江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步午練17平面與平面垂直新人教A版必修第二冊

午練17平面與平面垂直1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,則()A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC2.(多選題)已知直線l,m,平面α,β,l?α,m?β,則下列說法中正確的是()A.若l∥m,則必有α∥βB.若l⊥m,則必有α⊥βC.若l⊥β,則必有α⊥βD.若α∥β,則必有l(wèi)∥β3.(多選題)(2024賓陽月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結(jié)論中正確的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD4.(多選題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E是PD中點,下列敘述錯誤的是()A.CE∥平面PABB.CE⊥平面PADC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBD⊥平面PAC5.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中相互垂直的平面共有對.

6.正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角的余弦值是.7.如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形,△PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為AD的中點.求證:(1)BG⊥平面PAD;(2)AD⊥PB.8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C為菱形,∠A1AC=60°,且AB⊥AA1,BC1⊥A1C.(1)證明:平面ABC⊥平面A1ACC1;(2)若AB=AC,求二面角A1-BC-A的余弦值.午練17平面與平面垂直1.B∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.2.CD對于A,平面α,β可能相交,所以選項A錯誤;對于B,平面α,β可能平行或斜交,所以選項B錯誤;對于C,因為l?α且l⊥β,則必有α⊥β,所以C正確;對于D,因為α∥β,則必有l(wèi)∥β,所以D正確.故選CD.3.ABD因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.又底面ABCD為矩形,∴AD⊥AB,CD⊥AD.而AB∩PA=A,AD∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.又BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴平面PBC⊥平面PAB.選項A,B,D正確.選項C錯誤,故選ABD.4.ABC對于A,∵四邊形ABCD是菱形,則CD∥AB.∵CD?平面PAB,AB?平面PAB,∴CD∥平面PAB.若CE∥平面PAB,∵CE∩CD=C,則平面PCD∥平面PAB,事實上,平面PCD與平面PAB相交,假設(shè)不成立,故A錯誤;對于B,過點C在平面ABCD內(nèi)作CF⊥AD,垂足為點F.∵PA⊥平面ABCD,CF?平面ABCD,∴CF⊥PA.∵CF⊥AD,PA∩AD=A,∴CF⊥平面PAD.∵過C作平面PAD的垂線有且只有一條,∴CE與平面PAD不垂直,故B錯誤;對于C,如圖,過點C在平面ABCD內(nèi)作CM⊥AB,垂足為點M,∵PA⊥平面ABCD,CM?平面ABCD,則CM⊥PA,∵CM⊥AB,PA∩AB=A,則CM⊥平面PAB.若平面PBC⊥平面PAB,過點C在平面PBC內(nèi)作CN⊥PB,垂足為點N.∵平面PBC⊥平面PAB,平面PAB∩平面PAB=PB,CN?平面PBC,∴CN⊥平面PAB.∵過點C作平面PAB的垂線有且只有一條,∴CM,CN重合,∴平面ABCD∩平面PBC=BC,∴CM,CN,CB重合,BC⊥AB.∵四邊形ABCD是菱形,BC與AB不愿定垂直,故C錯誤;對于D,∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA,∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC,故D正確.5.3∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴平面ADC⊥平面ABC.∴共有3對相互垂直的平面.6.如圖所示,設(shè)正四面體ABCD的棱長為1,過點A作AO⊥底面BCD,垂足為O,連接DO并延長交BC于點E,連接AE,則E為BC的中點,故AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AEO為側(cè)面ABC與底面BCD所成二面角的平面角.在Rt△AEO中,AE=,EO=ED=,∴cos∠AEO=.7.證明(1)由題意知△PAD為正三角形,G是AD的中點,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,∴PG⊥平面ABCD.又BG?平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,AD,PG?平面PAD,∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG?平面PBG,∴AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG,∴AD⊥PB.8.證明(1)連接AC1,如圖,四邊形AA1C1C是菱形,所以AC1⊥CA1.又BC1⊥CA1,BC1∩AC1=C1,所以CA1⊥平面ABC1,故CA1⊥AB.又AA1⊥AB,CA1∩AA1=A1,所以AB⊥平面AA1C1C.又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面A1ACC1.(2)在平面AA1C1C內(nèi)過A1引直線A1O垂直于AC,O為垂足,在平面ABC內(nèi)過O引直線OH垂直于BC,H為垂足,連接A1H.因為平面ABC⊥平面A1ACC1,平面ABC∩平面A1ACC1=AC,所以A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥OH,A1O⊥BC.又OH⊥BC,A1O∩OH=O,所以BC⊥平面A1OH,故∠A1HO為二面角A1-