高中數(shù)學(xué)3（必修）古典概型 教學(xué)設(shè)計

古典概型

一、教材分析

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是

在隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的.古典

概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)

重要的地位.

學(xué)好古典概型可以為其他概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念,

有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容

和學(xué)生的實際水平,通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限

性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性,觀察類比各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型

的概率計算公式,體現(xiàn)了化歸的重要思想,掌握列舉法,學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類

討論的思想解決概率的計算問題.

概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，加強與實際生活

的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象.適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流

的機會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例.使得學(xué)生

在體會概率意義的同時,感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學(xué)

態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神.

二、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：

（1）正確理解古典概型的兩大特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只

有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

（2）掌握古典概型的概率計算公式：P（A）=譬鷲■找數(shù)

總的基本事件個數(shù)

2、過程與方法：

（1）通過對現(xiàn)實生活中具體的概率問題的探究，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的方

法，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；

（2）通過模擬試驗，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的

良好習(xí)慣。

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過數(shù)學(xué)與探究活動，體會理論來源于實踐并應(yīng)用于實踐的辯證唯物主義觀

點.

三、重點難點

教學(xué)重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率.

教學(xué)難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型,分清在一個古典概型中某隨

機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù).

四、課時安排

1課時

五、教學(xué)設(shè)計

（-）導(dǎo)入新課

思路1

⑴擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個，即“正面朝上”或“反面朝上”，它們

都是隨機事件.

（2）一個盒子中有10個完全相同的球,分別標(biāo)以號碼1,2,3,10,從中任取一球,

只有10種不同的結(jié)果，即標(biāo)號為1,2,3,…，10.

思考討論根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？

為此我們學(xué)習(xí)古典概型,教師板書課題.

思路2

將撲克牌（52張）反扣在桌上，先從中任意抽取一張,那么抽到的牌為紅心

的概率有多大？是否一定要進行大量的重復(fù)試驗，用“出現(xiàn)紅心”這一事件的頻

率估計概率？這樣工作量較大且不夠準確.有更好的解決方法嗎？把“抽到紅心”

記為事件B,那么事件B相當(dāng)于“抽到紅心1”，“抽到紅心2”，…，“抽到紅心K”

這13種情況,而同樣抽到其他牌的共有39種情況；由于是任意抽取的，可以認為

這52種情況的可能性是相等的.所以，當(dāng)出現(xiàn)紅心時“抽到紅心1”，“抽到紅心

2"，…，“抽到紅心K”這13種情形之一時,事件B就發(fā)生，于是P（B）=—=i.

524

為此我們學(xué)習(xí)古典概型.

（~）推進新課、新知探究、提出問題

試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”

的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成20次（最好是整十?dāng)?shù)），最后由學(xué)科代表匯

總；

試驗二:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄“1點”“2點”“3點”“4點”“5

點”和“6點”的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成60次（最好是整十?dāng)?shù)），最

后由學(xué)科代表匯總.

（1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好？為什么？

（2）根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述兩個模擬試驗的每個結(jié)果之間都有什么特點？

（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特點？

（4）什么是古典概型？它具有什么特點？

（5）對于古典概型，應(yīng)怎樣計算事件的概率？

活動：學(xué)生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果，并與同學(xué)交流活動感受，

討論可能出現(xiàn)的情況,師生共同匯總方法、結(jié)果和感受.

討論結(jié)果：（1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率不好，因為需要

進行大量的試驗，同時我們只是把隨機事件出現(xiàn)的頻率近似地認為隨機事件的概

率,存在一定的誤差.

（2）上述試驗一的兩個結(jié)果是“正面朝上”和“反面朝上”，它們都是隨機事件，

出現(xiàn)的概率是相等的，都是0.5.上述試驗二的6個結(jié)果是“1點”“2點”“3點”

“4點”“5點”和“6點”，它們也都是隨機事件，出現(xiàn)的概率是相等的，都是

6

（3）根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述試驗一的兩個結(jié)果“正面朝上”和“反面朝上”，它

們都是隨機事件；上述試驗二的6個結(jié)果“1點”“2點:”“3點”“4點”“5點”

和“6點”，它們都是隨機事件,像這類隨機事件我們稱為基本事件（elementary

event）；它是試驗的每一個可能結(jié)果.

基本事件具有如下的兩個特點：

①任何兩個基本事件是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

（4）在一個試驗中如果

①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性）

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性）

我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型（classicalmodelsof

probability），簡稱古典概型.

向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你

因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限

的，雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第

一個條件.

如下圖,某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊,這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中

10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán).你認為這是古典概型嗎？為什么？

不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個,而命中10環(huán)、命中9

環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條

件.

（5）古典概型,隨機事件的概率計算

對于實驗一中，出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等,即

P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）

由概率的加法公式,得

P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=p（必然事件）=1.

因此

P（“正面朝上”）=p（“反面朝上”）=-.

2

即P（“出現(xiàn)正面朝上"）='="出現(xiàn)正面朝上"所包含的基本事件的個數(shù)

2基本事件的總數(shù)

試驗二中，出現(xiàn)各個點的概率相等,即

P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）.

反復(fù)利用概率的加法公式,我們有P（“1點”）+P（“2點”）+P（“3點”）+P

（“4點”）+P（“5點”）+P（“6點”）=P（必然事件）=1.

所以P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6

占”）=1

6

進一步地,利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率,例如，

P（“出現(xiàn)偶數(shù)點"）=P（“2點”）+P（“4點”）+P（“6點”）=1+1+1=2=1.

66662

即P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）二二出現(xiàn)偶數(shù)點;曹鬻梵事件的個數(shù).

6基本事件的息數(shù)

因此根據(jù)上述兩則模擬試驗,可以概括總結(jié)出，古典概型計算任何事件的概率計

算公式為：

D,八、A所包含的基本事件的個數(shù)

基本事件的總數(shù)

在使用古典概型的概率公式時,應(yīng)該注意：

①要判斷該概率模型是不是古典概型；

②要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù).

下面我們看它們的應(yīng)用.

（三）應(yīng)用示例

思路1

例1從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中,有哪些基本事件？

活動：師生交流或討論,我們可以按照字典排序的順序,把所有可能的結(jié)果都

列出來.

ac——d

解：基本事件共有6個：

A={a,b),B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d),F={c,d}.

點評：一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果,畫樹狀圖是列舉法的基本方

法.

分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉.

變式訓(xùn)練

用不同的顏色給下圖中的3個矩形隨機地涂色,每個矩形只涂一種顏色,求:

(1)3個矩形顏色都相同的概率；

(2)3個矩形顏色都不同的概率.

分析：本題中基本事件比較多，為了更清楚地枚舉出所有的基本事件,可以畫

圖枚舉如下：(樹:形圖)

-ERS

區(qū)

一

矩形1矩形2矩形3矩形1矩形2矩形3矩形1矩形2矩形3

解：基本事件共有27個.

(1)記事件A="3個矩形涂同一種顏色”，由上圖可以知道事件A包含的基本事件

31

有1X3=3個，故P(A)=±=±.

279

⑵記事件B="3個矩形顏色都不同”，由上圖可以知道事件B包含的基本事件有

2X3=6個，故P⑻=g=2.

279

答：3個矩形顏色都相同的概率為1；3個矩形顏色都不同的概率為2.

99

例2單選題是標(biāo)準化考試中常用的題型,一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一

個正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生

不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

活動：學(xué)生閱讀題目，搜集信息,交流討論,教師引導(dǎo),解決這個問題的關(guān)鍵,

即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型.如果學(xué)生掌握或者掌握了部分考

查內(nèi)容,這都不滿足古典概型的第2個條件一一等可能性,因此,只有在假定學(xué)生

不會做,隨機地選擇了一個答案的情況下,才可以化為古典概型.

解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選

擇C、選擇D,即基本事件共有4個,考生隨機地選擇一個答案是選擇A,B,C,D的

可能性是相等的.從而由古典概型的概率計算公式得：P（“答對”）

“答對”所包含的基本事件的個數(shù)1n

基本事件的總數(shù)■

點評：古典概型解題步驟：

（1）閱讀題目，搜集信息；

（2）判斷是否是等可能事件,并用字母表示事件；

（3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m；

（4）用公式P（A）='求出概率并下結(jié)論.

n

變式訓(xùn)練

1.兩枚均勻硬幣，求出現(xiàn)兩個正面的概率.

解：樣本空間：｛甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反｝.

這里四個基本事件是等可能發(fā)生的,故屬古典概型.

n=4,m=l,P=—.

4

2.一次投擲兩顆骰子,求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率.

解法一:設(shè)表示“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”，用（i,j）記“第一顆骰子出現(xiàn)i點，

第二顆骰子出現(xiàn)j點"，i,j=l,2,-6.顯然出現(xiàn)的36個基本事件組成等概樣

本空間，其中A包含的基本事件個數(shù)為k=3X3+3X3=18,故P（A）=L

2

解法二:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：（奇,奇），（奇,偶），（偶,奇），

（偶,偶），則它們也組成等概率樣本空間.基本事件總數(shù)n=4,A包含的基本事件

個數(shù)k=2,故P（A）=L.

2

解法三:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：｛點數(shù)和為奇數(shù)｝,｛點數(shù)和為偶

數(shù)｝，也組成等概率樣本空間，基本事件總數(shù)n=2,A所含基本事件數(shù)為1,故

P(A)=L

2

注：找出的基本事件組構(gòu)成的樣本空間，必須是等概率的.解法2中倘若解

為：(兩個奇)，(一奇一偶)，(兩個偶)當(dāng)作基本事件組成樣本空間，則得出

P(A)=4^音的原因就是它不是等概率的.例如P(兩個奇)=L而P(一奇一偶)

34

=L本例又告訴我們，同一問題可取不同的樣本空間解答.

2

例3同時擲兩個骰子,計算：

(1)一共有多少種不同的結(jié)果？

(2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？

(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？

解：(1)擲一個骰子的結(jié)果有6種.我們把兩個骰子標(biāo)上記號1,2以便區(qū)分,

由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對,組成同時擲兩

個骰子的一個結(jié)果，因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種.

⑵在上面的所有結(jié)果中，向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果有

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示2

號骰子的結(jié)果.

⑶由于所有36種結(jié)果是等可能的,其中向上點數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)

有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得P(A)=2=L.

369

例4假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成,每個數(shù)字可以是0,1,2,…,9十個數(shù)字

中的任意一個.假設(shè)一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼，問他到自動取款機上

隨機試一次密碼就能取到錢的概率是多少？

解：一個密碼相當(dāng)于一個基本事件,總共有10000個基本事件，它們分別是

0000,0001,0002,…,9998,9999.隨機地試密碼,相當(dāng)于試到任何一個密碼的可能

性都是相等的,所以這是一個古典概型.事件“試一次密碼就能取到錢”由1個基

本事件構(gòu)成,即由正確的密碼構(gòu)成.所以P(“試一次密碼就能取到錢")=」一.

10000

發(fā)生概率為」一的事件是小概率事件,通常我們認為這樣的事件在一次試驗中

10000

是幾乎不可能發(fā)生的，也就是通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率是很

小的.但我們知道,如果試驗很多次，比如100000次,那么這個小概率事件是可能

發(fā)生的.所以，為了安全，自動取款機一般允許取款人最多試3次密碼，如果第4

次鍵入的號碼仍是錯誤的,那么取款機將“沒收”儲蓄卡.另外,為了使通過隨機

試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率更小，現(xiàn)在儲蓄卡可以使用6位數(shù)字作密

碼.

人們?yōu)榱朔奖阌洃?，通常用自己的生日作為儲蓄卡的密碼.當(dāng)錢包里既有身

份證又有儲蓄卡時，密碼泄密的概率很大.因此用身份證上的號碼作密碼是不安

全的.

例5某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2

聽,檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？

解：我們把每聽飲料標(biāo)上號碼,合格的4聽分別記作：1,2,3,4,不合格的2聽

分別記作a,b,只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品.

依次不放回地從箱中取出2聽飲料，得到的兩個標(biāo)記分別記為x和y,則(x,y)表

示一次抽取的結(jié)果，即基本事件.由于是隨機抽取,所以抽取到任何基本事件的概

率相等.用A表示“抽出的2聽飲料中有不合格產(chǎn)品”，Ai表示“僅第一次抽出的

是不合格產(chǎn)品”，A?表示“僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品”，A12表示“兩次抽出的

都是不合格產(chǎn)品”，則Ai,A?和Aw是互不相容的事件，且A=A|UA2(JA⑵從而

P(A)=P(Al)+P(A2)+P(A12).

因為Ai中的基本事件的個數(shù)為8,A?中的基本事件的個數(shù)為8,A技中的基本事

件的個數(shù)為2,全部基本事件的總數(shù)為30,所以P(A)=—+—+—=0.6.

303030

思路2

例1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出

兩個球，

(1)共有多少個基本事件？

(2)摸出的兩個都是白球的概率是多少？

活動：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件.

解：(1)分別記白球為1,2,3號，黑球4,5號，從中摸出2只球,有如下基本事

件(摸至U1,2號球用(1,2)表示)：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).

因此,共有10個基本事件.

(2)上述10個基本事件發(fā)生的可能性是相同的,且只有3個基本事件是摸到兩

個白球(記為事件A)，即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=—.

10

???共有10個基本事件,摸到兩個白球的概率為2.

10

變式訓(xùn)練

將一顆骰子先后拋擲兩次,觀察向上的點數(shù)，問：

(1)共有多少種不同的結(jié)果？

(2)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？

(3)兩數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是多少？

解析：(1)將骰子拋擲1次，它出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6這6種結(jié)果.

先后拋擲兩次骰子,第一次骰子向上的點數(shù)有6種結(jié)果,第2次又有6種可能的結(jié)

果，于是一共有6X6=36種不同的結(jié)果；

⑵第1次拋擲，向上的點數(shù)為1,2,3,4,5,6這6個數(shù)中的某一個,第2次拋擲時

都可以有兩種結(jié)果，使向上的點數(shù)和為3的倍數(shù)(例如：第一次向上的點數(shù)為4,

則當(dāng)?shù)?次向上的點數(shù)為2或5時,兩次的點數(shù)的和都為3的倍數(shù))，于是共有6

X2=12種不同的結(jié)果；

(3)記“向上點數(shù)和為3的倍數(shù)”為事件A,則事件A的結(jié)果有12種，因為拋兩次

得到的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，所以所求的概率為P(A)福4

種;

有12

結(jié)果

數(shù)的

3的倍

和是

數(shù)的

；點

結(jié)果

同的

36種不

共有

2次,

拋擲

先后

答：

為L

概率

數(shù)的

的倍

是3

的和

點數(shù)

3

數(shù)：

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事件

基本

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次拋

第一

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,每次

一件

任取

，每次

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的三

品b.