專題6-3 方程思想解題技巧（考題猜想10種技巧）原卷版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題6-3方程思想解題技巧（考題猜想，10種技巧）技巧1：方程思想在證三角形形狀中的應(yīng)用【例題1】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）的三邊長分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的為（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24八年級上·山東青島·階段練習(xí)）在中，給出以下4個(gè)條件：①；②；③；④．從中任取一個(gè)條件，可以判定出是直角三角形的有．（填序號）【變式2】（22-23八年級下·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是的垂直平分線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．

(1)若，求的長；(2)若，求證：為直角三角形．【變式3】（22-23八年級下·湖北襄陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，，，直線與直線交于點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．技巧2：方程思想在求陰影部分的面積中的應(yīng)用【例題2】（2024春?南寧期中）如圖，長方形中，，，將該矩形沿對角線折疊．（1）求的長；（2）求陰影部分的面積．【變式1】（20-21八年級下·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿對角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于．若，，求圖中陰影部分的面積．【變式2】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，長方形紙片的邊長，．將矩形紙片沿折，A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【變式3】（23-24八年級上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，把一張長方形紙片折疊起來，使其對角頂點(diǎn)與重合，與重合，若長方形的長為8，寬為4，(1)求的長；(2)求陰影部分的面積．技巧3：方程思想在探究線段相等的條件中的應(yīng)用【例題3】（22-23八年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為時(shí)，能使．【變式1】（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.過點(diǎn)作于點(diǎn).在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為時(shí)，能使？【變式2】（20-21八年級下·湖北武漢·期中）如圖，在?ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿DA邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)這運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過s時(shí)，EF＝AB．【變式3】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，已知在中，，D是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接．(1)當(dāng)時(shí)，則______；(2)當(dāng)為以為腰的等腰三角形時(shí)，求t的值；(3)過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使？技巧4：方程思想在求線段長中的應(yīng)用【例題4】（23-24八年級下·河南商丘·期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且，的垂直平分線交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)G．若G是的中點(diǎn)，則的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式1】（22-23八年級下·云南昆明·期中）已知等腰的底邊，是腰上一點(diǎn)，且，，則的長為．【變式2】（23-24八年級下·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．若，，，求的長．【變式3】（22-23八年級下·浙江杭州·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為．(1)如圖，連接，求證四邊形的菱形；(2)求的長．技巧5：方程思想在求幾何中函數(shù)解析式的應(yīng)用【例題5】（22-23八年級下·山東濱州·期末）如圖，利用一面墻（墻的長度不超過），用長的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料）．設(shè)，矩形的面積為．

(1)請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍：(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為？(3)能否使所圍矩形場地的面積為，若能，請算出此時(shí)矩形的長與寬，若不能，請說明理由．【變式1】（22-23八年級下·福建廈門·期中）如圖1，在正方形（正方形四邊相等，四個(gè)角均為直角）中，，P為線段上一點(diǎn)，連接，過B作，交于點(diǎn)Q，將沿所在的直線對折得到，延長交于點(diǎn)N．

(1)求證：；(2)若，求的長；(3)如圖2，延長交的延長線于點(diǎn)M，若，的面積為s，求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【變式2】（2023八年級下·上海·專題練習(xí)）已知：如圖1，梯形中，，，，，E是直線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)E作交直線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)，(1)若點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），（如圖1所示）①求證：；②設(shè)，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域；(2)直線上是否存在一點(diǎn)E，使是面積的3倍，若存在，直接寫出的長，若不存在，請說明理由．【變式3】（2023八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）已知：如圖1，在線段的同側(cè)作正方形和正方形，連接并延長交于點(diǎn)M，作，垂足為N，交于P．設(shè)正方形的邊長為1．(1)證明：；(2)設(shè)，四邊形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果按照題設(shè)方法作出的四邊形是菱形，求的長．技巧6：方程思想在解工程問題中的應(yīng)用【例題6】（23-24八年級上·河北保定·階段練習(xí)）現(xiàn)有一段長為5000米的馬路需要整修，由甲、乙兩個(gè)工程小組先后接力完成，甲工程小組每天整修200米，乙工程小組每天整修250米，共用時(shí)22天．設(shè)甲工程小組整修馬路米，乙工程小組整修馬路米，依題意可列方程組（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24八年級上·四川成都·階段練習(xí)）為打造三墩五里塘河河道風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)，由、兩個(gè)工程小組先后接力完成，工程小組每天整治12米，工程小組每天整治8米，共用時(shí)20天，設(shè)工程小組整治河道米，工程小組整治河道米，依題意可列方程組．【變式2】（22-23八年級下·吉林·期末）為了推進(jìn)鄉(xiāng)村振興發(fā)展，某地決定對A，B兩村之間的公路進(jìn)行改造，并由甲工程隊(duì)從A村向B村方向修筑，乙工程隊(duì)從B村向A村方向修筑．已知甲工程隊(duì)先施工2天，乙工程隊(duì)再開始施工．乙工程隊(duì)施工幾天后，因另有任務(wù)提前離開，余下的任務(wù)由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成，直到公路修通．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修筑公路的長度y（米）與甲工程隊(duì)施工時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)乙工程隊(duì)每天修路___米，甲工程隊(duì)每天修路___米，a的值為___，b的值為___；(2)直接寫出：甲工程隊(duì)修公路的長度y（米）與甲施工隊(duì)施工時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求乙工程隊(duì)修公路的長度y（米）與甲工程隊(duì)施工時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)若該項(xiàng)工程由甲、乙兩工程隊(duì)從開始就合作施工，直到任務(wù)完成，直接寫出：完成任務(wù)所需的時(shí)間．【變式3】（22-23八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）某地計(jì)劃修建一條長48千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊(duì)修路的速度是乙工程隊(duì)修路速度的倍，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成本次修路任務(wù)比甲工程隊(duì)單獨(dú)完成多20天．(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少千米?(2)已知甲工程隊(duì)修路費(fèi)用為20萬元/千米，乙工程隊(duì)修路費(fèi)用為15萬元/千米．甲工程隊(duì)先單獨(dú)修路若干天后，接到其它任務(wù)需要離開，剩下的工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成．若要使修路總時(shí)間不超過55天，總費(fèi)用低于820萬元，且甲工程隊(duì)所修路程需為整數(shù)，請問共有幾種修路方案?哪種方案最省錢?技巧7：方程思想在解實(shí)際等距問題中的應(yīng)用【例題7】（21-22八年級下·河南安陽·階段練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【變式1】（22-23八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C、D為兩村莊，，，于點(diǎn)A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求km．【變式2】（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，公路上A、B兩站相距25km，在公路附近有C、D兩所學(xué)校，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B．已知，現(xiàn)要在公路上建設(shè)一個(gè)青少年活動(dòng)中心E，要使得C、D兩所學(xué)校到E的距離相等，則E應(yīng)建在距點(diǎn)A多遠(yuǎn)處？【變式3】（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖，直線為一條公路，，處有兩個(gè)村莊，于點(diǎn)，于點(diǎn)，千米，千米，千米．現(xiàn)需要在上建立一個(gè)物資調(diào)運(yùn)站，使得到，兩個(gè)村莊距離相等，請求出此時(shí)到的距離．

技巧8：方程思想在求平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)解析式的應(yīng)用【例題8】（2024春?越秀區(qū)校級期中）星期六小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中，中途休息了一段時(shí)間，小明所走的路程（米與所用時(shí)間（分之間的關(guān)系如圖所示．（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？（2）求小明休息后爬山中與之間的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算經(jīng)過80分鐘小明爬山所走的路程．【變式1】（22-23八年級下·北京海淀·階段練習(xí)）“白銀號”種子的價(jià)格是元，如果一次性購買以上的種子，則超過部分的種子價(jià)格打折購買種子所需的付款金額單位：元與購買量單位：之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

(1)根據(jù)圖象，寫出當(dāng)購買種子超過時(shí)，付款金額單位：元關(guān)于購買量單位：的函數(shù)解析式；(2)若購買的種子，求付款金額；(3)當(dāng)顧客付款金額為元時(shí)，求此顧客購買了多少種子．【變式2】（22-23八年級下·吉林長春·期中）某人需要經(jīng)常去復(fù)印資料．甲復(fù)印社直接按每次印的張數(shù)計(jì)費(fèi)，乙復(fù)印社可以加入會(huì)員，但需按月付一定的會(huì)員費(fèi)、兩復(fù)印社每月的收費(fèi)情況如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題；

(1)乙復(fù)印社要求客戶每月支付的會(huì)員費(fèi)是______元．(2)求出乙復(fù)印社收費(fèi)y（元）關(guān)于復(fù)印量x（頁）的函數(shù)解析式．(3)當(dāng)每月復(fù)印多少頁時(shí)，兩復(fù)印社實(shí)際收費(fèi)相同？(4)如果每月復(fù)印210頁，應(yīng)選擇哪家復(fù)印社？【變式3】（22-23八年級下·山東德州·階段練習(xí)）某市為提倡居民節(jié)約用水，自今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，圖中，分別表示去年、今年水費(fèi)（元）與用水量之間的關(guān)系．(1)分別寫出，的函數(shù)解析式．(2)小雨家去年用水量為140立方米，若今年用水量與去年相同，水費(fèi)將比去年多多少元？技巧9：方程思想在求實(shí)際問題中最值的應(yīng)用【例題9】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）某單位準(zhǔn)備和甲乙兩個(gè)出租公司中的一家簽訂租車合同，設(shè)汽車每月行駛x千米，每月應(yīng)付給甲公司的費(fèi)用為元，付給乙公司的費(fèi)用為元，、與x的關(guān)系如圖，若該單位每月行駛的路程為，為了使費(fèi)用最少，則應(yīng)選擇（）A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一樣 D．無法確定【變式1】．（2024春?錦江區(qū)校級期中）隨著“低碳生活、綠色出行”理念的普及，新能源汽車逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售中心決定采購型和型兩款新能源汽車，已知每輛型汽車進(jìn)價(jià)是每輛型汽車進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用300萬元購進(jìn)型汽車的數(shù)量比用240萬元購進(jìn)型汽車的數(shù)量少2輛．（1）每輛型和型汽車的進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？（2）該汽車銷售中心購進(jìn)型和型汽車共20輛，且型汽車的數(shù)量不超過型汽車的數(shù)量的2倍．已知型汽車的售價(jià)為35萬元，型汽車的售價(jià)為23萬元．如何制定進(jìn)貨方案，可以使得銷售中心利潤最大，請求出最大利潤和此時(shí)的購進(jìn)方案．【變式2】（23-24八年級下·福建·期中）為全面貫徹黨的教育方針，保障學(xué)生每天在校1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間，某校訐劃采購部分籃球和足球，已知1個(gè)籃球和2個(gè)足球共140元，2個(gè)籃球和1個(gè)足球共130元．(1)求籃球，足球的單價(jià)分別是多少元；(2)該校需購買籃球和足球一共100個(gè)，且足球的數(shù)量不少于籃球數(shù)量的，那么購買籃球和足球各多少個(gè)時(shí)花費(fèi)最少？【變式3】（23-24八年級上·山東煙臺(tái)·期中）2023年9月21日，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講了，精彩的直播激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣．某單位為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，需要購買甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝．經(jīng)了解，每款甲款實(shí)驗(yàn)套裝的零售價(jià)比乙款實(shí)驗(yàn)套裝的零售價(jià)多7元，該單位以零售價(jià)分別用750元和540元購買了相同數(shù)量的甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝．(1)甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝每個(gè)的零售價(jià)分別為多少元？(2)由于物理興趣小組人數(shù)增加，該單位需再次購買兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝共200個(gè)，且甲款實(shí)驗(yàn)套裝的個(gè)數(shù)不少于乙款實(shí)驗(yàn)套裝的個(gè)數(shù)的一半，由于購買量大，甲乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別獲得了20元/每個(gè)、15元/每個(gè)的批發(fā)價(jià)．求甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別購買多少個(gè)時(shí)，所用資金最少．技巧10：方程思想在求統(tǒng)計(jì)中“三數(shù)”的應(yīng)用【例題1】（23-24八