等比數(shù)列的前n項和高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修二冊

§3等比數(shù)列第一章

復(fù)習(xí)回顧1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)過程．2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．3．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)特別關(guān)注:1.對等比數(shù)列前n項和公式的考查是本課時的熱點．2.本課時常與函數(shù)、不等式、方程結(jié)合命題．3.多以選擇題、填空題的形式考查，同時也有在解答題中考查.新知引入國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質(zhì)量為40克，據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.新知學(xué)習(xí)問題1：每個格子里放的麥粒數(shù)可以構(gòu)成一個數(shù)列,請判斷分析這個數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個等比數(shù)列的通項公式.

問題2：請將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學(xué)問題.S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②

兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項，則②－①得：S64=264-1=18446744073709551615思考：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2呢？已知麥子每千粒約為40克，則折合約為737869762948382064克≈7378.7億噸.觀察上式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？

知識點一

等比數(shù)列前n項和公式及推導(dǎo)

我們不妨把各項都用首項和公比來表示.

新知講解

注意：q≠1時，關(guān)于錯位相減法求和(1)適用范圍：{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列(q≠1)，形如cn＝anbn的數(shù)列適合利用錯位相減法求和；(2)求和步驟①對求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn(ⅰ)，要寫出倒數(shù)第二項cn－1；②式子的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q，寫成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq(ⅱ)的形式，要空一位書寫，(ⅰ)(ⅱ)式形成錯位；③(ⅰ)式－(ⅱ)式，左邊＝(1－q)Sn，右邊考查除了最后一項外的其他項，利用等比數(shù)列求和公式求和、整理；④兩邊同除以1－q，整理得Sn．

通過上面的講解，對于等比數(shù)列的相關(guān)量a1、q、n、an、sn，一般確定幾個量就可以確定其他量？a1、an、nan、sna1、q、ana1、q、na1、an、snan、q、nan、sn、nn、snq、snq、na1、sna1、q典例剖析

[題后感悟]

(1)與等差數(shù)列類似．在等比數(shù)列中，利用通項公式和前n項和公式同樣可以在五個基本量a1、q、an、Sn、和n中“知三求二”．(2)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意公比q是否為1，并且常用到等式兩邊約分或兩式相除的辦法進行化簡或消元.

即時訓(xùn)練

解：由{an}是等比數(shù)列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，即1，S20－1，13－S20，S40－13構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S20－1)2＝1×(13－S20)，解得S20＝4或S20＝－3(舍去)，∴(13－S20)2＝(S20－1)(S40－13)，即92＝3×(S40－13)，解得S40＝40．隨堂小測1.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，當(dāng)Sn＝127時，n＝(

)A．8 B．7C．6 D．5B2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋S3＝0，則公比q＝(

)A．－1

B．1C．－2 D．2A3.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝3，S3＝9，則S4＝(

)A．12 B．－15C．12或－15 D．12或15C4、已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1求數(shù)列{2n·an}的前n項和Tn．解：2nan＝(3n－1)·2n，Tn＝(3－1)×2＋(6－1)×22＋…＋(3n－1)·2n，①2Tn＝(3－1)×22＋(6－1)×23＋…＋(3n－1)·2n＋1，②①－②得，－Tn＝(3－1)×2＋3×22＋3×