山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體2022-2023學年高一上學期12月聯考數學試題（B）

“學情空間”區(qū)域教研共同體高一12月份聯考數學試題（B）注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定為，.故選：D2.設集合，則集合A的子集個數為（）A.16 B.32 C.15 D.31【答案】B【解析】【分析】先化簡集合A，再利用集合的子集概念.【詳解】因為集合，所以集合A的子集個數為，故選：B3.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若，則下列命題正確的是（）A若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質，結合特殊值法，即可判斷選項的正誤.【詳解】A中，有，錯誤；B中，時，成立，正確；C中，時，，錯誤；D中，由題設，當時，，錯誤；故選：B4.若是第三象限角，則下列各式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據所在象限，確定的三角函數值的正負，然后逐一判斷選項的正誤即可.【詳解】因為是第三象限角，，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D錯誤.故選：A.5.函數的零點所在的區(qū)間是（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】易知函數是上的增函數,,結合零點存在性定理可判斷出函數零點所在區(qū)間.【詳解】函數是上的增函數,是上的增函數,故函數是上的增函數.,,則時,;時,,因為,所以函數在區(qū)間上存在零點.故選:B.【點睛】本題考查了函數零點所在區(qū)間,利用函數的單調性與零點存在性定理是解決本題的關鍵,屬于基礎題.6.如圖所示，函數的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將原函數變形為分段函數，根據及時的函數值即可得解.【詳解】∵，∴時，，當時，函數為上的單調遞增函數，且，當時，函數為上的單調遞減函數，且，故選：B7.已知函數，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（）A.a∈(0,1) B.a∈[,1) C.a∈(0,] D.a∈[,2)【答案】C【解析】【分析】根據條件知在R上單調遞減，從而得出，求a的范圍即可．【詳解】∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．8.Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數結合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點睛】本題考查對數的運算，考查指數與對數的互化，考查計算能力，屬于中等題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實數a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要條件、充分條件的定義即可得出結果．【詳解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實數a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.已知正數滿足，則下列選項正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根據題設條件和基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】因為正數滿足，由，當且僅當時，即時，等號成立，所以A正確；由，可得，即，當且僅當時成立，所以B正確；由，當且僅當時成立，所以C錯誤；由正數滿足，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，即的最大值是，所以D正確.故選：ABD11.下列說法正確的是（）A.，B.若不等式的解集為或，則C.（且）的圖象恒過定點D.函數的單調減區(qū)間為【答案】AB【解析】【分析】根據特例可判斷A的正誤，根據一元二次不等式的解集可判斷B的正誤，根據指數函數的性質可判斷C的正誤，根據“同增異減”的原則可判斷D的正誤.【詳解】對于A，取，則成立，故A正確；對于B，因為的解集為或，故為方程的根，故即，故B正確；對于C，，故的圖象恒過，故C錯誤；對于D，由可得，因為為減函數，故若求的減區(qū)間，即求在上的增區(qū)間，而在上為增函數，在上為減函數，當時，；當時，；且在上為增函數，故的增區(qū)間為，故的減區(qū)間為，故D錯誤.故選：AB.12.已知實數滿足，則下列關系式中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據，令，，，在同一坐標系作出函數圖象求解.【詳解】因為，令，，，記與交點縱坐標為m，與交點縱坐標為t，當y＝t時，A正確；當y＝m時，B錯誤；當t＜y＜m時，C正確當y＜t時，D正確故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】根據分母不為零、真數大于零列不等式組，解得結果.【詳解】由題意得，故答案為：【點睛】本題考查函數定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14.函數在區(qū)間上的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】將函數化成，再利用換元法令，將函數的最大值，轉化為求二次函數的最大值.【詳解】因為，令，所以，對稱軸，所以當時，.故答案為：【點睛】本題考查二次函數的最大值，考查轉化與化歸思想的運用，考查運算求解能力，利用換元法求解時，注意新元取值范圍的確定，考能保證問題的等價性.15.已知是定義在上偶函數，且在區(qū)間上是減函數，若，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由的單調性與奇偶性轉化后求解，【詳解】函數是定義在上的偶函數，且在區(qū)間上單調遞減，故等價于，解得.故答案為：16.如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的內角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是.①的值為__________；②的值為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】根據直角三角形的內角及斜邊長表示出兩直角邊長，作差即可得出小正方形邊長，再由同角三角函數的基本關系求解.【詳解】因為大正方形的面積是1，所以大正方形邊長為1，則直角三角形中較短直角邊長為，較長的直角邊為，所以小正方形的邊長為，又小正方形的面積是，所以小正方形邊長為，故；因為，所以，又，，所以，所以.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，.求：（1）當時，求，，；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得到，進而求解交集和并集，以及補集；（2）由得到，從而得到.【小問1詳解】等價于，解得，故，而時，，故，，故.【小問2詳解】因為，所以，又，，故.18.已知函數.（1）求的最小正周期；（2）當時，求的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最小值為0，最大值為【解析】【分析】（1）根據正弦型函數的周期公式計算可得；（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據正弦函數的性質計算可得.【小問1詳解】由題意，，所以的最小正周期；【小問2詳解】當時，，可知，即，故的最小值為，最大值為.19.已知對數函數，并且它的圖象過點.（1）求的解析式；（2）若，，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數法，結合對數的運算性質進行求解即可；（2）利用換元法，結合二次函數的性質和對數的單調性進行求解即可.【小問1詳解】設（，且）的圖像過點，，即，，即，；【小問2詳解】令，，函數轉化為函數，該函數圖象開口朝上，對稱軸為，當時，有最小值，，當時，有最大值，，的值域為20.已知定義域為的函數是奇函數．（1）求、的值；（2）證明在上為減函數；（3）若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由奇函數的性質可得，可求得的值，再利用奇函數的定義可求得的值；（2）根據函數單調性的定義即可證明結論成立；（3）利用函數的奇偶性和單調性將恒成立，轉化為對任意的都成立，結合可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】解：因為函數在上為奇函數，則，解得，由奇函數的定義可得，所以，，即，則，可得.【小問2詳解】證明：由（1）得，任取、，且，則，則，，即，所以函數在上為減函數.【小問3詳解】解：根據（1）（2）知，函數奇函數且在上為減函數.不等式恒成立，即恒成立，也就是對任意的都成立，即對任意的都成立，則，解得，即的范圍是.21.我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產權的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經測算，生產該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產（千臺）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺平板電腦售價為0.6萬元，假設每年生產的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.（1）求該企業(yè)獲得年利潤（萬元）關于年產量（千臺）的函數關系式;（2）當年產量為多少千臺時，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.【答案】（1）（2）100千臺，最大年利潤為5900萬元.【解析】【分析】（1）由已知的條件知道該函數為一個分段函數，所以分兩種情況把表達式分別求出來即可（2）由（1）知當時，為二次函數，利用二次函數的性質求它在該區(qū)間上的最大值，當時，利用基本不等式性質求最大值.【小問1詳解】解：10000臺=10千臺,則，根據題意得：，解得，當時，，當時，，綜上所述.【小問2詳解】當時，當時，取得最大值；當時，，當且僅當時，因為，故當年產量為100千臺時,該企業(yè)所獲年利潤最大,最大年利潤為5900萬元.22.已知定義在R上的函數滿足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求實數a取值范圍；（3）設，若對任意的，存在，使得，求實數m取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據，代入計算可得；（2）根據單調性得，分離參數求最值即可.（3）因為對任意的，存在，使得，等價于，先求的最小值，再分類討論對稱軸