊形【變式1】（22-23八年級下·山東德州·期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形邊、、、的中點(diǎn)，下列說法；①若，則四邊形為矩形：②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)有個(gè)

【答案】1【分析】先證明一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線，且時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，再逐一分析各選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形邊邊、、、的中點(diǎn)，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，①當(dāng)時(shí)，則，則四邊形為菱形，①說法錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，則，則四邊形為矩形，②說法錯(cuò)誤；③四邊形一定是平行四邊形，與不一定互相平分，③說法錯(cuò)誤；④當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，與互相垂直且相等，④說法正確；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線，且時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形【變式2】（22-23八年級下·河北滄州·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，，.

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，．①連接，當(dāng)時(shí)，請直接寫出四邊形的形狀，并求的長度；②當(dāng)?shù)拈L為__________時(shí)，四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)①四邊形是矩形，；②3【分析】（1）證明，推出，，進(jìn)而得到，由此得到結(jié)論；（2）①根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判定形狀，在中，由勾股定理求出的長度；②根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，推出是等邊三角形，得到，由此求出．【詳解】（1）解：證明：在和中，，，，，，，又，，，∴，四邊形是平行四邊形；（2）①∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形；

，，，在中，，，，∴；②∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各圖形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級下·山西朔州·期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．閱讀材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1，我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時(shí)，有如下思路：連接．

結(jié)合小敏的思路作答：

任務(wù)一：若只改變圖1中四邊形的形狀（如圖2），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由，參考小敏思考問題的方法解決問題．任務(wù)二：如圖1，在閱讀材料的條件下，若連接，．當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形，寫出結(jié)論并證明；任務(wù)三：如圖2，在任務(wù)一的條件下，若連接，．當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，直接寫出結(jié)論．【答案】①見解析；②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由見解析；③當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由見解析；【分析】①根據(jù)中位線的定理得到，，再根據(jù)平行四邊形的判定即可解答；②根據(jù)中位線定理即平行四邊形的判定得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)中位線定理菱形的判定即可解答；③根據(jù)中位線定理即平行四邊形的判定得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)中位線定理矩形的判定即可解答；【詳解】解：①連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；

②連接，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴四邊形是菱形；

③連接，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∵分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形；

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵類型4：建立函數(shù)模型解圖像信息的應(yīng)用【例題4】（22-23八年級下·四川瀘州·期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)挖掘兩段河渠，所挖河渠的長度與挖掘時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，以下信息一定正確的有（

）①甲隊(duì)挖掘時(shí)，用了；②開挖時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖掘；③乙隊(duì)從開挖后到之間，每小時(shí)挖掘5米；④開挖后，甲、乙兩隊(duì)所挖河渠長度相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)函數(shù)圖象可得甲隊(duì)的速度為，乙隊(duì)從開挖后到之間，每小時(shí)挖掘5米，據(jù)此逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，開挖，甲隊(duì)一共挖了，∴甲隊(duì)的速度為，∴甲隊(duì)挖掘時(shí)，用了，故①正確；由函數(shù)圖象可知，開挖時(shí)，甲隊(duì)挖了，乙隊(duì)挖了，則甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖掘，故②正確；由函數(shù)圖象可知乙隊(duì)從開挖后到之間，在內(nèi)挖了，則每小時(shí)挖掘5米，故③正確；開挖后，甲隊(duì)挖了，乙隊(duì)挖了，則開挖后，甲、乙兩隊(duì)所挖河渠長度相等，故④正確；故選；D【變式1】（22-23八年級下·福建寧德·期中）如圖，甲、乙兩輛摩托車從相距的A，B兩地同時(shí)相向而行，分別表示甲、乙兩輛摩托車離A地的距離與行駛時(shí)問之間的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①乙摩托車行駛的速度是；②當(dāng)時(shí)，甲車的行駛路程超過；③當(dāng)時(shí)，甲摩托車離A地的距離小于乙摩托車離A地的距離；④甲、乙兩車相距不超過時(shí)，．【答案】①②④【分析】先求出甲乙的速度，再逐項(xiàng)分析即可．【詳解】由圖可得，甲摩托車行駛的速度是,乙摩托車行駛的速度是，故①正確；當(dāng)時(shí)，甲車的行駛路程超過，故②正確；當(dāng)時(shí)，甲摩托車離A地的距離，乙摩托車離A地的距離，即甲摩托車離A地的距離等于乙摩托車離A地的距離；由圖可得，當(dāng)時(shí)，甲摩托車離A地的距離大于乙摩托車離A地的距離；故③錯(cuò)誤；設(shè)小時(shí)時(shí)甲、乙兩車相距為，則，解得或，故甲、乙兩車相距不超過時(shí)，，故④正確；綜上，結(jié)論正確的是①②④；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，主要利用了路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系，準(zhǔn)確識(shí)圖獲取必要的信息是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級下·吉林長春·期中）小林同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家米的公園散步，速度為米/分鐘，哥哥到達(dá)公園后立即以原速返回家中，兩人離家的距離（米）（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)a=______；(2)求CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)小林出發(fā)多長時(shí)間與哥哥第二次相遇？【答案】(1)(2)(3)分鐘【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握一次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)路程速度時(shí)間運(yùn)算求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（3）利用待定系數(shù)法求出弟弟的函數(shù)表達(dá)式，再聯(lián)立哥哥的函數(shù)表達(dá)式求出交點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：由圖象可得，小林家與公園之間的路程為：12×50=600（米）；（2）解：設(shè)哥哥返回家的過程中與之間的函數(shù)關(guān)系式是，∵哥哥單程的時(shí)間為：，∴，，所以把點(diǎn)和代入得：∴，解得：，即哥哥返回家的過程中與之間的函數(shù)關(guān)系式是；（3）解：設(shè)弟弟從家出發(fā)過程中與之間的函數(shù)關(guān)系式是，由圖可得：，∴把代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立可得：，解得：，∴小林出發(fā)分鐘后與哥哥第二次相遇【變式3】（2023八年級下·上海·專題練習(xí)）小軍和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達(dá)圖書館，小軍始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程y(米)與時(shí)間x(分)的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象，解答下列問題：(1)，，；(2)若小軍的速度是120米/分，求小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書館的距離；(3)在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，何時(shí)與小軍相距100米？【答案】(1)10，15，200(2)小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書館的距離是750米．(3)爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，在自第一次出發(fā)分鐘和20分鐘時(shí)與小軍相距100米．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用；（1）根據(jù)時(shí)間路程速度，即可求出值，結(jié)合休息的時(shí)間為5分鐘，即可得出值，再根據(jù)速度路程時(shí)間，即可求出的值；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出線段、所在直線的函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用3000去減交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）結(jié)論結(jié)合二者之間相距100米，即可得出關(guān)于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出的值，即可得出結(jié)論；準(zhǔn)確分析圖中的數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：(分鐘)，(分鐘)，(米分)．故答案為：10；15；200．（2）線段所在直線的函數(shù)解析式為；線段所在的直線的函數(shù)解析式為．聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，，解得：，(米．答：小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書館的距離是750米．（3）根據(jù)題意得：，解得：，．答：爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，在自第一次出發(fā)分鐘和20分鐘時(shí)與小軍相距100米類型5：建立方程（組）模型、不等式模型和函數(shù)模型解實(shí)際應(yīng)用問題【例題5】（22-23八年級下·山東菏澤·階段練習(xí)）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，進(jìn)行了下面的調(diào)查：當(dāng)還未開始掛號時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)掛號，開始掛號后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則需要同時(shí)開放的窗口至少應(yīng)有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造關(guān)于M，N的方程組，表示M，N，K的關(guān)系，進(jìn)而由10分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，可得不等式，由此可得結(jié)論．【詳解】解：由題意可得：，解得，∴設(shè)若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則需要同時(shí)開放的窗口應(yīng)有n個(gè)，則，即，解得，故至少同時(shí)開放4個(gè)窗口才能滿足要求．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了進(jìn)行簡單的合情推理，列出滿足題意的方程組及不等式是解本題的關(guān)鍵【變式1】（21-22八年級下·福建龍巖·期末）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．【答案】?4＜a＜1【分析】根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（m，n）和（m＋1，2n?4），可得方程組，就可以得到a＝n?4，根據(jù)n的范圍可求出a的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝ax＋b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（m，n）和（m＋1，2n?4），∴，∴a＝n?4，∵0＜n＜5，∴?4＜n?4＜1，∴?4＜a＜1．故答案為：?4＜a＜1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，整體思想和不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是列方程組和整體思想的應(yīng)用【變式2】（22-23八年級上·河北保定·開學(xué)考試）小李計(jì)劃從網(wǎng)上批發(fā)一些飾品擺攤售賣．經(jīng)過多方調(diào)查，仔細(xì)甄別，他選定了A、B兩款網(wǎng)紅飾品，其進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)x元、y元．已知購進(jìn)A款飾品8個(gè)和B款飾品6個(gè)所需花費(fèi)相同；購進(jìn)A款飾品10個(gè)和B款飾品4個(gè)共需230元．(1)請求出A，B兩款飾品的進(jìn)價(jià)分別是多少？(2)小李計(jì)劃購進(jìn)兩款飾品共計(jì)100個(gè)（其中A款飾品最多62個(gè)），要使所需費(fèi)用不多于1700元，則他有哪幾種購進(jìn)方案？哪種方案的費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少？【答案】(1)A款飾品的進(jìn)價(jià)是15元，B款飾品的進(jìn)價(jià)是20元(2)購進(jìn)62個(gè)A款飾品，38個(gè)B款飾品費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為1690元【分析】（1）根據(jù)“購進(jìn)A款飾品8個(gè)和B款飾品6個(gè)所需花費(fèi)相同；購進(jìn)A款飾品10個(gè)和B款飾品4個(gè)共需230元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進(jìn)m個(gè)A款飾品，則購進(jìn)個(gè)B款飾品，先根據(jù)總費(fèi)用兩種飾品費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)“購進(jìn)A款飾品最多62個(gè)，且所需費(fèi)用不多于1700元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各進(jìn)貨方案；然后再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）解：依題意得：，解得：，答：A款飾品的進(jìn)價(jià)是15元，B款飾品的進(jìn)價(jià)是20元；（2）解：設(shè)