新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實(shí)現(xiàn) 課件 第2章4 矩陣的秩_第1頁
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文檔簡介

第二章矩陣的秩方程組同解變換等價(jià)方程組階梯型方程組同解變換判斷解的情況去掉冗余方程組（非零方程組）本質(zhì)矩陣行初等變換等價(jià)矩陣行階梯型矩陣行初等變換判斷解的情況（矩陣的秩）對應(yīng)的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)一一對應(yīng)矩陣的秩:對應(yīng)的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)

與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式

規(guī)定：零矩陣的秩等于零．

矩陣的秩例：求矩陣的秩解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．解：B行階梯形矩陣，非零行有3行,4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．分析：在

A中，2階子式．

思路：行階梯型矩陣容易判斷秩，矩陣容易化成行階梯型。二者是否存在某種關(guān)系？

矩陣求秩的方法：將矩陣通過初等行變換化為行階梯型，

行階梯形矩陣的非零行數(shù)就等于矩陣的秩.證明A的秩與B的秩相等，即證初等變換不會使原本非零的子式變?yōu)榱悖蛘邽榱愕淖邮阶優(yōu)榉橇恪?/p>

一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣求秩兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩相等例：求矩陣的秩．解：初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3．

例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．

矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式AT

的子式與A

的子式對應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．矩陣的秩的性質(zhì)對應(yīng)方程組為方程組有無窮多解

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