高中數(shù)學(xué)典型例題-組合

典型例題一

例1計(jì)算：（1）（。制+G%）+A*；（2）C；+《+…+G]

分析：本題如果直接計(jì)算組合數(shù)，運(yùn)算比較繁.本題應(yīng)努力在式子中創(chuàng)造條件使用組合

數(shù)的性質(zhì)，第（1）題中，G%=C盆，經(jīng)此變形后，可繼續(xù)使用組合數(shù)性質(zhì).第（2）題有

兩個(gè)考慮途徑，一方面可以抓住項(xiàng)的變形c；=c,L-c3求和；另一方面，變形c；=c：,

接著c：+C=c；,c；+c；=c：…，反復(fù)使用公式.

解：（1）原式=（Goo+G.oo）+Aoi=Goi+Aoi

=1+4；=L

6

（2）原式=c；+c；_c：+c；Y+…

==330.

另一方法是：原式=C：+c+C：+…+C]

=c；+c；+…+G%=c：+c；+…+G%

=...——=330.

說(shuō)明：利用第（2）小題的手段，我們可以得到組合數(shù)的一個(gè)常用的結(jié)論:

c；；+c：n,??+《：=/；

左邊=/+C；%-C：；：：；+-C；%+…+c鬻一C；+I=C：;；=右邊.

典型例題二

例2從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種？

（1）4、B必須當(dāng)選；（2）4、8都不當(dāng)選；（3）A、8不全當(dāng)選；（4）至少有2

名女生當(dāng)選；（5）選出5名同學(xué)，讓他們分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但

體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任.

分析:本題是組合應(yīng)用題中典型的選代表問(wèn)題，通過(guò)一些明確的條件對(duì)結(jié)果進(jìn)行限制.問(wèn)

題（1）A.8必須當(dāng)選，它們就不必再考慮，只要再選出余下的代表.問(wèn)題（2）A、8

必須不當(dāng)選，實(shí)際上就是去掉這幾個(gè)元素不予考慮.問(wèn)題（3）A、8不全當(dāng)選可以從正反

兩方面考慮.從正面考慮可以按A、8全不選和A、8選一個(gè)分類，從反而考慮可用間接

法，去掉A、8全選的情況.問(wèn)題（4）可以按女生選2人、3人…進(jìn)行分類，當(dāng)然也可以

從反面考慮用間接法.問(wèn)題（5）可以先處理特殊位置的體育班委與文娛班委.

解：（1）除4、8選出外，從其它10個(gè)人中再選3人,共有的選法種數(shù)為=120

（種）.

（2）去掠A、B,從其它10人中任選5人，共有的選法種數(shù)為：=252（種）.

（3）按4、3的選取情況進(jìn)行分類：A、8全不選的方法數(shù)為A、8選1人

的方法數(shù)為C；C1，共有選法C*+C；Gl）=672（種）.

本小題的另一解法：從12人中選5人的選法中去掉A、B全選的情況，所有選法只有

Gi=672（種）.

方法一：按女同學(xué)的選取情況分類：

選2名女同學(xué)、3名男同學(xué)；選3名女同學(xué)2名男同學(xué)；選4名女同學(xué)1名男同學(xué)；選

5名女同學(xué).所有選法數(shù)為：

+C；C；+C：C；+C；=596（種）.

方法二：從反面考慮，用間接方法，去掉女同學(xué)不選或選1人的情況，所有方法總數(shù)為：

=596（種）.

（5）選出一個(gè)男生擔(dān)任體育班委，再選出1名女生擔(dān)任文娛班委，剩下的10人中任取

3人擔(dān)任其它3個(gè)班委.用分步計(jì)數(shù)原理可得到所有方法總數(shù)為：C；??4%=25200（種）.

說(shuō)明：對(duì)于本題第（4）小題，“至少有2名女生當(dāng)選"，我們可能還有另外一種考慮，

先從5名女生中選出2人，然后在剩下的10人中任選3人，得到的方法數(shù)為=1200

（種），與上述答案比較，結(jié)果明顯增多了，為什么會(huì)出現(xiàn)以上情況？上述步驟得到的選取

結(jié)果雖然符合了有.2名女生的要求，但在計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)了重復(fù)，比如先選兩女生為4、b,剩

下的10人中如果又選出了女生c,與先選兩名女生為a、c后又選出了女生6,出現(xiàn)了同

樣的結(jié)果，因?yàn)檫x取問(wèn)題僅考慮選出了哪些元素，至于先選后選并不考慮.這里需要我們引

起注意的是以后遇到“至少”類型的問(wèn)題，?般采用分類法或間接法解決，在選取問(wèn)題中盡

可能避免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)，我們還可以進(jìn)一步從下一個(gè)例子加深理解.

典型例題三

例3空間10個(gè)點(diǎn)，其中有5點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余無(wú)三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，問(wèn)以這

些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成多少個(gè)四面體？

分析：本題如果從正面考慮可以按5個(gè)共面的點(diǎn)的選用情況進(jìn)行分類.如果從反面考慮

用間接法，只要去掉從5個(gè)共面的點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)的情況，因?yàn)楣裁娴乃膫€(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四面

體的四個(gè)頂點(diǎn).

解：方法一：可以按共面的點(diǎn)取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)進(jìn)行分類，得到所有的取法總

數(shù)為：+C5C5++C5C5=205個(gè).

方法二：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個(gè)點(diǎn)全部取自共面的5個(gè)點(diǎn)的情況,

得到所有構(gòu)成四面體的方法數(shù)為：G：—。；=205（個(gè)）.

說(shuō)明：以幾何為背景的此類應(yīng)用題中，間接方法用得比較多，在考慮去掉不符合要求的

選法時(shí)，既不能多去，也不能少去，此外有時(shí)還需去掉一些重復(fù)計(jì)數(shù)的情況.比如：四面體

的頂點(diǎn)和各條棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，任取其中的4個(gè)點(diǎn)，其中不共面的取法有多少種？我們

可以從10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn).共有種取法，然后去掉下面幾種情況，4個(gè)點(diǎn)取在四面體的

同一個(gè)面上，有4C：種取法；四個(gè)中點(diǎn)連成平行四邊形的情形，有3種取法，還有3點(diǎn)在

四面體的一條棱上，另一點(diǎn)是其它點(diǎn)，不考慮已計(jì)算的四點(diǎn)在四面體同一面上的情況，共有

6種取法.用間接法可得不同的取法共有：^-4^-3-6=141（種）.

典型例題四

例4在1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，在0,2,4,6,8中任取兩個(gè)數(shù)字，可組成

多少個(gè)不同的五位偶數(shù).

分析：因?yàn)榱悴荒茏魇孜粩?shù)，所以是特殊元素，因此可以根據(jù)選零不選零為分類標(biāo)準(zhǔn)。

解：第一類：五位數(shù)中不含數(shù)字零。

第一步：選出5個(gè)數(shù)字，共有種選法.

第二步：排成偶數(shù)一先排末位數(shù)，有8種排法，再排其它四位數(shù)字，有匕種排法.

二Ni=C；C,P；.P：（個(gè)）

第二類：五位數(shù)中含有數(shù)字零.

第一步：選出5個(gè)數(shù)字，共有種選法。

第二步：排順序又可分為兩小類；

（1）末位排零，有丹?匕種排列方法；

（2）末位不排零.這時(shí)本位數(shù)有C；種選法，而因?yàn)榱悴荒芘旁谑孜?，所以首位?/p>

P；種排法，其余3個(gè)數(shù)字則有片種排法.

???+

符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為

N=乂+M=C；C：P；P：++H8）

=4560（個(gè)）

說(shuō)明：本題也可以用間接法（即排除法）來(lái)解.請(qǐng)自行完成.

典型例題五

例5有12名劃船運(yùn)動(dòng)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，其余5人既會(huì)劃左

舷也會(huì)劃右舷?，F(xiàn)在要從這12名運(yùn)動(dòng)員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多

少種不同的選法？

分析：設(shè)集合A=｛只會(huì)劃左舷的3個(gè)人｝,B=｛只會(huì)劃右舷的4個(gè)人｝,C=｛既會(huì)劃左舷又

會(huì)劃右舷的5個(gè)人｝

先分類，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個(gè)人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A

中有2人；C中有F人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。

第①類，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在5UC中選3人，即有種選法。因

是分步問(wèn)題，所以有G'C；種選法。第②類，劃左舷的人在A中選2人，有《種選法，在

C中選1人，有C；種選法，劃右舷的在8UC中剩下的8個(gè)人中選3人，有種選法。因

是分步問(wèn)題，所以有種選法。類似地，第③類，有種選法。第④類

有種選法。

因?yàn)槭欠诸?，所以一共?C；?6.種選法。

解：C+C；C；+C；

,9x8x7\.8x7x6、7x6x5,,?6x5x4

=1-------+3x5x------+3xl10Ax------+lxlOx-------

1x2x31x2x31x2x31x2x3

=84+840+1050+200=2174種

答:一共有2174種不同選法.

說(shuō)明：這種比較復(fù)雜的在若干個(gè)集合中選取元素的問(wèn)題，只要能運(yùn)用分類思想正確對(duì)所

求選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得解.在分類時(shí)，

要注意做到既不重復(fù)也不遺漏.

這里是以集合A為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，也可以集合B或集合C為基準(zhǔn)進(jìn)行分類，其結(jié)果是相

同的，但一般都選擇元素個(gè)數(shù)較少的集合作為基準(zhǔn)來(lái)分類，這樣可以減少分類，方便運(yùn)算.

典型例題六

例6甲、乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方由1號(hào)

隊(duì)員出賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，…，直到?方隊(duì)員全被淘汰為止，另

一方獲勝，形成一種比賽過(guò)程，試求所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程的種類.

分析與解：若甲隊(duì)取勝，比賽結(jié)果可能是7:0,7:1,7:2,7:3,7:4,7:5,7:6.

7:0只有一個(gè)過(guò)程；

7:1共8場(chǎng)，乙隊(duì)在前7場(chǎng)中勝一場(chǎng)，有C；種不同的過(guò)程；

7:2共9場(chǎng)，乙隊(duì)在前8場(chǎng)中勝二場(chǎng)，有C；種不同的過(guò)程；

7:3共10場(chǎng)，乙隊(duì)在前9場(chǎng)中勝三場(chǎng)，有C；種不同的過(guò)程;

，甲隊(duì)取勝的過(guò)程種數(shù)是：1+C；+C；+C；+G1)+G；+G；=1716.

類似乙隊(duì)取勝也有同樣的過(guò)程種數(shù)

，共有1716x2=3432種不同的比賽過(guò)程.

說(shuō)明：一個(gè)排列與另一個(gè)排列的區(qū)別有兩點(diǎn)，一點(diǎn)是元素不同，另一點(diǎn)是順序不同(在

元素相同時(shí))；而一個(gè)組合與另一個(gè)組合不同點(diǎn)僅是元素不同，由此可知，排列是有順序問(wèn)

題，組合是無(wú)順序問(wèn)題.本題是一應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際確定是組合問(wèn)題.

典型例題七

例7從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：

(1)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？

(2)上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？

(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？

(4)(1)中任意兩偶然都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？

分析與解：(1)分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有種情況；第二步在5

個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有種情況；第三步3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有外種情況，

所以符合題意的七位數(shù)有CiC；.耳=100800個(gè).

(2)上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有?6/3=14400個(gè).

(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在?起的有

P：P；=P：=5760個(gè).

(4)上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5

個(gè)空檔，共有4￡3=28800個(gè).

說(shuō)明：對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，?？煞植竭M(jìn)行，先組合再排列，這是乘法原理的典

型應(yīng)用.

典型例題八

例86本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

(1)一?堆一本，一■堆兩本，一堆三本；

(2)甲得一本，乙得兩本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本；

(4)平均分給甲、乙、丙三人：

(5)平均分成三堆.

分析與解：(1)先在6本書中任取一本.作為一本一堆，有C：種取法，再?gòu)挠嘞碌奈?/p>

本書中任取兩本，作為兩本一堆，有《種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有種

取法，故共有分法C^CjCl=60種.

(2)由(1)知.分成三堆的方法有種，而每種分組方法僅對(duì)應(yīng)一種分配方法,

故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦為C：C；C；=60種.

(3)由(1)知，分成三堆的方法有種，但每一種分組方法又有廳不同的分

配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有C；C；C；8=360(種).

(4)3個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來(lái)取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有C：種，甲

不論用哪一種方法取得2本書后，已再?gòu)挠嘞碌?本書中取書有種方法，而甲、乙不論

用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有C；種方法，所以一共有

C；C：C；=90種方法.

(5)把6本不同的書分成三堆，每推二本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每

人二本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把六本不同的書，平均分成三難后，再把每次分得的三堆書

分給甲、乙、丙三個(gè)人.因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有x種，那么把六

本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)x-用種，由知，把六本不同的

書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種.

則，普5(種)

所以叫3=C；C：C；,

說(shuō)明：本問(wèn)題中的每一個(gè)小題都提出了一種類型問(wèn)題，搞清類型的歸屬對(duì)今后解題大有

補(bǔ)益，其中

(1)屬非均勻分組問(wèn)題.(2)屬非均勻定向分配問(wèn)題.

(3)屬非均勻不定向分配問(wèn)題.(4)屬均勻不定向分配問(wèn)題.

(5)屬均勻分組問(wèn)題.

典型例題九

例9有6本不同的書，分給甲、乙、丙三個(gè)人.

（1）如果每人得兩本，有多少種不同的分法：

（2）如果一個(gè)人得一本，一個(gè)人得2本，一個(gè)人得3本有多少種不同的分法；

（3）如果把這6本書分成三堆，每堆兩本有多少種不同分法.

分析與解：（1）假設(shè)甲先拿，則甲從6本不同的書中選取2本有C；=15種方法，不論

甲取走的是哪兩本書，乙再去取書時(shí)只能有=6種，此時(shí)剩下的兩本書自然給丙，就只

有=1種方法，由乘法原理得一共有C〉C：.C；=90種不同分法.

（2）先假設(shè)甲得1本，乙得2本，丙得3本則有種法，一共有

港=6x10x6=360種不同的分法.

（3）把6本書分成三堆，每堆2本，與次序無(wú)關(guān).

所以一共有管

=15種不同分法.

說(shuō)明：本題的三個(gè)問(wèn)題要注意區(qū)別和聯(lián)系，不要混淆.

6本書分給甲、乙、丙三人每人兩本和分成3堆每堆兩本是有區(qū)別的，前者雖然也屬均

分問(wèn)題，但要甲、乙、丙三個(gè)人一個(gè)人一個(gè)人的去拿，而后者屬均分問(wèn)題又是無(wú)序問(wèn)題，所

以必須除以耳.一般地，〃個(gè)元素中有々個(gè)元素（々W〃）均分成卬堆一定要除以P：：.

例如：有17個(gè)桃，分成8堆，其中一堆一個(gè)，一堆4個(gè)，另外6堆每堆都是2個(gè)，有

多少種不同的分法.

一共有L的蛆55中—種不同分法.

典型例題十

例5（1）從4名醫(yī)生中選2名，7名護(hù)士中選4名，分成兩隊(duì)，每隊(duì)1名醫(yī)生2名護(hù)士,

到甲、乙兩地巡回醫(yī)療，求安排方案有多少種？

（2）從一組共7名學(xué)生中選男生2人，女生2人，參加三種不同的活動(dòng)，要求每人參加一

種且每種活動(dòng)都有人參加的選法有648種，問(wèn)該組學(xué)生中男、女生各有多少人？

分析：（1）可以把甲、乙兩地看成兩個(gè)有順序的“空”，然后選取獲和護(hù)士填好，即分步

完成；也可采取先選取、分堆、再排列的辦法.（2）先分堆再排列.

解法一⑴：按照匣1瓦］進(jìn)行填入.第一步，先取2名醫(yī)生填入兩空，有種填法；第

二步，再取4名護(hù)士填入兩空，每空2人，有種填法，故共有安排方案

=2520種.

解法二(1)：第一步，選人，有種選法；第二步，平均分成2堆，有/A；

種分法：第三步，將兩隊(duì)分別安排到甲、乙兩地，有種方法，故共有安排方案：

C：C；=2520種.

解⑵：設(shè)男生x人，女生7—x人，則有C>C，C[A；=648,

/.x(x-1)(7-x)(6-x)=72,XGN且24xW5.

,x=3或x=4.

.??男生有3人，女生4人或男生4人，女生3人.

說(shuō)明：本題是排列與組合的綜合題.涉及到分堆、再全排列的問(wèn)題.方法呆以是選人一

分堆一排列，也可以直接用分步法解.第(2)小題中在解未知數(shù)x時(shí)，應(yīng)注意到x是正整數(shù)

且24x45范圍限制，可以使用還個(gè)驗(yàn)證的辦法驗(yàn)證出來(lái).

典型例題H^一

例11四個(gè)不同的小球，全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中.

(1)隨便放(可以有空盒，但球必須都放入盒中)有多少種放法？

(2)四個(gè)盒都不空的放法有多少種？

(3)恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

(4)恰有兩個(gè)空盒的放法有多少種？

(5)甲球所放盒的編號(hào)總小于乙球所放盒的編號(hào)的放法有多少種？

分析：(1)注意合理的分類；(2)可以用前面例題中先分堆再排列的方法.

解：(1)由于可以隨便放，故每個(gè)小球都有4種放法，所以放法總數(shù)是

4x4x4x4=44=256種.

(2)將四個(gè)小球全排列后放入四個(gè)盒子即可，所以放法總數(shù)是=24種.

(3)由題意，必然四個(gè)小球放入三個(gè)盒子中.分三步完成：選出三個(gè)盒子：將四個(gè)小球

分成三堆；將三堆小球全排列后放入三個(gè)盒子.所以放法總數(shù)是：C：414：=144種.

(4)由題意，必然四個(gè)小球放入2個(gè)盒子中.

解法一：分三步完成：選出兩個(gè)盒子；將四個(gè)小球分成兩堆；將兩堆小球全排列放入兩

個(gè)盒子.所以放法總數(shù)是：

C<.f+c：.c；?否=84種.

I&J

解法一：分兩步完成：選出兩個(gè)盒子；將四個(gè)球隨便放入兩個(gè)盒子(可以有空盒子)，

然后剔除四個(gè)球只放入一個(gè)盒子的情形.因此，放法總數(shù)是

.(24-2)=84種.

(5)分三類放法.

第一類：甲球放入1號(hào)盒子，即座亡3HL則乙球有3種放法(可放入2,3,4號(hào)盒子),

其余兩球可以隨便放入四個(gè)盒子，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是3x4?；

第二類：甲球放入2號(hào)盒子，即門中II1,則乙球有2種放法(可放入3,4號(hào)盒子),

其余兩球隨便放，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是2x42；

.1.2.3.4.

第三類：甲球放入3號(hào)盒子，即「II申II,則乙球只有1種放法(放入4號(hào)盒子)，其

余兩球隨便放，有42種放法.故此類放法的種數(shù)是1x42.

綜上，所有放法的總數(shù)是：(3+2+1)x42=96種.

本題也可這樣理解：先選出兩個(gè)盒子放入甲、乙兩球，有。：xl種放法：另外兩球隨便

放，有42種放法，由乘法原理，所有放法的總數(shù)是C：xlx42=96種.

說(shuō)明：“小球放入盒子”是一種常見(jiàn)的、基本的數(shù)學(xué)模型，很多問(wèn)題實(shí)際上都可以化歸

到這種模型去解決，雖然表面上看來(lái)可能相距很遠(yuǎn)。當(dāng)然，小球放入盒子會(huì)有各種限制條件,

應(yīng)注意恰當(dāng)?shù)胤诸惢蚍植?下面的例2即是采用這種思想.

典型例題十二

例12/是集合P={a,匕，c,d,e}到集合0={0,1,2}的映射，滿足

f(a)+f(b)+/(c)+/(</)+/(e)=5的映射有多少個(gè)?

分析：根據(jù)映射的定義，P中的每一個(gè)元素在。中都有唯一的一個(gè)像，可以把

a,b,c,d,e五個(gè)元素想象成五個(gè)“小球”，把0,1,2三個(gè)元素想象成三個(gè)盒子，只要把五

個(gè)小球全部放入盒子中(隨便放)，便可得到一個(gè)映射，因?yàn)槊恳粋€(gè)“小球”都對(duì)應(yīng)著唯一

的一個(gè)盒子.

解：將0,1,2三個(gè)元素設(shè)想為0號(hào)盒、1號(hào)盒和2號(hào)盒三個(gè)盒子,只要5個(gè)元素

a,b,c,d,e全部放入盒子(允許有空盒)便可得到1個(gè)映射.設(shè)放入1號(hào)盒的元素個(gè)數(shù)為x,

放入2號(hào)盒的元素個(gè)數(shù)為y,則放入0號(hào)盒的元素個(gè)數(shù)為5-x-y個(gè)，04x,yW5.則有

f(a)+f(b)+f(c)+f(d)+f(e)=0-(5-x-y)+l-x+2-y=x+2y,

由條件x+2y=5,考慮到x,ywN且0Kx,y45,

==

故上述方程的解是《x\x=3,x5,

7=2,[y=l,[y=0.

因此滿足條件的元素的放法有三類.

第一類：放入1號(hào)盒1個(gè)元素，放入2號(hào)盒2個(gè)元素，其余元素放入0號(hào)盒，放法種數(shù)

是：

■30種.

第二類：放入1號(hào)盒3個(gè)元素，放入2號(hào)盒1個(gè)元素，其余元素放入0號(hào)盒，放法種數(shù)

是：

=20種.

第三類：全部5個(gè)元素都放入1號(hào)盒，放法種數(shù)為1種.

所以放法總數(shù)為30+20+1=51種.

故符合條件的映射有51個(gè).

說(shuō)明：該題把映射問(wèn)題巧妙地抽象為“小球放入盒子”問(wèn)題，使問(wèn)題更加形象且易于把

握.事實(shí)上排列組合中的不少問(wèn)題可進(jìn)行類似的抽象，把一個(gè)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的

問(wèn)題去解決.另外，應(yīng)注意排列組合中不定方程的整數(shù)解的解法，在中學(xué)階段大多采用逐個(gè)

驗(yàn)證的方法求其解.

典型例題十三

例13如圖所示，4、B、C、D、E為5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)備有5種顏色為5個(gè)區(qū)域涂色,

涂色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域只涂一色.共有多少種不同的涂色方法？

分析：顯然4處于中央，與其他區(qū)域都相接，因此它的地位比較特殊，應(yīng)優(yōu)先考慮.本

題可分解為三類涂法：用5顏色涂；用4種顏色涂；用3種顏色涂.顯然用2種顏色涂不可

能.

解：本題有三類涂法.

第一類：用5種顏色涂，顯然有￡=120種涂法.

第二類：用4種顏色涂，顯然有2類涂法：8與。涂同一色，其余三區(qū)各涂一色；C與

E涂同--色，其余三區(qū)各涂一色，故涂法種數(shù)是

C〉C：C，2=240（C；是指先選出4種顏色）.

第三類：用3種顏色涂，那么B與。、。與E、A三部分區(qū)域各涂一色，故有

=60種涂法（C1是指先選出3種顏色）.

綜上，涂法總數(shù)是：120+240+60=420種.

說(shuō)明：給圖形涂色問(wèn)題與具體的圖形開(kāi)關(guān)有關(guān)，需要仔細(xì)分析圖形特征.另外，對(duì)有些

題目，一眼看去好像很繁雜，無(wú)從下手；這時(shí)我們可以從最簡(jiǎn)單的研究起，然后逐次研究其

他的問(wèn)題.比如本題最簡(jiǎn)單的情況是5種顏色5個(gè)區(qū)域；復(fù)雜的情況是4種顏色、3種顏色

涂5個(gè)區(qū)域.復(fù)雜的問(wèn)題分解之后往往就會(huì)變得簡(jiǎn)單，然后先從最簡(jiǎn)單的情況研究起——這

是一種常用的解題策略.

典型例題十四

例14填空：+-+=

解法1：原式=C；&+C港+…+C益&

=（C；+4+《+《+…+C盆-煤）?

=（C；+C；+…

=（。土—C）.九

=2。百—2

=333298

解法2：由C*=C：+C：T.

?in—1_c”「m?z^?2_^?3

C

,?/?=L”+l_，??c3=c4-c3.

z^2廠3廠3廠2廠3廠3「2「3

—-

C4=5C4,C5=c6—C5>...........,5Go=CI0IV|00

以上各式都加得：（C；+c；+c：+c；+…+c*=G\-c；

，A；+A：+痣+…+A髭=（C；+C：+…+Gio）?A；

（C-C^）-A；

（*一1）?&=333298

A"'

說(shuō)明：本題解答過(guò)程中應(yīng)用了公式即A："=C：-A：要熟悉此公式，注意在

相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用.

典型例題十五

例15證明下列各等式：

（1）C=-C^';⑵/=瞥制;⑶小―…+C篇T=?

mn+l

、一e一上〃（〃-1）!

證明：（1）右邊=----------------------------

m（加-1）一（加—1）］!

_n!

［m-（m-l）!］（〃一〃［）!

幾?

=--——=c：=左邊，，原式成立.

m!（n-m）!

⑵右邊=3.---------史皿---------

〃+1（m+1）!［（n+l）-（m+1）］!

（）

=-m--+--1-------n-+--l--!-----

〃+1（m+1）!（〃一帆）！

Y\I

=--——=c：=左邊

m!（〃一〃?）！

，原式成立.

（3）左邊=（C,+C：M）+%+比+3+…+C*

=（4+%）+以3+…+CL

=（c3+c3）+,??+C；：L

=c"+c：+4+???+/：*

=c：;3+cMi=c：：：=右邊

二原式成立.

說(shuō)明：⑴對(duì)于（3）關(guān)鍵一步C：變成C%有C：=C\=1,再反復(fù)運(yùn)用利用定理2,逐步

化簡(jiǎn)式子即可得證.

(2)也可利用C：+i=C；：'+C『將等式右邊C：二一項(xiàng)拆成二項(xiàng)，反復(fù)使用此公式即可得

證.請(qǐng)自己證明.

⑶此題中③式的變形為：c；+c：+1+c；；+2+…+.

典型例題十六

例16完成下列各填空題：

(1)平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，過(guò)這9

個(gè)點(diǎn)可以作個(gè)三角形.

(2)空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無(wú)任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)可決定多少個(gè)不

同的平面.

解：(1)把9個(gè)點(diǎn)分為兩類：

第一類為共線的4個(gè)點(diǎn)；

第二類為其余的5個(gè)點(diǎn)；

從第二類中任意選取三個(gè)點(diǎn)，可作個(gè)三角形；

從第一類中任意選取一個(gè)點(diǎn)，從第二類中任意選取2個(gè)點(diǎn)，可作個(gè)三角形；

從第一類中任意選取2個(gè)點(diǎn)，從第二類中任意選取1個(gè)點(diǎn)，可作個(gè)三角形.

利用分類計(jì)數(shù)原理，可得總共可作三角形個(gè)數(shù)為C；+C：+C：=80(個(gè)).

注意：本題也可解為C；—C：=80(個(gè))，請(qǐng)你加以解釋.

,應(yīng)填：80.

(2)這個(gè)問(wèn)題可分四類加以考慮.

①5個(gè)共面點(diǎn)決定1個(gè)平面；

②5個(gè)共面點(diǎn)中任何2個(gè)點(diǎn)和其余7個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)決定7C；個(gè)平面；

③5個(gè)共面點(diǎn)中任一點(diǎn)和其余7個(gè)點(diǎn)中任意2個(gè)點(diǎn)決定5C；個(gè)平面；

④7個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)決定個(gè)平面.

總共決定平面的個(gè)數(shù)為1+7C：+5C；+=211(個(gè))

,應(yīng)填：211

說(shuō)明：這題是利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題，要注意將已知條件中的元素分成幾

類.而在解決此問(wèn)題時(shí)，又使用的分類方法，至于怎樣確定分類標(biāo)準(zhǔn)，這是一難點(diǎn)，比如，

①中確定三角形，必確定不共線的三點(diǎn).這三點(diǎn)可全部來(lái)源于不共線5點(diǎn)，也可其一來(lái)源于

不共線5點(diǎn)，還可其二來(lái)源于那5點(diǎn)，這樣分成三類.

典型例題十七

例17車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既

能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理?臺(tái)機(jī)床，問(wèn)

有多少種選派方法.

解法1：設(shè)A、B代表2位老師傅.

A,8都不在內(nèi)的選法有：C，C：=5種；

A,8都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選法有：=種；

A,6都在內(nèi)且當(dāng)車工的選法有：C；C；C：=30種；

4,8都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選法有：用C：C；=80種；

A,8有一人在內(nèi)當(dāng)鉗工的選派方法有：C；C；C：=20種；

A,8有一人在內(nèi)當(dāng)車工的選派方法有：C；C；C：=40種；

，共有C；?C：+-C：+C2C5C4+C；A；C；C：+C2C5C4+C2C5C4=185（種）.

解法2：5名鉗工有4名選上的派出方法是：C；C：+C；C；C；+C；C：C；=75種；

5名鉗工有3名被選上的方法是：C/C4C2+C5CM2=I。。；

5名鉗工有2名被選上的方法是：C；C；C：=10種.

一共有75+100+10=185（種）

解法3：4名女車工都在的選派方法：C：C；+C4C5C2+C：C；A；=35種；

4名女車工有3人在內(nèi)的派選方法：C：C；C；+=120種；

4名女車工有2名在內(nèi)的派選方法：C：C；C；=30種；

一共有35+120+30=185（種）.

說(shuō)明：解法1是以老師傅為主考慮的；解法2是以鉗工為主考慮的；解法3是以車工為

主考慮的.

典型例題十八

例18有11名翻譯人員，其中5名會(huì)英語(yǔ)，4名會(huì)口語(yǔ)，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都會(huì)，

從中選出8人，組成兩個(gè)翻譯小組，4人譯英語(yǔ)，另4人譯日語(yǔ)，同一個(gè)人不能參加兩個(gè)小

組，有多少種不同的選派方法？

分析：本題是排列組合應(yīng)用題中典型的選派問(wèn)題，本題的困難主要在于對(duì)兩個(gè)語(yǔ)種都會(huì)

的兩個(gè)人的處理，由于1個(gè)人不能同時(shí)參加兩個(gè)小組，所以1個(gè)人不能既充當(dāng)英語(yǔ)、又充當(dāng)

日語(yǔ)翻譯，也就是說(shuō)本題不能按從7名英語(yǔ)翻譯中選4人，從6名日語(yǔ)翻譯中取4人來(lái)處理,

正確解決問(wèn)題的方法是先就兩個(gè)語(yǔ)種都會(huì)的兩個(gè)人（特殊元素）的選用情況進(jìn)行分類.

解：按兩個(gè)語(yǔ)種都會(huì)的兩個(gè)人的選用情況分類：

兩個(gè)人都不參加，這時(shí)有種用法.

兩個(gè)人參加1人，這時(shí)還有該人參加英語(yǔ)或日語(yǔ)翻譯兩種情況，這時(shí)有

種用法.

兩個(gè)人都參加，這時(shí)有3種情況，都參加英語(yǔ)、都參加日語(yǔ)、或者分別參加一種.

這時(shí)有CjC：+?C：?A；種用法.

用分類計(jì)數(shù)原理，共有不同的選派方法總數(shù)為：

C"C：+C；CC+C；C；C+C；C+C；C+C；C.A；=185（種）.

說(shuō)明：本題處理起來(lái)看似雜亂，分類的情況較多，實(shí)際上整個(gè)過(guò)程都是圍繞兩名英日語(yǔ)

都會(huì)的“多血手”的選用進(jìn)行的，這種抓特殊對(duì)象處理的手段在我們組合類應(yīng)用題中隨處可

見(jiàn).

典型例題十九

例19有6個(gè)人住進(jìn)5個(gè)房間，分別按照下列要求，有多少種不同住法？

（1）每個(gè)房間至少一個(gè)人；

（2）5個(gè)房間恰好空出一間不住人.

分析：每個(gè)房間至少一個(gè)人，則正好一個(gè)房間兩個(gè)人，其它房間各1人，可以先安排兩

個(gè)人進(jìn)此房間.5個(gè)房間空出一間，則有兩種可能的結(jié)果，一種是一間3個(gè)人，3間各1人,

另一間空著，還有一種可能結(jié)果是有兩間各住兩人，另兩間各住1人，另一間空著.

解：（1）先從6人中選出兩人進(jìn)某一房間，其余4人每人進(jìn)一間，不同的進(jìn)房方法共有:

C；C-A：=1800（種）.

（2）按條件不同的住房方法有兩類：

第一類:3個(gè)人住一間房，3個(gè)人各住一間，另一間空，不同的方法共有：C；-Cl-Al-Cl

（種）.

第二類：兩間房各進(jìn)兩人，另兩間各1人，另一間空，不同的進(jìn)房方法共有：

.（:；.￡（種）.

用分類計(jì)數(shù)原理，所有滿足要求的住房方法共有：

C；.C；.A；.C：+C]C；.C〉C；.A；=7800（種）.

說(shuō)明：對(duì)于每個(gè)房間至少1人的情況，也可能這樣考慮，先從6個(gè)人中任選5人住進(jìn)5

個(gè)房間，最后一人任進(jìn)一個(gè)房間，這樣得到的結(jié)