第1章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)2

第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

一、選擇題

題1.1:

答案：[B]

提不：明確Ar與?的區(qū)別

題1.2：

答案：[A]

題1.3：

答案：[D]

提示：A與規(guī)定的正方向相反的加速運(yùn)動(dòng)，B切向加速度,

C明確標(biāo)、矢量的關(guān)系，加速度是半

dt

題1.4：

答案：[C]

提示：△〃=￡—4，匕=時(shí),八=—而，AV=V2-V,,vt=-vi,V2=-v/'

題1.5：

答案：[D]

提示：t=0時(shí)，x=5；t=3時(shí),x=2得位移為-3m；

僅從式x=t?-4t+5=(52)2+1,拋物線的對(duì)稱軸為2,質(zhì)點(diǎn)

有往返

題1.6：

答案：[D]

提示：a=2t=—,v=^2tdt=戶一4,x-x=vdt,即可得D項(xiàng)

0\

22

題1.7：

答案：[D]

提示：喙2=2v乍1，理清V絕=v相對(duì)+v牽的關(guān)系

二、填空題

題1.8：

答案：勻速（直線），勻速率

題1.9：

答案：9/-15/2,0.6

2

提示：v=—=9z-i5r,t=0.6時(shí)，v=0

題1.10：

答案：(1)y=19-^-x2

(2)2i-4rj-4j

(3)4i+llj2i-6j3S

提示：⑴聯(lián)立消去t得：y=19」f,v=4i+?

y=19-2t22dtdt

(2)t=Is時(shí)，v=2i-4/j,a=—=-4j

dt

(3)t=2s時(shí)，代入r=xi+yj=2/i+(19-2『)j中得4i+llj

t=ls到t=2s,同樣代入r=r(/)可求得曠=21-6),

r和v垂直，即r.v=O,得t=3s

題1.11：

答案：Yim/s2

提示：。=電=t/(2x)=2u=?=12(加/S2)

dtdt

題1.12：

答案：\m!s

|,=i=bw/s,夕=1%龍=；/=[7,

提不：V=v0+jdt=1，v

o32

|Ar|=V27?=2肥

兀

題1.13：

答案：-5/i+(%/-gg『)j

提示：先對(duì)r=(%/-gr/2)j求導(dǎo)得，v,,=(%-g/)j與v=5i合成得

t1

v合=-5i+(v0-g/)j.?.r^=J\^dt=_5/i+(%/_5g/2)j

n乙

題1.14：

答案：8,64/

提示：%=R&=8Rt,4=8R=8,an=R(^]=64/

三、計(jì)算題

題1.15：

■'3

解：(1)—=3t/.jdu=j3rdz/.v=—r

dtoo2

T7ds32

3Cv=———t當(dāng)2出.-.5=-/3

dt22

(2)又，：S=R6：.0=-=-t3

R6

(3)當(dāng)a與半徑成45。角時(shí)，an=aT

Yr=3/.?./=v?s

R44

題1.16:

a=^-=-kv

解：⑴:dt，In—=-kt(*)

dt%

In2

當(dāng)時(shí)，ln--kt9

2k

kt

(2)由(*)式:v=vQe~

???幣=w，^dx=卜0?一"龍

aioo

：.x=^(\-e-kt)

第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

一、選擇題

題2.1：

答案：[C]

提示：A.錯(cuò)誤，如：圓周運(yùn)動(dòng)

B.錯(cuò)誤，p=wv,力與速度方向不一1定相同

D.后半句錯(cuò)誤，如：勻速圓周運(yùn)動(dòng)

題2.2：

答案：網(wǎng)

提示：y方向上做勻速運(yùn)動(dòng)：Sy=vyt=it

X方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)(初速度為0),a=-

m

It2”

匕=\adt=2r,Sx=\vxdt=—

0o'

.,.S=(i+2fj

題2.3：

答案：[B]

提示：受力如圖

貓

mg

設(shè)貓給桿子的力為F,由于相對(duì)于地面貓的高度不變

F'=mgF=F'桿受力Fi=Mg+F=(M+m)g

F,(M+m)g

a=—=------------

MM

題2.4：

答案：[D]

提示：

mg-T=maA

<IT=maB得%=gg

a.

*=9

2

￡小仔，通過分析滑輪，由于A向下走過S,B走過g）

?a\

??“廣甘

題2.5：

答案：[C]

提示：由題意，水平方向上動(dòng)量守恒，故

*%cos60。）=喘+⑼丫共

題2.6：

答案：[C]

提示：

分析條件得，只有在h高度時(shí)，向心力與重力分量相等

所以有――=mgcos。=v?=g（h-R）

R

由機(jī)械能守恒得（以地面為零勢(shì)能面）

21

—wv0=—mv+mgh=>v0=，2g〃+g（力-7?）

題2.7：

答案：[B]

提示：運(yùn)用動(dòng)量守恒與能量轉(zhuǎn)化

題2.8：

答案：[D]

由機(jī)械能守恒得mgh=；加%2=y=J2gh

vy=v0sin6

P=mgv=mgsin。J2gh

Gv

題2.9:

答案：[C]

題2.10：

答案：[B]

提不：受力如圖

T

由功能關(guān)系可知，設(shè)位移為x（以原長(zhǎng)時(shí)為原點(diǎn)）

L,2(F-umg)

rx-jLimgx=Ikxdx=>x=--------------

ok

彈性勢(shì)能與=；分=2（八廣g）2

二、填空題

題2.11:

答案：2mb

提?。簐=x'=2bta=v1=2b/.F=ma=2mb

題2.12：

答案：2kg4m/s2

提示：

y■■

8N-

04NX

1

由題意，ax-2mlsFx=4N

F=8Nm=一=2kg

a

F

a=-=4m/s2

vm

題2.13：

答案：rTU

2

提示：由題意，』=￡=信+?nv=j,adt=%s

w10505

當(dāng)t=2時(shí)，a=U

題2.14：

答案：180kg

提不：由動(dòng)量守恒,"1人S人=i%S相對(duì)_S人）=>"!船=180kg

題2.15：

答案：少+口

44

提示：各方向動(dòng)量守恒

題2.16：

答案：mv(i+j),0,-mgR

_

提不：由沖量定義得1=?^Pttvi-(-wvj)=wv(i+j)

由動(dòng)能定律得=0,所以%=0

印外=-mgR

題2.17：

答案：-12

_3

提不：w=^Fdx=\2J

-i

題2.18：

答案：mgh,Ifcc2,-G幽h=0,x=0,r=8相對(duì)值

2r

題2.19：

答案：等，2mg,g他

k。Vo

題2.20：

答案：Z“外力+X非保守力=°

三、計(jì)算題

題2.21：

解：(1)F^=yXg/=(L-X)y//g

I-/L

⑵醫(yī)-/)=g(l+〃)x-〃g

mL

(3)a-v—9jvt/v=jf—(1+//)x-//gdx9n=|“g(2一〃)

dxoi}_L.

3

題2.22：

解：（1）以擺車為系統(tǒng)，水平方向不受力，動(dòng)量守恒。設(shè)擺

車速度v(對(duì)地)、小車的速度為V(對(duì)地)。

…nMV

mv-MV=0v=-----

xxm

^vxdt=J("，dz設(shè)Ax1=卜"，AX2=^Vdt

00M0o

則A/Ar,=wAr,，根據(jù)位移公式：ArmW=A%?+△，嬴

(/-=AXj+AX2=(M+m)^x2/m

AX2=m(J----)/(Af+m)

(2)mv-MV=0

m^l=—mv2+—MV1

22

擺球速度v=^2Mgl/(M+m)

V=myl2gl/[M(<M^m)]

題2.23

解：K=Mg/X。,油灰碰撞前v=V

動(dòng)量守恒有：mv=（m+M）V

機(jī)械能守恒有（m,M,彈簧,地球?yàn)橄到y(tǒng)）:

；左(%+AX)2=g(〃2+河)/2+；依。2+(/%+

貝ljAv=±Xo+聯(lián)。加）

M+Gr

第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

一、選擇題

題3.1：

答案：[B]

提示：A錯(cuò)，M=rxF,合外力矩不等于合外力的力矩

C錯(cuò)，I=mr2,r是相對(duì)參考點(diǎn)的距禺，

D錯(cuò)，動(dòng)能E=fA啊/療=/1，

/=122

題3.2：

答案：[A]

提示：若繩的張力為T，TR=IJ3

若物體的加速度為a,

TR2=I/3R=laymg-T

h=—at

g+箴

I=mR瑞-g)

2h

題3.3：

答案：[D]

提示：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒陰%/=/°,/=；加〃

由于完全彈性碰撞，；加%2=?蘇，故D正確

題3.4：

答案：[C]

提不：射入點(diǎn)沿輪切向動(dòng)量守怛，故sin。=(m+m)v,

。=上，c正確

R

題3.5：

答案：回

提示：M=rxF,r和F在同一方向上，力矩為0,故角動(dòng)量

守恒

由定義知其動(dòng)量和動(dòng)能將改變

二、填空題

題3.6：

答案：B.+/代，,出生生

[2)M+2mM+2m

提示：人走到邊沿時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和人

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和

根據(jù)角動(dòng)量守恒定律

2

3=1①,In=^(M+m)R,/=(；加+〃，火2

轉(zhuǎn)臺(tái)受沖量矩等于轉(zhuǎn)盤角動(dòng)量的增量，即;必?2儂_陶

題3.7：

生安1,3gC0S。1..A1,.

口z31mgeosUQ,———9—lingsinu,—ItYigsinua

提不：JJM=VxF=~lmgsin-6^-^ImgcosO

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=故所苦警

根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，力矩做的功等于動(dòng)能的增

量，力矩的功為［；〃?g/coseg

題3.8：

答案：2兀RF,2d兀RFI

提示：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理rMde=-Ico2-0得/#=2兀RF

小2

角動(dòng)量的增量為1

題3.9：

答案：工〃外=。

題3.10：

答案：mvL=—MLra>+—mvL

32

提不：系統(tǒng)角動(dòng)量守怛，mvL=Ia)+—mvL,力為角速度

2

三、計(jì)算題

題3.11：

解：J=^MR2=0.615kg

mg-T=ma,TR=J(3,a=R(3

/.a=mgR2/(mR1+J)=5.06加/s2

因此(1)下落距離力」4=63.3加(2)張力

2

T=m(g-a)=379N

題3.12：

解：下落過程細(xì)桿機(jī)械能守恒(系統(tǒng)：桿與地球)。選m靜

止處水平面為零勢(shì)點(diǎn)

I113

Mgl(1+-sm30°)=-Ml2(o^+-Mg-l

細(xì)桿碰前瞬間角速度為：4=同萬

碰撞過程角動(dòng)量守恒：/MP=(河+加)/%(系統(tǒng)桿與小球)

co=-^—yl3g/2l

第4章狹義相對(duì)論

一、選擇題

題4.1：

答案：［D］見概念

題4.2：

答案：［B］

提示：運(yùn)動(dòng)質(zhì)量八一二=7二=舞，外力做功

1-0.360.8

W=Me2-mnc

2(1----)=0.25wc

0.8

題4.3:

答案：網(wǎng)

提示：在K系中X軸方向上，正方形邊長(zhǎng)為a,K，系觀察K系

X軸方向正方形邊長(zhǎng)°，=a=0.6a,則從K，

系測(cè)得面積為Q.6axa=0.6a2

題4.4：

答案：［A］

提示：選飛船為一參考系，因?yàn)檎婵罩泄馑貱對(duì)任何慣性參

考系都是常數(shù)，由于飛船勻速運(yùn)動(dòng)，是慣性系。則飛船

固有長(zhǎng)度為必/

題4.5：

答案：[A]

22222

提木：E.=me-moc=3moc-moc-2moc>=?

E翰moc

題4.6：

答案：[C]

提示:由時(shí)間的相對(duì)性，△t=—_■-=3.48x10%,長(zhǎng)度為

1

0.998x3xlO8x3.48xlO_5m=l.O4xlO4w

題4.7：

答案：[D]

題4.8：

答案：[D]

提不：〃和=%+"~，%=%=2xl0%/s,故"相=2.77xl0*/n/s

1+等

題4.9:

答案：[A]

提示：E=(m-m^c1;m-106Afer廠所一/痂

kmQ=-----------Ek=AMeV;故

c

v=0.27c

二、填空題

題4.10：

答案：L=L0—

提示：設(shè)痕跡之間距離為小由公式A。=—=（4為靜長(zhǎng)度）。

1,〃、2

則車上觀察者測(cè)

題4.11：

答案：⑴⑵4

提不：（1）相對(duì)論質(zhì)量和相對(duì)論動(dòng)量：m=-^-,

非相對(duì)論卜，P}=mov,

/\2?.2/11、2

\L)Ek-mc~=mQc，m=.——,Ek=m。。((=-1)=

2

題4.12：

答案：4

22

坦二L22L2Ekme-m(}Cc.

證不：Ek=me=mQc，E^=tnQc，——=--------封一=3=>/%=4加0

題4.13：

答案：條

2

提示：L=Jl-(-)L(),L=1m,4=0.5加，解得v=

Vc2

題4.14：

2

答案：(77~1)WOC

提示：

A/=-7^=,T=—A/,貝ljn=1-,m=i").=nm,

n(]

222

Ek=me-mQc=(n-l)woc

題4.15：

答案：3.73m

提?。篖=Ls

0，L0=5m9v=2x10m

3.7377?

3

題4.16：

答案：6.7x10,加

提示:"=加n7=3即―；=,=3u=—c，Ax，—ubt—\/~5c

3

題4.17：

答案：4

%

,m,m

提示：L，=LJ嗎2,n

三、計(jì)算題

題4.18：

(x'-x,')+u(t'-t,')]=^^-(1+-)=1.2xiol2w

解：(1)航程%2-石=“22

,,n3xio510.8,

(2)時(shí)間=((…H/g吁06(Jc)-5x1。

f1.2X10'2C,s8,

(3)航速-=------=2.4x10mls

第5章機(jī)械振動(dòng)

一、選擇題

題5.1

答案：B

題5.2

答案：C

題5.3

答案：C

二、填空題

題5.4

答案…第

題5.5：

答案：0.02m

題5.6：

答案:/cos(^f-$)

三、計(jì)算題

5.7一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期丁=

2s.當(dāng)t=0時(shí)，物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動(dòng).求:

(1)此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；

(2)"加時(shí)物體的位置、速度和加速度；

(3)物體從x=-0.06m,向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平

衡位置所需的時(shí)間.

［解答］(1)設(shè)物體的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為x=Acos(3t+w),其

中A=0.12m,角頻率3=2TI/T=R.

當(dāng)t=0時(shí)，x=0.06m,所以cos0=O.5,因止匕卬=±兀肘.

物體的速度為v=dx/dt=-coAsm(oiJt+<p).

當(dāng)t=0時(shí)，i/=-gAsing由于v>0,所以singvO,因止匕：(p

=-n/3.

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為：x=0.12cos(nt-n^).

(2)當(dāng)t=TA時(shí)物體的位置為;x=0.12cos(n/2-兀⑶=

0.12cosn/6=0.104(m).

速度為;v=-TL4sin(n/2-R/3)=-0.12nsinn^=-0.188(m?s').

力口速度為：a=dv/dt=~(JJ2Acos(u)t+(p)=-n2/Acos(nt-TI/3)=

-0.12n2cosn/6=-1.03(m-s-2).

(3)方法一：求時(shí)間差.當(dāng)x=-0.06m時(shí)，可得cos(nti-

兀3)=-0.5,

因止匕nti-n/3=±2TI/3.

由于物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，即i/<0,所以sin(nti-兀⑶>0,

因此叫-n/3=2K/3,得ti=Is.

當(dāng)物體從x=-0.06m處第一次回到平衡位置時(shí)，x=0,v>

0,因此C0S(Tlt2-兀方)=0,

可得-兀3=-n/2或3n/2等.由于匕>0，所以-兀3

=3n/2,

可得t2=ll/6=1.83(s).

所需要的時(shí)間為：Atr-h=0.83(s).

方法二：反向運(yùn)動(dòng).物體從x=-0.06m,向x軸負(fù)方向運(yùn)

動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間就是它從x=0.06m,即從

起點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需的時(shí)間.在

平衡位置時(shí)，x=0,i/<0,因此cosg-兀⑶=0,可得nt

-n/3=-n./2,解得t=5/6=0.83(s).

［注意］根據(jù)振動(dòng)方程x=Acos(cdt+s)，當(dāng)t=0時(shí)，可得3=

±arccos(Xo/4),(-n<cp<=n),

初位相的取值由速度決定.

由于v=dx/dt=-3Asin(3t+(p)，當(dāng)t=0時(shí)，v=-a)As'm(p,

當(dāng)i/>0時(shí)，sin(p<0,因此

(P=-arccos(xoZA)；

當(dāng)v<0時(shí)，sin(p>0,因此s=arccos(XoZ4)R/3.

可見：當(dāng)速度大于零時(shí)，初位相取負(fù)值；當(dāng)速度小于零時(shí),

初位相取正值.如果速度等于零，當(dāng)初位置x0=A時(shí)，(p=0；

當(dāng)初位置Xo=-/A時(shí)，(p=n.

5.8質(zhì)量為10xl03kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按

2萬

x=0.1cos(8R+5)的規(guī)律作振動(dòng)，式中t以秒⑸計(jì)，X以米(m)

計(jì).求：

(1)振動(dòng)的圓頻率、周期、振幅、

(2)振動(dòng)的速度、加速度的最大

(3)最大回復(fù)力、振動(dòng)能量、平

動(dòng)能和平均勢(shì)能；

(4)畫出這振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，

在圖上指明t為1,2,10s等各時(shí)刻的

量位置.

［解答］(1)比較簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程：x=Acos(萬+0,

可知圓頻率為：(J=8n,周期T=2n/6J=lA=O.25(s),振幅A=

0.1(m),初位相0=2n/3.

1

(2)速度的最大值為：vm=u)A=0.8n=2.51(m-s)；

題5.8解答圖

加速度的最大值為：dm=3%=6.4n2=63.2(m-s-2).

(3)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為：k=mco2,最大回復(fù)力為:/=依=

mw2^=0,632(N)；

振動(dòng)能量為:E=kT/2=mu)2A2/2=3.16xlO'2(J),

平均動(dòng)能和平均勢(shì)能為：瓦=以=k位旨=mu)2A2/^=

1.58X102(J).

(4)如圖所示，當(dāng)t為1,2,10s等時(shí)刻時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量

的位置是相同的.

修5.9如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈以速

mv"k

o->翦柳州神卜？度v=103m.『水平射入木塊，并陷入木塊

7777777777777777777777777777777777777^..

圖5.9中，使彈簧壓縮而作簡(jiǎn)諧振動(dòng).設(shè)彈簧的

倔強(qiáng)系數(shù)

/c=8xlO3N-m1,木塊的質(zhì)量為4.99kg,不計(jì)桌面摩擦，試求:

(1)振動(dòng)的振幅；

(2)振動(dòng)方程.

［解答］(1)子彈射入木塊時(shí)，由于時(shí)間很短，木塊還來

不及運(yùn)動(dòng)，彈簧沒有被壓縮，它們的動(dòng)量守恒，即：mv=(m

+M)VQ.

1

解得子彈射入后的速度為：|/0=mv/(m+M)=2(m-s),這也

是它們振動(dòng)的初速度.

子彈和木塊壓縮彈簧的過程機(jī)械能守恒，可得：(m+M)

v^/2=kA2/2,

Im+M

所以振幅為：k=5xl02(m).

(2)振動(dòng)的圓頻率為："4加+〃=40(radCi).

取木塊靜止的位置為原點(diǎn)、向右的方向?yàn)槲灰苮的正方向，

振動(dòng)方程可設(shè)為：x=Acos(u)t+(p).

當(dāng)t=0時(shí)，x=0,可得：(p=±TI/2；

由于速度為正，所以取負(fù)的初位相，因此振動(dòng)方程為：x=

5xl02cos(40t-n/2).

5.10—?jiǎng)蛸|(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為m,半徑為R,繞通過環(huán)上一點(diǎn)

而與環(huán)平面垂直的水平光滑軸在鉛垂面內(nèi)小

幅度擺動(dòng)，求擺動(dòng)的周期.

［解答］通過質(zhì)心垂直環(huán)面有一個(gè)軸，環(huán)繞軸

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：/c=mR2.

根據(jù)平行軸定理，環(huán)繞過O點(diǎn)的平行軸的動(dòng)

慣量為

22

l=lc+mR=2mR.

當(dāng)環(huán)偏離平衡位置時(shí)，重力的力矩為：M=mgRsi^,

方向與角度。增加的方向相反.

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：=

即/#+，3sin*0,

題5.10解答圖

由于環(huán)做小幅度擺動(dòng)，所以sin。g9,可得微分方程:

堂+$=0

drI.

O=回

擺動(dòng)的圓頻率為：VI，

周期為：'=^=2"舄=2兀卷.

5.11質(zhì)量為0.25kg的物體，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng),

倔強(qiáng)系數(shù)k=25N?m-i,如果開始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.6J,和動(dòng)

能。2J,求：(1)振幅；(2)位移多大時(shí),動(dòng)能恰等于勢(shì)能?

(3)經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度.

［解答］物體的總能量為：E=Ek+Ep=0.8。).

(1)根據(jù)能量公式E=kA2/2,得振幅為：A=^2E7k=

0.253(m).

(2)當(dāng)動(dòng)能等于勢(shì)能時(shí)，即&=%，由于E=&+Ep，可

得:E=2EP,

即3kH=2寸,解得：x=±@/2=±o,"9(m).

(3)再根據(jù)能量公式￡=加/］在，得物體經(jīng)過平衡位置的

速度為：

-1

v?,=±V2￡/w=±2.53(m-s).

5.12兩個(gè)頻率和振幅都相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x-t曲線如圖所

示，求：

(1)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差；

(2)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的振

動(dòng)方程.

［解答］(1)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為:

A=5(cm),

周期為：丁=4⑸,圓頻率為：O)=2K/T=

n/2,

它們的振動(dòng)方程分別為：

Xi=Acosu)t=5cosnt/2,

x2=Asinivt=5sinnt/2=5cos(n/2-nt/2)

即x2=5cos(nt/2-TI/2).

位相差為：^(p=(p2-(Pi=-n/2.

(2)由于x=xi+X2=5cosnt/2+5sirmt/2

=5(cosnt/2-cosn/4+5sinnt/2-sinn/4)/sinn/4

合振動(dòng)方程為：I&c。吟嚀(cm).

3

5.13已知兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)如下：*=°,05cos(10/+丁)，

x2=0.06cos(10z+^

5?

(1)求它們的合成振動(dòng)的振幅和初位相；

(2)另有一同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)X3=0.07cos(10t+S)，問0

為何值時(shí)，Xi+X3的振幅為最大？(P為何值時(shí)，X2+X3的振幅

為最??？

(3)用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法表示(1)和(2)兩種情況下的

結(jié)果.x以米計(jì)?，t以秒計(jì).

［解答］(1)根據(jù)公式，合振動(dòng)的振幅為：

4=+團(tuán)+244cos3-/)=8.92xl0-2(m).

A.sin(0,+4sin(p?

(p=arctan———-——=———

初位相為：4cos0+4cos02=68.22°.

(2)要使Xi+X3的振幅最大，貝|J：COS(0-01)=1,因此

0-01=0,所以：=(pi=0.6n.

要使X2+X3的振幅最小,則C0S((p-(p2)=-1?因此

=n,所以0=n+S2=L2n.

------、、、（3）如圖所示.

題5.13解答圖

5.14將頻率為384Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一待測(cè)頻率的音

心?I.叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz,在待測(cè)音叉

|乜㈡1/1的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求

"2%”待測(cè)音叉的固有頻率.

［解答］標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為v0=384(Hz),

拍頻為A”3.0(Hz),

待測(cè)音叉的固有頻率可能是v1=1/o-Ai/=381(Hz),

也可能是I/2=I/O+A/=387(HZ).

在待測(cè)音叉上加一小塊物體時(shí)，相當(dāng)于彈簧振子增加了

質(zhì)量，由于d=k/m,可知其頻率將減小.如果待測(cè)音叉的

固有頻率力,加一小塊物體后，其頻率吟將更低，與標(biāo)準(zhǔn)

音叉的拍頻將增加；實(shí)際上拍頻是減小的，所以待測(cè)音叉的

固有頻率力，即387Hz.

5.15三個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為

冗45%

玉=0.08cos(314/+-)x=0.08cos(314/+-)x=0.08cos(314/+一)

6122,36

求：(1)合振動(dòng)的圓頻率、振幅、初相及振動(dòng)表達(dá)式；

(2)合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到、=彳/所需最短時(shí)間(八

為合振動(dòng)振幅).

［解答］合振動(dòng)的圓頻率為：w=314=100n(rad-s1).

設(shè)4=0.08,根據(jù)公式得:

Ax=A1COSW1+A2cos02+A3cos03=0,

Ay=Aisingi+A2s\n(p2+A3s'\r}(p3=2A0=0.16(m),

振幅為：/==0.16(m),初位相為：(p=arctan(/Ay//Ax)

=n/2.

合振動(dòng)的方程為：x=0.16cos(100nt+n/2).

(2)當(dāng)x=Vl4/2時(shí)，可得：cos(100R+乃/2)=0/2,

解得：IOOTU+兀/2=兀4或7兀4.

由于t>0,所以只能取第二個(gè)解，可得所需最短時(shí)間為t=

0.0125s.

第6章機(jī)械波

一、選擇題

題6.1

答案：D

題6.2

答案：A

題6.3

答案：A

題6.4

答案：C

二、填空題

題6.5

答案：相同，相同，2冗巴

題6.6

答案：冗M(jìn)，x=0.02cos(加力4)(SI).

題6.7

答案：孫2/4/g產(chǎn)

三、計(jì)算題

6.8已知一波的波動(dòng)方程為y=5xl0-2sin(10nt-0.6x)(m).

(1)求波長(zhǎng)、頻率、波速及傳

播方向；

(2)說明x=0時(shí)波動(dòng)方程的

意義，并作圖表示.

［解答］(1)與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程

Ws所方)比較得：25=。6,

因此波長(zhǎng)為：A=10.47(m)；圓頻

率為：(A)=10n,

頻率為：v=g/2n=5(Hz)；波速為:

u=A/T=Av=52.36(m-s^).

且傳播方陲瓶闔軸正方向.

(2)當(dāng)x=0時(shí)波動(dòng)方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程:

y=5xlO2sinlOnt=5xl02cos(10nt-TI/2),

振動(dòng)曲線如圖.

6.9有一沿x軸正向傳播的平面波，其波速為u=lm-s：,

波長(zhǎng)0.04m,振幅A=0.03m.若以坐標(biāo)原點(diǎn)恰在平衡位

置而向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為開始時(shí)刻，試求：

(1)此平面波的波動(dòng)方程；

(2)與波源相距x=0.01m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，該點(diǎn)初相

是多少？

［解答］(1)設(shè)原點(diǎn)的振動(dòng)方程為："=Acos(gt+w),其中

A=0.03m.

由于(7=4/丁，所以質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為：T=A/u=0.04(s),

圓頻率為：aj=2n/T=50n.

當(dāng)t=0時(shí)，出=0,因此cos(p=0；由于質(zhì)點(diǎn)速度小于零,

所以9=兀/2.

原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：

y0=0.03cos(50nt+n/2),

平面波的波動(dòng)方程為：

YTT

y=0.03cos［50乃。一一)+-］八八-me/\人、

u2=0.03cos［50n(t-x)+TI/2).

(2)與波源相距x=0.01m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：

y=0.03cos50nt.

該點(diǎn)初相(p=0.

6.10如圖所示為一列沿x負(fù)向

傳播的平面諧波在t=%時(shí)的波

形圖，振幅小波長(zhǎng)久以及周期了

均已知.

(1)方出該波的波動(dòng)方程；

(2)畫出x=處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)

曲線；

(3)圖中波線上a和b兩點(diǎn)的

位相差仇-Sb為多少？

［解答］(1)設(shè)此波的波動(dòng)方程

為:

fx

^^^cos[2^(-+-)+^>]

1A,,

當(dāng)t二TA時(shí)的波形方程為：

x兀.x

y=Acos(2^-_+/+—)=-Asin(2萬二+e)

A2A.

在x=0處y=0,因止匕得sir>w=O,

解得cp=0或n.

而在x=〃2處y=-4所以s=0.

fx

因此波動(dòng)方程為「"c°s2附+R.

(2)在x=A/2處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：

\\y=Acos(2^-^；+7V)=-ACOSIny

\曲線如圖所示.’

-\\(3)Xa=力4處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)

9%處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

\yh-Acos(2]/+2乃)

'波線上。和b兩點(diǎn)的位相差

題6.10圖

(Pa-(Pb=-3n/2.

6.11在波的傳播路程上有A和B兩點(diǎn)，都做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，B

點(diǎn)的位相比A點(diǎn)落后n/6,已知A和8之間的距離為2.0cm,

振動(dòng)周期為2.0s.求波速u和波長(zhǎng)九

[解答]設(shè)波動(dòng)方程為：蚱衣°吐("$+叫

那么A和B兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為：

tX

y=Acos\17i(---^)+0]

A1/t,

tx

yB=Acos[2%(-------)+(p]

兩點(diǎn)之間的位相差為：一2喘-(-2啜)=后，

由于XB-XA=0.02m,所以波長(zhǎng)為：A=0.24(m).

波速為：u=A/T=0.12(m-s1).

6.12一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m沿x軸負(fù)方向傳

播.已知在傳播路徑上的某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為y=3cos4nt.

I：8m45m、9m(1)如以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

7一片―；-----2一：寫出波動(dòng)方程；

題6,2圖(2)如以距A點(diǎn)5m處的B

點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；

(3)寫出傳播方向上8,C,。點(diǎn)的振動(dòng)方程.

［解答］(1)以八點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為

X7TX

y=3cos4乃(7+—)=3cos(4加H---)

u5.

(2)以8點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動(dòng)方程為

—Axy/Y*

y=3cos44?H-----)=3cos(4^+—-兀)

u5.

(3)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則X8=-5m、Xc=-13m>xD=9m,

各點(diǎn)的振動(dòng)方程為

y=3cos4)(7+—)=3COS(4R-))

Hu，

y=3cos41(/+-)=3cos(4加-—)

cu5,

y=3cos4〃。+—)=3COS(4R+—)

Du5.

［注意］以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，也能求出各點(diǎn)

的振動(dòng)方程.

6.13設(shè)空氣中聲速為330m?『.一列火車以30m?5的速

度行駛，機(jī)車上汽笛的頻率為600Hz.一靜止的觀察者在機(jī)

車的正前方和機(jī)車駛過其身后所聽到的頻率分別是多少？

如果觀察者以速度10ms：與這列火車相向運(yùn)動(dòng)，在上述兩個(gè)

位置，他聽到的聲音頻率分別是多少？

［解答］取聲速的方向?yàn)檎?，多譜勒頻率公式可統(tǒng)一表示為

其中Vs表示聲源的頻率，U表示聲速，如表示觀察者的速度,

Us表示聲源的速度，人表示觀察者接收的頻率.

(1)當(dāng)觀察者靜止時(shí)，如=0,火車駛來時(shí)其速度方向與

1

聲速方向相同，us=30m-s,觀察者聽到的頻率為

VR=—^―%=330600

…s330-30=660(HZ).

火車駛?cè)r(shí)其速度方向與聲速方向相反，Us=-30mgi,觀

察者聽到的頻率為

vR=---------八=--------600

〃-與330+30=550(HZ).

(2)當(dāng)觀察者與火車靠近時(shí)，觀察者的速度方向與聲速

1

相反，UB=-lOm-s；火車速度方向與聲速方向相同，Us=

SOm-s1,觀察者聽到的頻率為

U-UB330+10

力=%600

u-us330-30=680(Hz).

當(dāng)觀察者與火車遠(yuǎn)離時(shí)，觀察者的速度方向與聲速相同,

1

uB=lOm-s；火車速度方向與聲速方向相反，us=-30m-sS

觀察者聽到的頻率為

u-uB

%受現(xiàn)。。

u—us330+30=533(Hz).

［注意］這類題目涉及聲速、聲源的速度和觀察者的速度,

規(guī)定方向之后將公式統(tǒng)一起來，很容易判別速度方向，給計(jì)

算帶來了方便.

6.141與S2為兩相干波源，相距1A個(gè)波長(zhǎng)，工比S2的

位相超前問工、S2連線上在工外側(cè)各點(diǎn)的合成波的振

幅如何？在S2外側(cè)各點(diǎn)的振幅如何？

x小入曲：卜X［解答］如圖所不，設(shè)S1在其左

r一；—「?jìng)?cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為

時(shí)向M=/cos［2》(了+彳)+0

題6.14圖T2,

那么S2在Si左側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為

A

y2=cos[2萬(4+^―--)+°-J]=Ncos[2萬(《+：)+夕一乃]

1A2.1A>,

由于兩波源在任意點(diǎn)X產(chǎn)生振動(dòng)反相，所以合振幅為零.

Si在S2右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為

tX

凹=^cos[2^-(---)+^]

1/t,

那么S2在其右側(cè)產(chǎn)生的波的波動(dòng)方程為

%=Zcos[2嗎-X二；勺+°—g=〃cos[2*—.)+勿

由于兩波源在任意點(diǎn)X產(chǎn)生振動(dòng)同相，所以合振幅為單一振

動(dòng)的兩倍.

6.15設(shè)入射波的表達(dá)式為

IX

弘=Zcos2)(以+丁)

I4,

在x=0處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一自由端，求：

(1)反射波的表達(dá)式；

(2)合成駐波的表達(dá)式.

[解答](1)由于反射點(diǎn)為自由端，所以沒有半波損失,

反射波的波動(dòng)方程為

tX

歹2=cos2^-(—-)

1/I*.

(2)合成波為丫=%+力，將三角函數(shù)展開得

2萬2萬

y=2/cos——XC0S

AT\這是駐波的方程.

第7章氣體動(dòng)理論

一、選擇題

題7.1

答案：B

解：根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程尸=成人有

〃=￡="=a且=乙=出二=2112=4%

kT%PiT\T\"1T2

題7.2

答案：A

解：根據(jù)理想氣體的內(nèi)能定義，有

E^n-kT(1)

2

根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程，有

P=nkT(2)

由(1)、(2)得:

E=/kT=Lp

22

因?yàn)閕'="=53<is，所以

題7.3

答案：C

解：根據(jù)平均速率的定義，有

_f2Nvf(y)du

v=--------=-------

'J”(o)du["(o)du

題7.4

答案：B

解：根據(jù)最概然速率公式

知，當(dāng)溫度升高時(shí)，%增大，由于要保持速率分布曲線

F面所圍的面積恒等于1,所以曲線將變得平坦些，故而/儲(chǔ))

將減小.所以%>OpB,f(VpA)<f(UpB)*

題7.5

答案：D

題7.6

答案：A

解：根據(jù)三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均速率的公式

知，當(dāng)最概然速率相等時(shí)，平均速率和方均根速率必然相

等.

二、填空題

題7.7

答案：

(1)溫度為T的平衡態(tài)下,一個(gè)分子每個(gè)自由度上分配的

平均能量

(2)溫度為T的平衡態(tài)下，理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

(3)溫度為T的平衡態(tài)下，理想氣體分子的平均能量

(4)溫度為T的平衡態(tài)下，Imol理想氣體的內(nèi)能

(5)溫度為T的平衡態(tài)下，vmol理想氣體的內(nèi)能

(6)速率在。附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比

(7)速率在。附近八速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比

(8)速率在q?％區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比

(9)速率在0?8區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比，它恒等

于1,是速率分布函數(shù)的歸一化條件

(10)速率在①?％區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

(11)分子的平均速率

(12)分子速率平方的平均值

說明：欲正確解答本題必須要準(zhǔn)確理解能均分定理和速率

分布函數(shù)/⑼的定義式及定義式中的各量的含義.另外，也

應(yīng)將上面各式與速率分布曲線聯(lián)系起來進(jìn)行理解，使我們能

更好地“看懂”速率分布曲線.

題7.8

答案：5:3；10:3

解：根據(jù)理想氣體的內(nèi)能定義，有

單位體積的內(nèi)能E,=ngkT(1)

單位質(zhì)量的內(nèi)能(2)

M2

根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程，有

P=nkT(3)

由(1)?(3)得：

E.1=n—2kT=—2p

由于%

=5,%,=3，Mh2=2,M/fc4,所以單位體積的內(nèi)能之比

為5:3；單位質(zhì)量的內(nèi)能之比為10:3

題"9@="=8

答案：210K；240KJ7

解：根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程習(xí)題7.9圖

PV=^LRT,有

M

,PVM小MN,T°JTN,MOI-MN304

MRT(、M()TM()T()32

v*2VnjMiV2

所以和=240(K),丁電=210(/C)

三、計(jì)算題

題7.10

解：根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程，混合前有：

PV='町(1)