高中數(shù)學(xué)北師大必修1學(xué)案第一章3　集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算

3.1交集與并集

頤麥颼㈤1闞(■課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P11?12,思考并完成以下問題

1.交集的定義是什么？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？

2.并集的定義是什么？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示?

3.交集與并集有哪些性質(zhì)？

［新加初探］

1.交集

(1)交集的定義：

一般地，由既屬于集合A又屬于集合A的所有元素組成的集合,叫作A與B的交集,

記作41"!8(讀作“A交B”),即且

(2)圖形表示：

(3)運(yùn)算性質(zhì)：

AnB=j?nA,ACI恒A,AD

Ar\A=A,AH0=0.

［點(diǎn)睛］

(1)交集概念中的“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合

中的元素.

(2)交集概念中的“所有”兩字不能省略，否則將會(huì)漏掉一些元素，一定要將相同的元素

全部找出來.

(3)當(dāng)集合A和集合8沒有公共元素時(shí)，不能說A與5沒有交集，而是集合A,5的交

集為空集.

2.并集

(1)并集的定義：

一般地，由屬于集合4或?qū)儆诩螦的所有元素組成的集合,叫作A與〃的并集.記

作4U8(讀作“4并B”).即AU8={xLrG4,或xW8}.

(2)圖形表示：

(3)運(yùn)算性質(zhì):

AU5=5LM,A&AUB,B^AUB；

AUA=A,AU0=A.

［點(diǎn)睛］

(1)4U8是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合.

(2)并集的符號(hào)語言中的“或”與生活用語中的“或”的含義是不同的.生活用語中的“或”

是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有.“xGA,

或包含三種情形：?xGA,且遙B;②xGB,且送A;@xGA,且xWB.

(3)由于集合中元素的互異性，則A和8的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次.

M?欽才?。?/p>

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”錯(cuò)誤的打“X”.

(1)若4={1,2},3={3,4},則A與3沒有交集.()

(2)若4={1,2},8={1,3,4},則AUB={1,2,1,3,4}.()

(3)若xW(Ari3),則xe(AU5).()

(4)若xG(AU3),則xG(AD5).()

(5)若A13,貝I」AD3=4()

(6)若AU5,則AU5=3.()

答案：(1)X(2)X(3)J(4)X(5)V(6)V

2.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},則AUB=()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{1,2}D.{0}

答案：A

3.若集合A={1,3,7,8},B={2,6,7,91，則ACB=.

答案：{7}

4.若集合4={x|x>l}，B={x|x<-1},貝！|An8=,AUB=.

答案：0{x［x>l或xV-1}

字課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

題型一"求集合的交集與并集

I典例］(1)已知集合A={x|(x-l)(x+2)=0},B={x|(x+2)(x-3)=0},貝!)AQB=

,AUB=.

(2)已知集合A={x|xW-2或x>5},8={x|lVxW7},則AC\B=,AUB=

［解析］(1)A={x|(x-1)(x4-2)=0}={1,-2},

B={x|(x+2)(x-3)=0}={-2,3},

則4門5={-2},AU5={1,-2,3}.

⑵如圖所示：

___,BY——

--------——.

-2157*

則anB={x|5Vx這7},

AU8={x|x<一2或x>l}.

［答案］(1){-2}{1,-2,31

(2){x|5<x^7}{x|xW-2或x>"

目首先應(yīng)看蒲集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的藪橐，可以根

據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)

集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.

［活學(xué)活用］

1.設(shè)集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},貝！|(ADB)UC等于()

A.{1,2,3}B.{1,2,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

解析：選DVA={1,2},B={1,2,3),

...An8={1,2}.又C={2,3,4}.

(AHB)UC={1,2}U{2,3,4}={1,2,3,4}.

2.若集合4={x|-2WxW3},8={x|xV-l或x>4},則集合AD8等于()

A.{x|xW3或x>4}B.{x\-l<x^3］

C.{x|3Wx<4}D.{x|-2<x<-l}

解析：選D在數(shù)軸上把集合A,3表示出來，如圖所示:

.

B七LJL

-2-134x

故408={萬一2?—1}.

題型二V交集'并集的性質(zhì)及應(yīng)用

［典例］已知集合4="4一3*+2=0},8={Max-2=0},且AU8=A,求實(shí)數(shù)a組成

的集合C.

［解IVA={X|X2-3X+2=0}={1,2},

又AUB=A,：.B^A.

(1)當(dāng)5=0時(shí)，方程ar—2=0無解，此時(shí)a=0.

(2)當(dāng)8手。時(shí)，則8={1}或8={2}.

若5={1},則。-2=0,即a=2;

若3={2},則2a-2=0,即a=l.

綜上可知，實(shí)數(shù)a所組成的集合C={0,l,2}.

(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會(huì)遇到ADB==,AU8==等這類問題,

解答時(shí)常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析，如AD5=AOAa5,A

等，解答時(shí)應(yīng)靈活處理.

(2)當(dāng)集合8UA時(shí)，如果集合A是一個(gè)確定的集合，而集合5不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮8

=0的情況，切不可漏掉.

［活學(xué)活用］

已知集合A={x|-1WXV3},B={x\2x~4^x-2}.

(1)求API5；

(2)若集合C={x|2x+a>0},滿足5UC=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(l)T5={Mx22},.,.An5={x|2WxV3}.

(2)VC=1xx>-^|,BUC=COBUC,

；.a>—4,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一4,+°°).

題型三'利用交集、并集求參數(shù)的取值范圍

［典例］集合A={x|-lVxVl},B={x\x<a］.

(1)若AC5=0,求a的取值范圍；

(2)若AU8={x|xVl},求a的取值范圍.

［解］(1)如圖1所示.

圖1

A={x|—1<X<1},B={x|x<a),且41*18=0,.,.數(shù)軸上點(diǎn)x=a在點(diǎn)x=-1左側(cè),

且包含點(diǎn)x=—1,

.?.aW—1.

(2)如圖2所示，A={x|-B={x|x<a},

且AUB={x|xVl},

圖2

.,.數(shù)軸上點(diǎn)x=a在點(diǎn)x=-1和點(diǎn)x=l之間，不包含點(diǎn)x=—1,但包含點(diǎn)x=l.

-1VaWl.

此類問題常借助數(shù)軸解決，首先根據(jù)集合間的關(guān)系畫出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于參

數(shù)的不等式(組)，求解即可，特別要注意端點(diǎn)值的取舍.當(dāng)集合的元素離散時(shí)，常借助集合

的關(guān)系列關(guān)于參數(shù)的方程(組)求解，但求解后要代入檢驗(yàn)是否符合題意.

［活學(xué)活用］

1.已知集合4={*?忘1},B={x\x^a),且AU8=R,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由4UB=R,得4與8的所有元素應(yīng)覆蓋整個(gè)數(shù)軸.

如圖所示.所以a必須在1的左側(cè)或a與1重合，即aWl,故實(shí)-----士—:-----；

數(shù)a的取值范圍為(-8,1］,

2.設(shè)集合A={x|-lVxVa},集合8={M1VX<3},且4U5={X|-1VX<3},求a的

取值范圍.

解：如圖所示，設(shè)想集合A所表示的范圍在數(shù)軸上移動(dòng)，由A.

~~~；~~B

--<>10(^10~-

-101a23*

UB={x|-lVxV3}知，當(dāng)且僅當(dāng)集合A覆蓋住{x|-lVx41}的部分，才能使AUB={x|-l

<x<3},因此A的右端點(diǎn)應(yīng)介于1和3之間，且1處不能取等號(hào)，否則不含元素1,，lVa

W3.

屋離窿聞唳摩到由課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是（）

A.NJMB.MUN=M

C.MCN=ND.MDN={2}

解析：選D?；M={1,2,3,4},N={-2,2},

：.MQN={2},MUN={-2,1,2,3,4}.故選D.

2.已知集合川={直線},N={圓},則MCN中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.0,1,2其中之一

C.無窮D.無法確定

解析：選A因?yàn)榧螹與N中沒有公共元素，所以MDN的元素個(gè)數(shù)為0.

3.已知集合4={*僅>1},?={x|-l<x<2},則408=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|x>—1}

C.{x|-l<x<l}D.{x\l<x<2}

解析：選D將集合A,B表示在數(shù)軸上，如右圖所示，知406=

——A-----<!^!>——

{x|l<x<2}.-112x

4.滿足{1,3}U4={1,3,5}的所有集合A的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選D?.?{1,3}UA={1,3,5},...集合中至少含有一個(gè)元素5,故4={5},{1,5},{3,5}

或{1,3,5}.

5.集合A={0,2,<z},B={1,a2}.若AUB={0,l,2,4,16},則a的值為（）

A.0B.1

C.2D.4

解析：選D-41）5={0,1,2,a,a2}={0,l,2,4,16）,

'.{a,a2}={4,16}.；.a=4.

6.設(shè)集合A={0,l,2,4,5,7},3={1,3,6,8,9},C={3,7,8}.則集合（A03）0C=,

（Auc）n（Buc）=.

解析：VADB={1},C={3,7,8},/.（AABJUC={1,3,7,8}.VAUC={0,1,23,4,5,7,8},

BUC={13,6,7,8,9},（4UOCl（5UO={1,3,7,8}.

答案：{1,3,7,8}{1,3,7,8}

7.設(shè)集合A={x|-lWx<2},若AC5W0,則a的取值范圍是.

解析：在數(shù)軸上表示出集合A,8可知a>—1.

-----j__.

-1a2H

答案：a>-l

8.已知集合尸={-4,一2,0,2,4},e={x|-l<x<3},貝！]尸門。=.

解析：作出如圖所示的數(shù)軸，可得0,2是集合P,。的公共元素，故PDQ={0,2}.

--?'?O??_O?■

-4-3-2-101234*

答案：{052}

[3-x>0>1

9.已知集合H集合3={，m3>2/?-1},求ADB,AUB.

[3x+6>0J

[3-x>0,

解：由|,得一2VxV3,即A={x|-2VxV3}.

[3x+6>0,

又由3>2機(jī)一1,得，〃V2,即8={，川，"V2}.

：.Ar\B={x\~2<x<2},AL)B={x\x<3}.

10.已知集合〃={x|2x-4=0},集合'={丫僮2-3*+”?=0},

(1)當(dāng)m=2時(shí)，求MDN,MUN；

(2)當(dāng)MC1N=M時(shí)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

解：(1)由題意得〃={2}.當(dāng)，〃=2時(shí)，N={xM—3X+2=0}={1,2},/.A/n^={2},M

UN={1,2}.

(2y：Mr\N=M,.,.知三乂又：知={2},：.2^N,

二2是關(guān)于x的方程爐-3*+析=0的解，

即4-6+機(jī)=0,解得，"=2.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.設(shè)4=3一3?工五3},B={jly=-x2+/}.若AC8=0,則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

A./<—3B.tW—3

C.t>3D.f23

解析：選AB={y\y^t],結(jié)合數(shù)軸可知fV—3.

2.已知集合A={x|0VxW6,xdZ}和B={x|-4<x<4,*6Z}關(guān)系的Venn圖如圖所示,

則陰影部分所示集合中的元素共有（）

AB

A.5個(gè)B.6個(gè)

C.7個(gè)D.無窮多個(gè)

解析：選C由題意可知A={1,2,3,4,5,6},B={-3,-2,一1,0,1,2,3},

.*.AAB={1,2,3},AUB={-3,-2,一1,0,1,2,3,4,5,6}.

故陰影部分表示的集合為{-3,-2,-1,0,4,5,6),共有7個(gè)元素.

3.集合4={島。+1,-1),8={2.一1,|a—2|,3層+4},408={-1},則a的值是(

A.-1B.0或1

C.2D.0

解析：選D由41~18={—1},得一1G8.因?yàn)楹我?|30,3?2+4>0,所以2°—1=-1,

即a=0,這時(shí)A={0,l,-1),B={-1,2,4},則4=5={-1}成立.

4.設(shè)集合4={-1,0,1},集合8={0,1,2,3},定義A*B={(x,y)lxeAClB,yEAUff),

則4*5中元素的個(gè)數(shù)是()

A.7B.10

C.25D.52

解析：選B因?yàn)?={-1,0,1},5={0,1,2,3},

所以4『5={0,1},AUJ?={-1,0,1,23}.

由xGAD優(yōu)可知x可取0,1;

由可知y可取一1,0,1,2,3.

所以元素(x,y)的所有結(jié)果如下表所示：

X-10123

0(0,-1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)

1(1,-1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)

所以A*B中的元素共有10個(gè).

5.已知集合4={x|xVl或x>5},5={x|aWxW外,且AU5=R,4r!5={x|5VxW6},

則2a-b=.

解析：借助數(shù)軸可知a=l,b=6,故2a—Z)=2—6=—4.

答案：一4

6.定義且遇陰，若知={1,2,3,4,5},N={2,3,6},則N-M=

解析：N-M={x\x^N,且遙M},：.N-M={6}.

答案：{6}

7.已知集合4={川1<*<3},集合8={x|2?iVxVl-,”}.

(1)當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，求AUB；

(2)若Aa8,求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

(3)若AC8=0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：(1)當(dāng)m=-1時(shí)，B={x|-2<x<2),

則4U5={x|-2<x<3}.

(2)由A63,知.2機(jī)<1,解得，”小一2,

即實(shí)數(shù)，”的取值范圍為(一8,—2].

(3)由an5=0,得

①若2，”21—機(jī)，即，”2；時(shí)，3=0,符合題意；

②若即/nV；時(shí)，

fA[A

在m<m<

需j3V或￥j)3V

得OW/wV；或。，即OW/nV；.

綜上知機(jī)20,即實(shí)數(shù)”?的取值范圍為[0,+8).

I?一選做題

8.若集合4={*舊一”+〃-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},求

。的值，使得0(An5)與ACC=0同時(shí)成立.

解：B={x|x2-5x+6=0}={2,3},

C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},，BnC={2}.

V0(ADB),ADC=0,.*.3SA.

將x=3代入方程x2-ax+a2-19=0,

得“2—3a—io=o,解得4=5或a=—2.

①若a=5,則A={xW—5X+6=0}={2,3},

此時(shí)anc={2}手0,不符合要求，舍去；

②若a=~2,則A={x|r2+2x-15=0}={-5,3},

滿足要求.

綜上可知，a的值為-2.

3.2全集與補(bǔ)集

喙踞㈤I儂曲課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P12?14,思考并完成以下問題

工"圣集的施面是什么？而什么符號(hào)表示？

2.補(bǔ)集的概念是什么？用什么符號(hào)表示?

3.補(bǔ)集有哪些性質(zhì)？

［新和初捉］

1.全集

在研究某些集合的時(shí)候，這些集合往往是某個(gè)給定集合的壬集，這個(gè)給定的集合叫作全

集.常用符號(hào)U表示.

［點(diǎn)睛|全集并不是固定不變的，它是根據(jù)具體問題來選擇的.例如，在研究數(shù)集時(shí)，

常常把實(shí)數(shù)集R看做全集；在立體幾何中，三維空間是全集，這時(shí)平面是全集的一個(gè)子集，

而在平面幾何中，整個(gè)平面可以看做全集.

2.補(bǔ)集

(1)設(shè)U是全集，4是U的一個(gè)子集(即A￡⑺，則由U中所有不屬于4的元素組成的集

合，叫作U中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作

(2)符號(hào)表示：=且遙A}.

(3)Venn圖表示：

(4)補(bǔ)集的性質(zhì)：

①AU")=區(qū)；②AD")=0.

I點(diǎn)睛I補(bǔ)集的定義可以解釋為：如果從全集U中取出4的全部元素，則所剩下的元素

組成的集合就是CuA.

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”.

(1)全集包含任何一個(gè)元素.()

(2)［晨7和［pC相等.()

答案：(1)X(2)X

2.已知全集。={1,23,4,5},A={1,3,5},則C以等于()

A.{1,3,5}B.{2}

C.{4}D.{2,4}

答案：D

3.若全集。=!<,集合4={x|x》l},貝!JCuA=.

答案：{x|xVl}

4.設(shè)全集。={2,3,4,5,6},Cu，={3,5},則4=,

答案：{2,4,6}

5.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3)，?={2,5},則等于

解析：V［7={1,23,4,5},B={2,5},.??Cu5={l,3,4}.

又4={1,2,3},...An(［〃)={l,2,3}n{l,3,4}={l,3}.

答案：{1,3}

字課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

題型一補(bǔ)集的運(yùn)算

［典例］(1)已知全集U={x|-lWxW4},4={x|-IWXWI},8={x［0<xW3},求「以，(C

t'B)nA；

(2)設(shè)1/=但-5這x<-2,或2<xW5,xGZ},A={M-15=0},”{-3力,4},求

Ct'B.

［解］(l)???U={x|—l〈xW4},A={x|-l^x^l},3={x|0<x<3},結(jié)合數(shù)軸(如圖)，

U

IA,二

.._

-101234%

可知CuA={x［l<xW4},

Cu3={x［3<xW4,或-1WXW0}.

結(jié)合數(shù)軸(如圖).

可知(1汨)nA={x|-lWx《0}.

⑵法一：在集合U中，

VxGZ,則x的值為-5,-4,-3,3,4,5,

???〃={-5,-4,一3,3,4,5}.

又4={*|*2—2X-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},

.??CrA={-5,-4,3,4},［必={-5,-4,5).

法二：可用Venn圖表示：

則［以={-5,-4,3,4},1(/5={-5,-4,5}.

⑴在露落看森合補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，如果所給集合是無限集，則而宿助于數(shù)輻，把已知集

合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解，這樣處理比較形象直觀，但是解

答過程中注意邊界問題.

(2)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合補(bǔ)集的定義

來求解，針對(duì)此類問題，在解答過程中常常借助于Venn圖求解.

［活學(xué)活用］

已知全集U,集合4={135,7,9},［必={2,4,6,8},［酒={1,4,6,8,9},求集合已

解：MVenn,如右圖所示，得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

???［由={1,4,6,8,9},

.?.8={2,3,5,7}.

題型二,交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算

［典例］設(shè)U={xGN|x<10},A={1,5,7,8},5={3,4,5,6,9},求ACB,AUB,(Ci/A)n

"),(C網(wǎng)U").

［解］t/={xGN|x<10}={0,1,23,4,5,6,7,8,9},A={1,5,7,8),8={3,4,5,6,9},

J.Ar3={1,5,7,8}n{3,4,5,6,9}={5},

AU5={15,7,8}U{3,4,5,6,9}={1,3,4,5,6,7,8,9}.

0uA={02,3,4,6,9},cu5={0,12,7,8},

?'?(CM)n(Ct,B)={0,2},

(CM)U(Cu5)={0,12,3,4,6,7,8,9}.

(1)解決集合的混合運(yùn)算時(shí)，一般先運(yùn)算括號(hào)內(nèi)的部分，如求［MAU8)時(shí)，先求出AU3,

再求補(bǔ)集.

(2)當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí)，如數(shù)集，可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合;

當(dāng)集合是用描述法表示時(shí)，如不等式形式表示的集合，則可借助數(shù)軸求解.

[活學(xué)活用]

已知U=R,A={x|x>0},B={x\x^-l},貝！由D([uA)]=()

A.0B.{x|xWO}

C.{x|x>-l}D.{x|x>0,或x/一l}

解析：選D???3={x|xW—1},.?」u5={x|x>-l}.

又：A={x|x>0},.*.An(Cid?)={x|x>0}.又：[uA={x|xWO}..?.3n([uA)={x|xW-

[An(Ct-B)]U[Bn(Ctl4)]={x|x>0,或xW—1}.

更型三利用補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)

[典例]⑴設(shè)全集5={1,2,3,4}?且A={xeS|x2-5x+m=0},若CsA={2,3},則m=

(2)設(shè)全集U=R,M={x|3a<xV2a+5},尸=但-2式X式1},若Mh產(chǎn)，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

[解](1)因?yàn)镾={1,2,3,4},]sA={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程同一5*+口=0的

兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得機(jī)=1X4=4.故填4.

(2)[uP={x|xV—2或x>l}.

,：M(uP,...分M=0,MW0,兩種情況討論.

3aV2〃+5,3aV2a+5,

①M(fèi)W0時(shí)，如圖可得，或,

2a+5W—2.3心1,

3a2a+5-213a2a+5x

7J

5，或§KaV5.

②M=0時(shí)，應(yīng)有3a,2a+50a25.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,—^]U[|,+°°).

(1)數(shù)軸與Venn圖有同樣的直觀功效，在數(shù)軸上可以直觀地表示數(shù)集，所以進(jìn)行集合的

交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，常借助數(shù)軸求解.

(2)不等式中的符號(hào)在補(bǔ)集中能否取到要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集.

[活學(xué)活用]

1.設(shè)U={0,l,2,3},A={xGt7|x2+/?x=O},若［u4={l,2},則實(shí)數(shù),〃=.

解析：?.,CuA={l,2},.?.A={0,3},，0,3是方程*2+m工=0的兩個(gè)根，.?.機(jī)=一3.

答案：一3

2.設(shè)全集U={1,2,/-2},4={1,x},求C以.

解：若x=2,則x2—2=2,U=［1,2,2},與集合中元素的互異性矛盾，故x=#2,從而x

=3-2,解得*=-1或x=2(舍去).故U={1,2,-1},A={1,-1),則1以={2}.

題型四補(bǔ)集思想的應(yīng)用

［典例］若集合4="|“必+3工+2=0}中至多有1個(gè)元素，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

I解］假設(shè)集合A中含有2個(gè)元素，即ax2+3x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

Q手0,o9

?解得°<石且0手0,則此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是且0手0.在全集U=R

J=9—8?>0,88

中，集合{aa<\且a豐())的補(bǔ)集是卜/或a=o}.所以滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

I，+°°)U{O}.

補(bǔ)集總惠南解庭藤一

當(dāng)從正面考慮情況較多，問題較復(fù)雜的時(shí)候，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想.其解題步驟為：

(1)否定已知條件，考慮反面問題；

(2)求解反面問題對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍；

(3)取反面問題對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍的補(bǔ)集.

一隔葬所

已知集合4=0^>/+1,或yVa},B=U|2WyW4},若4n8W0,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：因?yàn)?=0^>出+1,或yVa},8={y|2WyW4},我們不———

妨先考慮當(dāng)4門5=0時(shí)a的取值范圍，如圖所示.。24a2+l>

aW2,儲(chǔ)<2,

由《得〈

［a2+1^4,［a2小或aW一小，

故aW—或由WaW2.即4n3=0時(shí)，a的取值范圍為aW—或由/aW2,

故ACIBW。時(shí)，〃的取值范圍為或一巾V〃V小}.

也疑責(zé)都囁上于燈課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.設(shè)集合。={1,2,3,4,5},I={1,2},B={2,3,4).貝Ku(AU8)等于()

A.{2}B.{5}

C.{1,2,3,4}D.{1,3,4,5}

解析：選BVA={1,2},{2,3,4},U8={1,2?3,4}.又U={1,2,3,4,5},

B)={5}.

2.已知集合4={*€卬-2<*<6},8={xGR|xV2},則4U([R8)=()

A.{x|x<6}B.{x|-2<x<2}

C.{x|x>-2}D.{x|2=$x<6}

解析：選C由B={xCR|xV2},得[RB={X|X22}.又A={XWR|-2VXV6},所以A

U(CRB)={X|X>-2}.

3.若一={x|xVl},Q={x|x>—1},則()

A.P三QB.Q^P

C.[RPCQD.?！晔笫?/p>

解析：選C1?尸={x|xVl},.?.[RP={X|X21},

又。={習(xí)》>一1},:.UP^Q.

4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},4={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是()

A.AUBB.ACiB

C.(MAC8)D.Cu(AU5)

解析：選DVA={3,4,5),5={1,3,6}，41_15={1,3,4,5,6}又U={1,2,3,4,5,6,7}...[MAU

8)={2,7}.

5.已知4={x[x+l>0},B={-2,一1,0,1},貝！I([RA)C5=()

—-

A.{—291}B.{2}

C.{-1,0,1}D.{0,1}

解析：選A因?yàn)锳={x|x>-1},所以[RA={X|X這一1},所以([必)05={-2,—1}.

6.設(shè)全集為U,用集合A,B的交集、并集、補(bǔ)集符號(hào)表示圖中的陰影部分.

(1);(2).

答案：⑴Cu(AU5)(2)(Ct-A)nB

7.已知全集。={%僅2-3},集合4={力-3VxW4},則[以=.

解析：借助圖形可知[uA={x|x=-3或x>4}.

答案：{x|x=-3或x>4}

8.已知全集U={2,3,a2-a-l},A={2,3}>若[:必={1}，則實(shí)數(shù)a的值是

解析：V17={2,3,a2-a-l),A={2,3},Ci/A={l},

/.a2—a—1=1,Fpa2—a—2=0,...a=—1或a=2.

答案：一1或2

9.已知集合4={1|-2<丫<3},B={x\m<x<m+9},若（CRAW8=5.求實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍.

解：CRA={X|X^-2,或X23},由([\4)。8=8,得8￡[RA,，/n+9這-2,或機(jī)》

3.故m的取值范圍是{，〃依式一11,或機(jī)，3}.

10.已知全集U={x|xW4},集合A={x|-2<x<3},5={*|-3WxW2},求AC5,CM

UB,AnCtB,Cf(AUB).

解：如圖所示.VA={x|-2<x<3},B={x\-3^x^2},一；

17={X[X<4},二CuA={x[x<—2,或3<x<4},Ct；B={x|x<____,,j,，，，，口，,___.

-3-2-101234x

-3,或2VxW4},AL)B=[x\-3^x<3}.：.AC\B={x\-2<x^2],([u4)UB={x|x<2,

或3WxW4},An(CrB)={x|2<x<3},Ci/(AUB)={x|x<-3,或3近xW4}.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.設(shè)全集U=MUN={12,3,4,5},MD([:UM={2,4},則N=(

A.{1,2,3)B.{1,3,5)

C.{1,4,5}D.{2,3,4}

解析：選B由時(shí)（~1（［西）={2,4},可得集合N中不含元素2,4,集合M中含有元素2,4,

故2{1,3,5}.

2.已知全集U=Z,集合4={0,1},5={-1,0,1,2},則圖中陰影部分-----------

所表示的集合為（）

A.{-1,2}B.{-1,0}

C.{0,1}D.{1,2}

解析：選A圖中陰影部分表示的集合為（［”1）08,因?yàn)锳={0,l},8={-1,0,1,2},所

以（［演）1"13={-1,2}.

3.設(shè)S為全集，則下列幾種說法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

①若anB=0,則（CsA）u（CsB）=s；

②若AU5=S,則（CsA）n（Cs5）=0;

③若4UB=0,則4=8.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①如圖，（CsA）U（CsB）=S,正確.

②若4U8=S,則（匚⑷n（￡5）=Cs（AU5）=0,正確.（O

③若AU5=0,則4=5=0,正確.

4.已知M,N為集合/的非空真子集，且M,N不相等，若Nn（C,M）=0,則MUN

等于（）

A.M

D.0

解析：選A根據(jù)題意畫出Venn圖，由圖可知AfUN=M.

5.設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R,M={x\x<-2,或x>2},N={x|lWxW3},如圖所示，則陰

影部分所表示的集合為.

解析：'：M={x\x<-2,或x>2},N={x|lWx這3},

.,.MUN={x|xV—2,或x》l}.

二陰影部分所表示的集合為

Cu（MUM={x|-20Vl}.

答案：{x|—2WX<1}

6.某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)

都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為A.

解析：設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人數(shù)為X,畫出Venn圖得到方程15-x+x+10—x+8=30

今x=3,二喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為15—3=12（人）.

答案：12

7.已知集合4={*卜2+如+126=0}和8={x|x2-ax+5=0},滿足(鼠4)08={2},AC

(CRB)={4},求實(shí)數(shù)a,b的值.

解：由條件(鼠4)(18={2}和41~1(鼠8)={4},知268,但2c4;4SA,但4陣氏

22-2a+b=0,

將x=2和x=4分別代入B,A兩集合中的方程得，即

42+4“+125=0,

4-2a+b=0,

4+a+3A=0.

Q[2

解得a=],〃=一了即為所求.

[]蓋選做題

8.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R,A={gWxW3},B={x|x2+a<0}.

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求APIS和AU8；

(2)若([RA)CB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴,.,A={g?},

當(dāng)a=-4時(shí)，B={x\~2<x<2},

.,.An3={g?2},AU8={x|-2VxW3}.

（2）CRA={XX<1,或尤>3卜當(dāng)"）03=月時(shí)，8三［越.當(dāng)B=0,即心0時(shí)，滿足

B-CRA;當(dāng)B豐0,即aVO時(shí)，B—{x\—\j-a<x<-\］—a}.要使BGCRA,需知尸

解得一；WaVO.

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［一：，+8）.

"必窗階段質(zhì)量檢測（一）集合…

（時(shí)間120分鐘滿分150分）

一'選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.給出下列四個(gè)關(guān)系式：①V§GR;②ZGQ;③OG0;④0a{0}.其中正確的個(gè)數(shù)

是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B①④正確；對(duì)于②，Z與Q的關(guān)系是集合間的包含關(guān)系，不是元素與集合

的關(guān)系；對(duì)于③，。是不含任何元素的集合，故0陣。.選B.

2.已知17={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},貝!!（）

A.MDN={4,6}B.MUN=U

C.（［uMUM=UD.&MDN=N

解析：選B由。={2,3,4,5,6,7},"={3,4,5,7},N={2,4,5,6}知，M\JN=U,故選B.

3.已知集合知={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MDN,則尸的子集共有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)

C.6個(gè)D.8個(gè)

解析：選B易知P=MflN={l,3},故尸的子集共有22=4個(gè).

4.已知M={yCRly=|x|},^={x￡R|x=/n2},則下列關(guān)系中正確的是（）

A.MNB.M=N

C.MWND.NM

解析：選BV/W={jGR［y=|x|}={jeRb>^0）,

N={xGR|x=/n2}={xGR|xeo},；.M=N.

5.設(shè)全集U=R,集合A={x|x22},5={x|0WxV5},則集合（1以63=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x^2}