河北省承德市名校2025屆九上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

河北省承德市名校2025屆九上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在下列命題中，真命題是（）A．相等的角是對頂角 B．同位角相等C．三角形的外角和是 D．角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊相等2．如圖，現(xiàn)有一個(gè)圓心角為90°，半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為（

）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm3．如圖，△ABC∽△ADE，則下列比例式正確的是（）A． B． C． D．4．定義：在等腰三角形中，底邊與腰的比叫做頂角的正對，頂角的正對記作，即底邊:腰.如圖，在中，，.則（）A． B． C． D．5．如圖，BD是⊙O的直徑，圓周角∠A=30，則∠CBD的度數(shù)是（）A．30 B．45 C．60 D．806．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）7．如圖，切于兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，交于．若的周長為，則的值為（）A． B． C． D．8．要使有意義，則x的取值范圍為()A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－19．反比例函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（）A．3 B．5 C．6 D．810．已知正多邊形的一個(gè)外角為36°，則該正多邊形的邊數(shù)為().A．12 B．10 C．8 D．6二、填空題(每小題3分,共24分)11．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是2，則m的值為________.12．圓內(nèi)接正六邊形一邊所對的圓周角的度數(shù)是__________．13．如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為___．14．如圖，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB=5，CD=4，AB與CD的距離為6，則a?b的值是_______.15．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，其底面圓的半徑為2cm，則其側(cè)面積為_____．16．如圖是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑長為，母線長為.在母線上的點(diǎn)處有一塊爆米花殘?jiān)?，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)處沿圓錐表面爬行到點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離為____．17．若＝，則的值為______．18．如圖，某水壩的坡比為,坡長為米，則該水壩的高度為__________米．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上(不與點(diǎn)C，D重合)，連接AE，BD交于點(diǎn)F.（1）若點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，AB＝2，求AF的長.（2）若∠AFB＝2，求的值.（3）若點(diǎn)G在線段BF上，且GF＝2BG，連接AG，CG，設(shè)＝x，四邊形AGCE的面積為，ABG的面積為，求的最大值.20．（6分）如圖，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中指針落在每個(gè)數(shù)字上的機(jī)會相等，現(xiàn)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)、兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字.小力和小明利用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，若兩數(shù)之積為非負(fù)數(shù)則小力勝；否則，小明勝.（1）畫樹狀圖或列表求出各人獲勝的概率。（2）這個(gè)游戲公平嗎？說說你的理由21．（6分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax1+4ax+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣3），與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AD：DE＝3：1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（1）若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，求MD+MA的最小值．22．（8分）如圖，四邊形是平行四邊形，連接對角線，過點(diǎn)作與的延長線交于點(diǎn)，連接交于．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，且，求證：四邊形是正方形．23．（8分）.如圖，小明在大樓的東側(cè)A處發(fā)現(xiàn)正前方仰角為75°的方向上有一熱氣球在C處，此時(shí)，小亮在大樓的西側(cè)B處也測得氣球在其正前方仰角為30°的位置上，已知AB的距離為60米，試求此時(shí)小明、小亮兩人與氣球的距離AC和BC．（結(jié)果保留根號）24．（8分）已知，如圖1，在中，，，，若為的中點(diǎn)，交與點(diǎn).（1）求的長.（2）如圖2，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線與點(diǎn).①若時(shí)，求的長：②如圖3，連接交直線與點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長.25．（10分）如圖，在10×10正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長均為1個(gè)單位．建立坐標(biāo)系后，△ABC中點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1）．（1）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出A1坐標(biāo)．（2）把△ABC以O(shè)為位似中心放大，使放大前后對應(yīng)邊長為1：2，畫出放大后的△A2B2C2，并寫出A2坐標(biāo)．26．（10分）如圖1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=，D是BC的中點(diǎn)．小明對圖1進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)E，連接EB．將線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，連接BF，小明發(fā)現(xiàn)：隨著點(diǎn)E在線段AD上位置的變化，點(diǎn)F的位置也在變化，點(diǎn)F可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上時(shí)，連接CF，猜想直線CF與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若點(diǎn)F落在直線AD的右側(cè)，請?jiān)趥溆脠D中畫出相應(yīng)的圖形，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出AF的最小值．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據(jù)對頂角的定義、同位角的定義、三角形的外角和、角平分線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A、由對頂角的定義“如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長線，且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)角是對頂角”可得，對頂角必相等，但相等的角未必是對頂角，此項(xiàng)不是真命題B、只有當(dāng)兩直線平行，同位角必相等，此項(xiàng)不是真命題C、根據(jù)內(nèi)角和定理可知，任意多邊形的外角和都為，此項(xiàng)是真命題D、由角平分線的性質(zhì)可知，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，此項(xiàng)不是真命題故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角的定義、同位角的定義、三角形的外角和、角平分線的性質(zhì)，熟記各定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2、A【解析】試題分析：本題的關(guān)鍵是利用弧長公式計(jì)算弧長，再利用底面周長=展開圖的弧長可得．解答：解：L=,解R=2cm．故選A.考點(diǎn):弧長的計(jì)算．3、D【解析】∵△ABC∽△ADE，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4、C【分析】證明△ABC是等腰直角三角形即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=2∠B，

∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，

∴在Rt△ABC中，BC==AC，

∴sin∠B?sadA=,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．5、C【解析】由BD為⊙O的直徑，可證∠BCD=90°，又由圓周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．【詳解】解：如圖，連接CD，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠D=∠A=30°，∴∠CBD=90°-∠D=60°．故選C．【點(diǎn)睛】本題利用了直徑所對的圓周角是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．6、C【分析】過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，易證△ACO≌△BCD（AAS），從而可求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式與A的坐標(biāo)即可得知平移的單位長度，從而求出C的對應(yīng)點(diǎn)．【詳解】解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO與△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝，將B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入y＝，∴x＝，當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)了個(gè)單位長度，∴C也移動(dòng)了個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（，0）故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，屬于中等題型．7、A【分析】利用切線長定理得出，然后再根據(jù)的周長即可求出PA的長．【詳解】∵切于兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，交于∴的周長為∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．8、B【分析】根據(jù)二次根式有意義有條件進(jìn)行求解即可.【詳解】要使有意義，則被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)，即，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.9、B【分析】根據(jù)點(diǎn)（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，點(diǎn)（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方可得出k的取值范圍，即可得答案.【詳解】∵點(diǎn)（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，∴k>3，∵點(diǎn)（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方，∴<2，即k<6，∴3<k<6，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟記k=xy是解題關(guān)鍵.10、B【解析】利用多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個(gè)外角都是36°，即可求出答案．【詳解】解：360°÷36°＝10，所以這個(gè)正多邊形是正十邊形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．是需要識記的內(nèi)容．二、填空題(每小題3分,共24分)11、-【分析】把x=2代入原方程可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．【詳解】解：當(dāng)x=2時(shí)，，解得：m=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟知一元二次方程解的概念是關(guān)鍵．12、30°或150°【分析】求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答．【詳解】解：圓內(nèi)接正六邊形的邊所對的圓心角360°÷6=60°，圓內(nèi)接正六邊形的一條邊所對的弧可能是劣弧，也可能是優(yōu)弧，

根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，

所以圓內(nèi)接正六邊形的一條邊所對的圓周角的度數(shù)是30°或150°，故答案為30°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，涉及的知識點(diǎn)有正多邊形的中心角、圓周角與圓心角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，要注意分兩種情況討論．13、【詳解】解：如圖所示：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，則EH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．14、【分析】利用反比例函數(shù)k的幾何意義得出a-b=4?OE，a-b=5?OF，求出=6，即可求出答案．【詳解】如圖，∵由題意知：a-b=4?OE，a-b=5?OF，∴OE=，OF=，又∵OE+OF=6，∴=6，∴a-b=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能求出方程=6是解此題的關(guān)鍵．15、12πcm【分析】先根據(jù)底面半徑求出底面周長，即為扇形的弧長，再設(shè)出扇形的半徑，根據(jù)扇形的弧長公式，確定扇形的半徑；最后用扇形的面積公式求解即可.【詳解】解：∵底面圓的半徑為2cm，∴底面周長為4πcm，∴側(cè)面展開扇形的弧長為4πcm，設(shè)扇形的半徑為r，∵圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，∴＝4π，解得：r＝6，∴側(cè)面積為×4π×6＝12πcm，故答案為：12πcm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的表面積、扇形的面積以及弧長公式，解答的關(guān)鍵在于對基礎(chǔ)知識的牢固掌握和靈活運(yùn)用.16、【解析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：，底面周長，將圓錐側(cè)面沿剪開展平得一扇形，此扇形的半徑，弧長等于圓錐底面圓的周長設(shè)扇形圓心角度數(shù)為，則根據(jù)弧長公式得：，，即展開圖是一個(gè)半圓，點(diǎn)是展開圖弧的中點(diǎn)，，連接，則就是螞蟻爬行的最短距離，在中由勾股定理得，，，即螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了平面展開最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．17、4【分析】由＝可得，代入計(jì)算即可.【詳解】解：∵＝，∴，則故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18、【分析】根據(jù)坡度的定義，可得，從而得∠A=30°，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵水壩的坡比為，∠C=90°，∴，即：tan∠A=∴∠A=30°，∵為米，∴為1米．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查坡度的定義和三角函數(shù)的定義，掌握坡度的定義，是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得DE的長，利用勾股定理可得AE的長，又易證，由相似三角形的性質(zhì)可得，求解即可得；（2）如圖（見解析），連接AC與BD交于點(diǎn)O，由正方形的性質(zhì)可知，，，設(shè)，在中，可求出，從而可得DF和BF的長，即可得出答案；（3）設(shè)正方形的邊長，可得DE、AO、BO、BD的長，由可得BF的長，又根據(jù)可得BG的長，從而可得的面積，用正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積可得四邊形AGCE的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值.【詳解】（1）為CD中點(diǎn)，，，即又；（2）如圖，連接AC與BD交于點(diǎn)O由正方形的性質(zhì)得，設(shè)在中，，；（3）設(shè)正方形的邊長，則由（1）知，又又又由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理和性質(zhì)、正切三角函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，難度較大的是題（3），利用相似三角形的性質(zhì)求出BG的長是解題關(guān)鍵.20、（1）小力獲勝的概率為，小明獲勝的概率；（2）不公平，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，由表格可求出所有等可能結(jié)果以及小力獲勝和小明獲勝的情況，由此可求得兩人獲勝的概率；（2）比較兩人獲勝的概率，即可知游戲是否公平.【詳解】解：（1）列表得：轉(zhuǎn)盤兩個(gè)數(shù)字之積轉(zhuǎn)盤02110212010∵由兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)出一數(shù)字作積的所有可能情況有12種，每種情況出現(xiàn)的可能性相同，其中兩個(gè)數(shù)字之積為非負(fù)數(shù)有7個(gè)，負(fù)數(shù)有5個(gè)，∴，.（2）.∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.【點(diǎn)睛】本題考查了概率在游戲公平性中的應(yīng)用，熟練掌握列表格或樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵.21、（1）；（1）．【分析】（1）先把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x+b中求得b，則一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，于是可確定A（﹣6，0），作EF⊥x軸于F，如圖，利用平行線分線段成比例求出OF＝4，接著利用一次函數(shù)解析式確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（1）作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，如圖，則D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再證明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA的值最小，然后證明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可．【詳解】解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A（﹣6，0），作EF⊥x軸于F，如圖，∵OD∥EF，∴＝＝，∴OF＝OA＝4，∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x﹣3＝﹣5，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5），把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax1+4ax+c得，解得，∴拋物線解析式為；（1）作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，如圖，則D′（0，3），在Rt△OAD中，AD＝＝3，∵∠MAH＝∠DAO，∴Rt△AMH∽Rt△ADO，∴＝，即＝，∴MH＝AM，∵M(jìn)D＝MD′，∴MD+MA＝MD′+MH，當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時(shí)MD+MA的值最小，∵∠D′DH＝∠ADO，∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，∴＝，即＝，解得D′H＝，∴MD+MA的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合能力.22、（1）證明見解析，（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD∥BC，AD=BC，又由平行四邊形的判定得：四邊形ACED是平行四邊形，又由平行四邊形的對邊相等可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）：四邊形ACED是平行四邊形，對角線互相平分可得：結(jié)合，從而證明AD=AB，即鄰邊相等，證明四邊形為菱形，再證明從而∠ABC=90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AD=CE，∴BC=CE；（2）由（1）知：四邊形ACED是平行四邊形，∴DF=CF=AB，EF=AF，∵AD=2CF，∴AB=AD，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，∵AD∥EC，∴∴四邊形ABCD是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，正確利用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23、小明、小亮兩人與氣球的距離AC為30米，BC為30（+1）米．【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)題意求出∠C的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念分別求出BD、CD、AC即可．【詳解】解：作AD⊥BC于D，由題意得，∠CAE=75°，∠B=30°，∴∠C=∠CAE-∠B=45°，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=30，BD=AB?cos30°=30，∵∠ADC=90°，∠C=45°，∴∴AC=30，BC=BD+CD=30+30，答：小明、小亮兩人與氣球的距離AC為30米，BC為30（+1）米．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．24、（1）；（2）①，；②，.【分析】（1）先利用相似三角形性質(zhì)求得∽，并利用相似比即可求的長；（2）①由題意分點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，利用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行分析求值；②利用三角函數(shù)以及等腰三角形性質(zhì)綜合進(jìn)行分析討論.【詳解】解：（1）∵，，∴∽∴∵，∴∴（2）①（）點(diǎn)在線段上∵，∴為的中點(diǎn)∵為的中點(diǎn)∴∵，∴∴是的中位線∴（）點(diǎn)在射線上∵為的中點(diǎn)，∴由（1）可得∽∴，∴∵，∴∴∽∴∴綜上所述：的長為，②由上問可得，∽∴∵∴∵，∴∴∽為等腰三角形，則為等腰三角形.（）