高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (三)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點'直線'平面之間的位置關(guān)系》解答題(3)

1.如圖，在四棱錐P-ABCD^,PAL平面ABCD,AD//BC,AD1CD,h.AD=CD=y[2,BC=2vL

PA=1.

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段尸。上，是否存在一點M,使得二面角M—AC-D的大小為45。，如果存在，求與平

面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.

2.已知：如圖，正方體4BCD-4&GD1中，E為AB的中點，尸為4〃的中點,

求證：(1)E、C、。1、F四點共面;

(2)CE、/F、D4三線共點.

3.已知如圖，在直三棱柱中，AAr=AC,且4B14C,M是CQ的中點，N是8c的

中點，P是A/1的中點.

(1)求證：NP〃平面ACC［公；

(2)證明：PN1AM.

4,已知四棱柱力BCD=4B'C'D'中，底面ABC。為菱形，AB=2,AA'=4,^BAD=60°,E為BC

中點，C'在平面ABCD上的投影H為直線AE與DC的交點.

(1)求證：BDA.A'H；

(2)求二面角。'-BB'-C的正弦值.

5.如圖所示，在直三棱柱SBC—4B1G中，底面是等腰直角三角形，44c8=90。，C4=CB=

。6=2.點。，劣分別是棱AC,4G的中點.

(1)求證：。，B,Di四點共面；

(2)求直線BG與平面DBBiA所成角的大小.

a

B

DL

K\r\\

??

??

：c"

DZ---

6.如圖，在平行六面體4BCD中,441=4山，AB=BC,Z.ABC=120°.

(1)證明：401841；

(2)若平面40。出，平面ABCD,且&。=AB,求直線與平面&B1CD所成角的正弦值.

D\G

A

B

7.如圖，在三棱臺4BC-DEF中，BC=2EF,G,H分別為AC,BC上的點，平面GHF〃平面ABED,

CFLBC,ABA.BC.

(1)證明：平面BCFE1平面EGA；

(2)若4B1CF.AB=BC=2CF=2,求二面角B-AD-C的大小.

8.如圖在三棱錐A-BCD中，點E,F,M,N分別為相應(yīng)棱的中點,

(1)求證：四邊形EFMN為平行四邊形；

(2)若4C=BD=2,EM=近,求異面直線4c與8。所成的夾角.

9.如下圖，在四棱錐P-4BCC中，平面PAD_L平面A8C￡>,ABHCD,CD].AD,國PAD是等腰直

角三角形，PD=PA=1.

p

(I)證明：PD1PB-,

(n)若P8與平面PA。所成角的大小為60。，CD=2AB,求點C到平面P8Q的距離.

10.如圖，在棱長為1的正方體4BC0-4B1C1D1中，點E是棱43上的動點.

(1)求證：O41EO1；

(2)若直線與平面CEDi所成角為45。，求器的值；

(3)寫出點E到直線距離的最大值及此時點E的位置(結(jié)論不要求證明).

11.在直角梯形4BC。中，AD//BC,AB=1,AD=V3,AB1BC,CD1BD,如圖(1).把4ABD沿

BO翻折，使得平面A'BD1,嚴廊BCD,如圖(2).

(I)求證：CD1A'B；

(n)求三棱錐4'一BDC的體積;

在線段上是否存在點使得若存在，請求出凳的值；若不存在，請說明

(HI)8cN,4NJ.BD?oC

理由.

12.如圖，ABCD是平行四邊形，已知4B=2BC=4,BD=2痘,BE=

CE,平面BCEJ■平面ABC。.

(I)證明：BD1CE；

(□)若BE=CE=V10，求平面ADE與平面BCE所成二面角的平面角

的余弦值.

13.已知三棱柱4BC-&B1G的側(cè)棱垂直于底面，ABAC=90°,AB=AAr2,AC=1.M,N分

別是41a,BC的中點.

(I)證明：ABLAC1；

(II)證明：MN〃平面4CC［公；

(HI)求二面角M-AN-B的余弦值.

B

14.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-48心。1中，E,F,G,P分別是C￡>,CC「B】Ci的

中點，Q是線段AB上的一個動點，且AQ=；L4B(0W4W1).

(1)證明：PFu平面GEF;

(2)當(dāng)二面角Q-EG-F的余弦值為一日時，求人

15.已知等腰梯形4DCE中，AD〃EJ,EC=24D=24E=4,=%B為EC的中點，如圖1,

將三角形ABE沿AB折起到ABE'(E'6平面4BC0),如圖2.

(1)點尸為線段4E'的中點，判斷直線。F與平面BCE'的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)團BCE'的面積最大時，求DE'的長.

16.如圖1,梯形A8C。中，AB//CD,過A,8分別作ZEICC,BF1CD,垂足分別為E、F.AB=

AE=2,CD=5,已知DE=1,將梯形ABC。沿AE,8F同側(cè)折起，得空間幾何體40E-8CF,

如圖2.

D

D

(1)若4F18。，證明：DEI5!2?ABFE；

(2)若DE〃CF,CD=遮,線段AB上存在一點P,滿足CP與平面AC￡＞所成角的正弦值為嗝,

求AP的長.

17.如圖所示，在正方體力BCD-aB1C1D1中，E,F分別是A8和441的中點.求證:

(1)E,C,以，F(xiàn)四點共面；

(2)CE,QF,D4三線共點.

18.已知在正方體aBCD-4B'C'D'中，M,N分別為CD,AO的中點.求證：四邊形MN4C'是梯形.

19.如圖，A是△BCD所在平面外一點，M,N分別是ZMBC和△4CD的重心，已知BD=6.

A

(1)判斷MN與BD的位置關(guān)系;

(2)求MN的長.

20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形,NABC=120°,

PA=PB,"為A3中點，設(shè)/為平面ABP與平面CDP的交線.

(1)判斷直線/與平面48co的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求證：平面PCD，平面PMD；

(3)若平面2481平面4BCD,且二面角8-AP-。的余弦值為，，求四棱

錐P-ABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：???四邊形A5CD是直角梯形，AD=CD=2&,BC=4位,

???AC=4,AB={(BC-AD)2+CD2=V8T8=4.

.?.△ABC是等腰直角三角形，即ABIAC,

???PAJ"平面ABCD,ABu平面ABCD,

PA1AB,

AB_L平面PAC,又PCu平面PAC,

；.ABJ.PC；

(2)解：假設(shè)存在符合條件的點M,過點M作于N,則MN〃P4

MN1AC.

過點M作MG_L4C于G,連接NG,則ACJ?平面MNG,

ACING,即NMGN是二面角M-AC-。的平面角.

若4MGN=45。，則NG=MN,又AN=&NG=&MN,

:.MN=1,即M是線段尸。的中點，

???存在點M使得二面角M-AC-。的大小為45。，

在三棱錐M-ABC中，

^M-ABC=1szi4BC,MN,

設(shè)點8到面M4c的距離為〃，

^B-MAC=三S/1MAC，江,

SAABC.MN=SAMAC-h,

Ah.=2^2>

RtABMN中,BM=V27,

.?.設(shè)與平面MAC所成的角為氏sind=A

BM=9

解析：本題考查了項目垂直的判定與性質(zhì)，空間角的計算，屬于中檔題.

(1)利用直角梯形的性質(zhì)求出AB,AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB_L4C,由PA1平面A8C￡>

得出力B_LPA,故A8_L平面PAC,于是4B1PC；

(2)假設(shè)存在點M,做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的

位置.結(jié)合三棱錐體積公式的應(yīng)用，得到與平面M4C所成的角的sin。=卷=￥.

2.答案:證明:(1)連接EF,AXB,DC

■-E,F分別是AB,44]的中點，

EF//ArB,AXB//DXC,

EF"D\C,

.?.由兩條平行線確定一個平面，得到E,C,5，F(xiàn)四點共面；

(2)分別延長。iF,DA,交于點P,如下圖所示，

VPeDA,DAu面ABCD,

P6面ABCD.

???F是明的中點，F(xiàn)A"D[D,

???力是OP的中點，

連接CP,

■：AB//DC,

-CPnAB=E,

：?CE,D/,DA三線共點于P.

解析：本題考查四點共面和三點共線的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意平行公理和三角

形中位線定理的合理運用.

(1)由三角形中位線定理和平行公式，得到EF〃DiC,再由兩條平行線確定一個平面，得到E,C,D],

F四點共面.

(2)分別延長。iF,DA,交于點P,由DAcffiABCD,知P€面4BCD.再由三角形中位線定

理證明CE,DiF,D4三線共點于P.

3.答案：證明：(1)取AC中點為Q,連接為Q,NQ,

在△4BC中，NQ&三AB，又

所以NQ=4P，

即四邊形力1PNQ是平行四邊形，

故NP〃4Q,

又NPC平面ACCiAi，4iQu平面4CC1A1，

所以NP〃平面4CG4

(2)在正方形4CC1&中，RtAAArQ三RtACAM,

所以4/VMC與乙4iQ4互余，

故AM_L&Q.

由(1)知,PN"A[Q,

所以PNJ.4M.

解析：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與直線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審

題.

(1)要證NP〃平面4CCp4i，利用直線與平面平行的判定，只需要在已知平面內(nèi)找出一條直線與己知

直線平行即可；

(2)要證PNJ.4M,只需證明4MJL41Q,再利用一條直線垂直于兩平行線中的一條，一定垂直于另

外一條.

4.答案：(1)證明：四棱柱ABCD—4夕C'。'中，底面48CD為菱形，

連結(jié)A'C'、B'D',則4C'_LB'D',BD//B'D',

vC'在平面ABC。上的投影”為直線AE與DC的交點，C'H_L平面ABC。，

???平面4'B'C'D'〃平面ABCD,.-.C'H1平面A'B'C'D',

???B'。'u平面AB'C'。'，B'。'JLC'H,

???4C'nC'H=C',B'D'J"平面A'C'H,80"L平面4'C'H,

?.?47/<=平面4?！?，；.8￡>1477.

(2)解：連結(jié)CD',則四邊形(7"(7'?是平行四邊形，：.8'_1_平面43。。,

以C為原點，在平面ABC。中過C作CD的垂線為x軸，CZ)為y軸，CD'為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系,

則。'(0,0,2遮)，B(V3,-l,0),B'(用,2V3),C(0,0,0),

BB1=(0,2，2遮)，~BC=(-73,1-0),~BD'=(-V3,l>2遮),

設(shè)平面BB'D'的法向量元=(x,y,z),

則完.登=2y+25/3z=0,

取y=V3>得元=(―1,百,-1).

(.n-BD=—\/3x+y+2V3z=0,

設(shè)平面BCB'的法向量記=(a力，c),

則(記?BC=-y/3a+6=0,

1取a=1,得沆=(1,V5,-1).

'l沆-BB=2b+2V3c=0,

設(shè)二面角D'-BB'-C的平面角為0,則cosJ=黯=熹=|?

???二面角D'-BB'-C的正弦值sin。=Jl-g)2=|

解析：本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)和利用空間向量求面面的夾角，是中檔題.

(1)先證明B'D'L平面4C'H,則BD1平面4C'”，由線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面BB'。'的法向量和平面8CB'的法向量，由空間向量求解即可.

5.答案:解：(1)證明：?.?點。,劣分別是棱AC,4Ci的中點,；.DDJ/CC],「一

D,B、八5四點共面.：：7飛、

(2)作691.當(dāng)名，垂足為F,:j''J

???BB】1平面AiBC，CZFu平面A/iG，

直線BB1，直線GF,

vQFL直線BiA且BB1與B/i相交于Br

.??直線QF，平面

???4GBF即為直線BC】與平面DBB15所成的角.

在直角ZiCiBF中，BG=2五,GF=竿，sinzCjBF=

直線BC】與平面。BB1。1所成的角為arcsin嚕.

解析：(1)證明DDJ/BBi，即可證明。、B、Bi、Di四點共面.

(2)作GF_LBiDi，垂足為尸，說明NGBF即為直線BG與平面DBBiDi所成的角，再求出直線BQ與

平面所成角的大小.

本題考查直線與平面所成角的求法，平面的基本性質(zhì)，是中檔題.

6.答案：證明：（1）取A。中點0,連接05,0A19BD,

vAAX=ArD,:.AD10Alf

又/ABC=120°,ABAD6（），

又AD=AB=BD,

???△4BD是等邊三角形，。為AD的中點，

AD10B,

■■■0ArCtOB=0,OA|.OBU平面,

???AD1平面&0B,

vAXBu平面A】OB,

AD1BAr.

解：（2）???平面，平面ABCD,

平面ADCiAi。平面力BCD=AD,

又Ai。1AD,.410C平面,

4。1平面ABCD,OBC平面

&。10B,

0A,。4、08兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A、0B、。&所在射線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

Z]2G

設(shè)4B=AD=AXD=2,

則4(1,0,0),4(0,0,6),

B(0,V3,0),D(-l,0,0),

則西=(1,0,舊)，DC=AB=(-l,V3,0).

西=(0,-V3,V3)>

設(shè)平面為BiCD的法向量記=(x,y,z),

則(元■DC=—x+V3y=0

In-DAt=x+V3z=0'

令x=V5，則y=l,z=-1,

則元=(6,1,一1),

設(shè)直線與平面&B1CD所成角為。，

則sin9=|cos(元，西>|=|^j^|

_|一任何_屈

\/5-yf65

???直線與平面所成角的正弦值為唱.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

(1)取AO中點。，連接。8,OA1,BD,推導(dǎo)出40J.04,△ABD是等邊三角形，從而4D10B,

進而4。，平面&OB,由此能證明401ArB；

(2)推導(dǎo)出。4、。&、08兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，分別以。4、OB、。41所在射線為x、y、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,利用向量法能求出直線與平面4aCD所成角的正弦值.

7.答案：(1)證明：因為平面GHF〃平面4BEZ),平面BCFEn平面ABED=BE,

平面BCFEC平面GH尸=HF,所以BE〃HF.

因為BC〃EF,所以四邊形尸E為平行四邊形，所以BH=EF,

因為8c=2EF,所以BC=2BH,，為BC的中點.

同理G為AC的中點，所以因為ABLBC，所以

又HC//EF旦HC=EF,所以四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF〃HE,

又。F_LBC'，所以HE1BC.

又HE,GHu平面EGH,HECGH=H,所以BCJ.平面EG”，

又BCu平面BCFE,所以平面BC'FE±平面EGH

(2)解：；〃E，〃3，HG±HB，AB±CF，CF//HE,GH//AB,

???HE1HG.

分別以”G,HB,所在的直線為無軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-tyz,

則4(2,1,0),B(0,l,0),￡>(1,0,1).C(0,-l,0).

設(shè)平面AB。的一個法向量為沅=(Xi，yi，z。，因為荏=(一2,0,0)，麗=(1,一1,1)

則(記-AB=-2%1=0

(布.BD=%1-%+Z]=0取為=1，得沅=(0,1,1)?

設(shè)平面ADC的一個法向量為元=(%2，%*2)，因為而=(一1,一1,1)，AC=(-2,-2,0)

則，詁?亞=一&-+名2=0

取%2=1，得元=(1,-1,0).

(n?AC=-2X2—2y2=0

所以|cos你，五)|=I品I=；,則二面角B—AD—C的大小為或

1刑1川23

解析：本題考查了兩直線之間的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定，

平面向量的法向量，二面角等有關(guān)知識.

(1)根據(jù)平面GHF〃平面ABED,平面BCFED平面力BED=BE,

平面BCFEn平面GHF=HF,得到BE//”F.然后判斷出四邊形B”/芭為平行四邊形，四邊形EFCH

是平行四邊形，進而得到CF〃HE,再根據(jù)得到HE1BC,最后求證出平面EGH,

再結(jié)合BCu平面BCFE進行求解即可；

(2)分別以4G,HB,"E所在的直線為x軸，)，軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系//一孫z,

設(shè)平面A8。的一個法向量為訪=Qi，yi，Zi),設(shè)平面ADC的一個法向量為元=。2，丫2以2)，分別求

出沆=(0,1,1).n=(1,-1,0),再求解二面角即可.

8.答案：(1)證明：?；E,F為棱AB,BC的中點，.?.EF4：AC，

又TM,N為棱AD,CD的中點，:MN

2

???由平行公理得EF△MN，

四邊形EFMN為平行四邊形；

(2)解：由題意知，F(xiàn)M//BD,EF//AC,

二/EFM為異面直線AC與BD所成的角，

AC=BD=2,EM=V2,

又由尸M=：BD=1,EF=^AC=1,

???在AEFM中，EF2+FM2=EM2,

.-?EFLFM,即NEF,U—90'，

???異面直線AC與BO所成的夾角為sxr.

解析：本題考查平行公理與等角定理，空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線所成角，考查邏輯

推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由三角形中位線定理和平行公理可得；

(2)通過平移得ZEFM為異面直線AC與8。所成的角，利用解三角形可得.

9.答案：(1)因為。。14。，AB//CD,所以4B_LAD,

因為平面PAD_L平面ABC。，交線為A￡),所以/BJL平面PAD,于是481PD.

在等腰直角三角形PA。中，PD=P4,所以PDJ.P4,

又因為所以PO_L平面PA8,所以POJ.PB.

(口)由(I)知481平面PAD,所以PB與平面R4O所成的角即乙4PB=60°,

結(jié)合已知可得4。=應(yīng)，AB=V3，PB=2,CO=26，BD=后

可得團PBD是以BD為斜邊的直角三角形.

設(shè)點C到平面PBD的距離為d,則％_PBO=|dxSBPBD=|dx1x1x2=^.

又因為Up-BCD=gX￥XS?BCD=1X￥X之X2V3XV2=^>

所以&=更，d=V3.

33

解析：本題考查空間線面關(guān)系證明，線面角的概念，距離計算.考查運算求解能力，考查函數(shù)與方

程思想，是中檔題.

(1)先證4814。，然后可得A8J.PD.由等腰三角形的性質(zhì)可得PO_LP4可得P。_LPB.

(U)由(I)知力Bl平面PA。，所以P8與平面PAO所成的角即乙4PB=60。，設(shè)點C到平面PBO的

距離為d，根據(jù)%_PBD=%_BCD，代入對數(shù)的數(shù)值，解方程可得答案.

10.答案：解：以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

0(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),^(0,0,1),&(1,0,1),設(shè)E(l,/w,0)(0<m<1).

(1)證明：西=(1,0，1),砒=(一1,一犯1)，

DAi?ED[=1x(-1)+0x(-TH)+1x1=0-

所以￡Mi1ED「

(2)設(shè)平面CEA的法向量為u=(x?,z),則

(v,CDi=0,-T----?——>

―1而CD1=CE=(1,M—1,0)，

\V-CE=0,

所以藍;3y=0,取z=L得丫=1，"If,

得u=(1—m,\,1),

因為直線與平面CEA所成角為45。,

所以sin45。=|cos(DA^v)

而DII。：1?訓(xùn)—史

f4西W-2，

所以后事=多

解得m=j所以E點為(1」,0),所以喂的值為"

2\2/AB2

(3)點E到直線AC距離的最大值為半，此時點E在4點處.

解析：本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系以及直線與平面所成角以及點到直線的距離關(guān)系,

屬于一般題.

(1)根據(jù)題中所給條件，結(jié)合線面垂直的判定，即可推出結(jié)果.

(2)根據(jù)題中所給條件，結(jié)合二面角的相關(guān)推論，即可推出結(jié)果.

(3)根據(jù)題中所給條件，結(jié)合點到直線的距離關(guān)系，即可推出結(jié)果.

11.答案：解：(I)?.?平面ABD_L平面BCD,平面A'BDn平面BCO=BD,CD1BD

：.CD1平面ABD.

XvABu平面4B0,CD1A'B.

(正如圖⑴在也會⑷^中,BD=

y/AB2+AD2=2.

"ADIIBC,/.ADB=DBC=30°.

在Rt△BCC中，DC=BDtan300=早

二SABDC=邰。?DC=第

如圖(2),在RtAA'B。中，過點4做AE18C于E,二4'E_L平面BCD.

AfBArD_V3

VA'E=BD~~2

1

A^Af-BDC=1?S&BDC,A，E=3?竽?當(dāng)

3

(HI)在線段BC上存在點M使得AN18D,理由如下:

如圖(2)在/?￡△AE8中，BE=y/ArB2-A'E2=

BE1

BD4

過點E做EN〃DC交BC于點N,則器=器=；，

???CD1BD,???EN1BD,

乂A'E1BD,A'ECEN=E,A'E,EN均在平面4EN內(nèi)

BD_L平面AEN,

又A'Nu平面4EN,A'N1BD.

???在線段BC上存在點N,使得ANJ.BO,此時裝=：.

BC4

解析：(I)通過已知條件證明CDJ■平面ABD,然后證明CDJ.4B.

(U)^Rt^ABD^,推出NADB=DBC=30°.求出SABDC，在中，過點&做A'E1BD于E,

說明A'E_L平面BCD.說明是幾何體的高，即可求解.

(HI)在線段8c上存在點N,使得AN18D,過點E做EN〃DC交BC于點N,推出EN1BD,說明8D1

平面A'EN,4'N_LBD.即可證明在線段BC上存在點N,使得4'NJ.BD.

本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐體積公式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能

力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.

12.答案：證明：vAB=2BC=4,BD=2V3,

???AB=4,BC=2,

則BD?+=AB2t

則△力DB是直角三角形，則貝

???BE=CE,

???取BC的中點0,

則E。1BC,

???平面BCE1平面ABCD.

EO1平面ABCD,

BDu平面ABCD,

EO±BD,

vBCnE=。，

:.BD，平面BCE,

則8D1CE；

(n)若BE=CE=V10,

則E。=7BE2-BO2=V10-1=炳=3,

建立以。為坐標(biāo)原點，OP,OB,OE分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:

則E(0,0,3),D(2V3,1，0),A(2V3,3,0),

則方=(0,2,0),DE=(一26,-1,3)，

設(shè)平面ADE的法向量為記=(x,y,z),

則布?方=2y=0，m-DE=-2A/3X-y4-3z=0.

則y=0,-2V3x+3z=0,

令x=l,則2=也，即沅=(1,0,2)，

337

平面3CE的法向量五=(1,0,0),

__mn_1_3_\/33

則cos<m,n>==IXI嗎2=序=京，

即平面ADE與平面BCE所成二面角的平面角的余弦值叵.

11

解析：（/）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明BD1CE-,

（U）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可求二面角的余弦值.

本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解，綜

合性較強，運算量較大.

13.答案：解法一：

（I）證明：因為CG1平面ABC,

所以AC是4cl在平面ABC內(nèi)的射影，（2分）

由條件可知AB_LAC,

所以AB1力的.（4分）

（H）證明：設(shè)AC的中點為。，

連接ON,AXD.

因為D,N分別是AC,BC的中點，

所以QN平行等于g4B.

又41^=^4181，A]B、平行等于AB,

所以平行等于ON.

所以四邊形&DNM是平行四邊形.

所以4D〃MN.（7分）

因為&Du平面4CG4,MNu平面4CC1公,

所以MN〃平面4CG41.（9分）

（HI）如圖，設(shè)AB的中點為H,連接

所以

因為BBi，底面ABC,

所以MH_L底面ABC.

在平面ABC內(nèi)，過點，做HGLAN,垂足為G.

連接例G,則MG14V.

所以NMGH是二面角M-AN-B的平面角.（12分）

因為=BB]=2,

由△4GH-ABAC,得HG=總

所以MG=y/MH2+HG2=隼.

V5

所以coszMG”=世=—.

MG21

二面角M-AN-B的余弦值是耳.（14分）

解法二：

依條件可知AB,AC,A4i兩兩垂直.

如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz.

根據(jù)條件容易求出如下各點坐標(biāo)：

4(0,0,0),B(0,2,0),C(-l,0,0),4(0,0,2),B1(0,2,2),G(-l,0,2),M(0,l,2),/V(-|,l,0).

證明：(I)：因為四=(0,2,0)，AC^=(-1,0,2).

所以荏?宿=0x(-1)+2x0+0x2=0.(2分)

所以四_L宿.

即AB14G.(4分)

(H)證明：因為標(biāo)=(一表0,—2),荏=(0,2,0)是平面4CG4的一個法向量，

且而?麗=一之x0+0x2-2x0=0,所以而1荏.(7分)

又MNC平面4CC1&,

所以MN〃平面4CC1七.(9分)

(IE)設(shè)n=(x,y,z)是平面AMN的法向量，

因為前=(0,1,2)，麗=(一1,1,0),

由｛罪;得｛I；：；；：、°解得平面AMN的一個法向量兀=(4,2,-1).

由已知，平面ABC的一個法向量為m=(0,0,—1).(12分)

設(shè)二面角M-AN-B的大小為。，貝"cos。=鋁=若；=券.

|n||m|V21X121

二面角M-AN-B的余弦值是等.(14分)

解析：要證明：只要證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線和即可證

(I)AB1ACltAB4CG/114c

明4B1平面4CC14,從而證明4814cl.

設(shè)的中點為。，連接。只要證明&即可證明〃平面。的

(H)4cN,ArD,D〃MN,MN44；

(IE)法一：作出二面角M-AN—B的平面角，通過解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值.

法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積，求解二面角的余弦值.

本題考查直線與直線的垂直，直線與平面的平行，二面角的知識，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯

思維能力，是中檔題.

14.答案：答案：

(1)證明：如圖，連接BiC,

在AGCB]中，P,F分別是aCi，QC的中點，所以尸尸是ACiCBi的中位線，則PF〃B]C.

在正方體ABC。一月$16。1中，DC"A、B\,G,E分別是0c的中點，

則EC〃Ga,EC=GBi，所以四邊形GBiCE是平行四邊形，則B]C〃GE,

所以PF〃GE,斫以PFu平面GEF.

(2)解：以Di為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，￡(0,1,2),

F(0,2,1),G(2,l,0),GE=(-2,0,2).EF=(0,1,-1)-

因為4Q=448(01),所以Q(2,2；l,2),QE=(-2,1-2A,0).

設(shè)平面EFG的一個法向量為訪=(%i，yi，Zi),

則(記三=0,即j-2xi+2zi=0,

'Im-EF=0,'—Zi=0,

令=1,則Z]=1,y=1,所以而=(1,1,1).

設(shè)平面QEG的一個法向量為元=(x2,y2,z2),

元?遺=0,即—2X+2Z=0,

則22

n?QE=0,-2%2+(1—2A)y2=

令%2=1—2九則句二1一2九y2=2,所以運=(1-2九2,1—2；1).

因為二面角Q—EG-尸的余弦值為一日,

所以的保，孫=篇=兩黠身=早解得“=戲(舍去)，

所以，當(dāng)二面角Q-EG—F的余弦值為一g時，2=1.

解析：解析：

本題主要考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系、利用空間向量求面面的夾角，考查空間想象能力、

運算能力和推理論證能力，屬于中檔題.

(1)先證得四邊形GB]CE是平行四邊形，故得當(dāng)C〃GE,PF//GE,故得證

(2)以劣為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得4的值

15.答案:

(1)解：直線。尸與平面BCE'相交，理由如下：

因為E',平面ABCD,

所以。C平面BCE'.

若DF〃平面BCE',設(shè)平面DCE'n平面BCE'=CM,則DF〃CM.

顯然CM與CB不重合.

又因為AD〃BC,

所以平面ADE'平面BCE',矛盾.

所以直線。尸與平面BCE'相交.

(2)證明：取AB的中點0,連接E'O,BD,

由等腰梯形ADCE中，AD//EC,EC=2AD=2AE=4,NE；,

?)

知△力BE是等邊三角形，四邊形AOC8是菱形，且NC=60。，即△4BD和△BCD都是等邊三角形.

可得：E'OIAB,DO1AB,E'。與。。相交于平面E'OD內(nèi)，所以4B1平面E'OD,所以E'DIAB.又

AB//DC,所以O(shè)D1DC,

因為△BCE'的面積為-BC?sin/E'BC=2sin"'BC,

所以當(dāng)△BCE'的面積最大時，/.E'BC=90°.

所以E'C=>JE'B2+BC2=2V2.

所以E'C=y/E'C2-DC2=2.

解析：解析：

本題考查直線與平面位置關(guān)系的判定，考查線面垂直的判定定理，考查三角形的面積公式及其應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

(1)直線力尸與平面BCE'相交，假設(shè)DF〃平面BCE',通過推出矛盾得到DF〃平面BCE'不成立，從而

證明得結(jié)論；

(2)取4B的中點0,連接E'O,B。，由等腰梯形AOCE中,AD〃EC,EC=2AD=2AE=4,NE；,

可得E'。14B,DOLAB,AB//DC,可得401平面E'。。，結(jié)合三角形的面積公式可得所以當(dāng)△BCE'

的面積最大時，NE'BC=90。，由勾股定理得結(jié)果.

16.答案：(1)證明：由已知得四邊形ABFE是正方形，且邊長為2,在圖2中，AFA.BE,

由已知得AF1BD,BECBD=B,：.AF，平面BDE,

乂DEu平面BOE,.-.AF1.DE,

又4E1DE,AEQAF=A,

DE_L平面ABFE.

(2)解：在圖2中，AE1DE,AE1EF,DE^EF=E,^AE1?DEFC,

在梯形DEFC中，過點。作DM〃EF交C尸于點連接CE,

由題意得DM=2,CM=1,由勾股定理可得。C1CF,

則NCDM=gCE=2,

o

過E作EG_LEF交。C于點G,可知GE,EA,EF兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點，以麗，EF，芯分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,l,V3),AC=(-2,1,73).AD=(-2,

設(shè)平面ACD的一個法向量為記=(%,y,z),

—2x+y+V3z=0

由｛。得

n-AC=1近八，?。?1得五=(L—1,8),

n-AD=0'—LX

——27vH—2z=0

設(shè)4P=m,則P(2,〃?，0),(0<m<2),得浮=(2,m-1,-V3)

>m

設(shè)CP與平面ACD所成的角為0,sin。=|coS(CP,n)|=有聶方=^==l-

2

???AP

3

解析：本題考查線面垂直的證明，考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識.

(1)推導(dǎo)出4F1BE,AF1BD,從而4F_1_平面8DE,進而AFJL0E,再由4E_i.DE,能證明CE_1平

面ABFE.

(2)過點。作DM〃EF交C尸于點M,連接CE,過E作EG_LEF交力C于點G,以E為坐標(biāo)原點，以

EA，EF，宙分別為無軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果.

17.答案：證明：(1)如圖，連結(jié)ERCD1，&B.

???E,尸分別是AB,A①的中點，

EF“BA[.

又A\B"D\C,

EF//CD、,

：,E,C,Di，尸四點共面.

(2)vEFZ/CD1,EF<CDr,

二CE與AF必相交，

設(shè)交點為尸，如圖所示.

則由PeCE,CEu平面ABCD,

得P6平面ABCD.

同理P€平面

又平面4BC0Cl平面