第二章 2．1-教案課件-人教版高中數(shù)學必修第一冊

第㈡章一元二次函數(shù)、方程和不等式

DIERZHANG2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

標BLL±±J(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)，能

運用不等式的性質(zhì)比較大小2能運用不等式的性質(zhì)證明不等式和解決簡單的實際

問題.

教學重點：1.不等式的性質(zhì)2用不等式的性質(zhì)證明不等式.

教學難點：用作差法比較代數(shù)式的大小.

核心概念掌握

【知識導學】

知識點一等式的性質(zhì)

(1)如果a=b,那么a+c=b+c.

(2)如果a=b,那么ac=bc或2=g(cWO).

(3)如果a=b,b=c,那么Q=C.

知識點二作差比較法

(1)理論依據(jù)：回〃—；逗［q—b=0-a=b；畫a—b<Oga〈b.

(2)方法步驟：①螞作差;②暨整理;③螞判斷符號;④螞下結(jié)論.

知識點三兩個實數(shù)大小的比較

(1)?>/?<=>回q-h>0；

⑵a=ga—(園=0；

(3)圓a<b^a—b<Q.

知識點四不等式的性質(zhì)

(1)如果。>人，那么人<〃；如果/?<〃，那么回a>b,即國a>bQb<a.

(2)如果a>/?,且b>c,那么畫a>c,即a>Z?,b>c=國Qc.

(3)如果a>h,那么a+c圓明+c.

(4)如果a>。，c>0,那么ac國*c；如果a>。，c<0,那么ac回:1c.

(5)如果a>b,c>d,那么a+c幽次+”.

(6)如果a>b>0,c>d>Q,那么ac圓沙d；

如果a>b>0,c<d<0,那么ac園pd.

⑺如果a>0>0,那么相回沙(“GN,”22).

⑻如果園a乂>>0,那么%>g^(〃6N,422).

【新知拓展】

1.關(guān)于不等式性質(zhì)的理解

兩個同向不等式可以相加，但不可以相減，如a>A,c>d不能推出a—c>b—

d.

2.常用的結(jié)論

(l)a>b,ab>00:</

,11

⑵。<0<a=>?"

(3)a>b>0,c>d〉O今》，；

a+機aa-mbb+mbb-m

(4)右a>b>0,m>0,則大乙工；7<T(Z>—7n>0)；-<,；->(b—m>0).

bb+mbb-maa+maa-m

3.比較大小的方法

比較數(shù)(式)的大小常用作差與0比較.

作差法中常用的變形手段是分解因式和配方等恒等變形，前者將“差”化為

“積”，后者將“差”化為一個完全平方式或幾個完全平方式的“和”，也可二

者并用.

4.利用不等式求范圍應(yīng)注意的問題

求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進行求解，同向不等式具

有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避

免改變代數(shù)式的取值范圍.

評價自嬲

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)若/=0,貝Ux20.()

(2)兩個實數(shù)a,b之間，有且只有a>。，a=b,三種關(guān)系中的一種.()

(3)若a>b,則ac2)｝好.()

(4)若a>b>0,貝心>(.()

(5)若x>l,則2+2x與x2+2的大小關(guān)系為r+ixAd+Z』)

答案(1)V(2)V(3)X(4)X(5)J

2,做一做

(1)已知a+b>0,b<0,那么a,b,~a9—b的大小關(guān)系是()

A.a>b>-b>——aB.a>-b>——a>b

C.a>—h>h>—aD.a>b>—a>~b

⑵設(shè)。<Q,d<c,則下列不等式中一定成立的是()

A.a-c>h—dB.ac>hd

C.a+c>h+dD.a+d>b+c

(3)已知xvl,則f+2與3x的大小關(guān)系是.

答案(1)C(2)C(3)f+2>3x

I核心素養(yǎng)形成I

題型一作差法比較大小

例1比較下列各組中兩數(shù)的大小：

(1)已知a,b為正數(shù)，且比較〃+護與蘇匕+加卷

⑵已知x<l,比較丁一1與浮一2人；

?一114

(3)已知x,y均為正數(shù)，設(shè)m=(+］,〃=百不比較m與〃的大小.

［解］(1)(蘇+護)一(〃2。+加2)

=蘇+匕3-〃2。一〃匕2

=/(〃~b)———b)

=(a—8)(〃2——從)

=(a-b)2(a+b).

Va>0,b>0且aW/?,(a—b)2>0,a+Z?>0,

/.(^3+Z?3)-(?2Z?+^2)>0,即a^+b^h+ab2.

(2)/—1—(2X2—2X)=X3-2JC2-1-2X—1

=(^—X2)—(X2-2X+l)=x2(x-1)—(%—I)2

=(x—IXx2—x+l)=(x-1).

Vx<l,J.x—1<0.又Q-，2+［>o,

(x—1)1%—<。，?'??X3—1<2幺-2x.

__11_4_x+y_4_(x+y)2_4ry_(x_y)2

().m〃一彳十yx+y~xyx+y~~孫(x+y)-xX^+y)>

又x,y均為正數(shù)，

Ax>0,y>0,xy>0,x+y>0,(%—y)220.

...相一〃>0,即m2〃(當x=y時，等號成立).

［變式探究］若將本例⑵中“廣1”改為“x￡R”，則x3-1與2^-2%的大小

又如何呢？

解由例題知x3—1—(2f—2x)=(x—1)(%―，)2+(，二?1—0之++乂)，

???當x—1<0,即xvl時，%3-1<2JT—2x；

當x—1=0,即x=l時，X3—1=2x1—2x；

當x—1>0,即尤>1時，%3—1>2^—2x.

金版點睛

作差比較法的四個步驟

[跟蹤訓練1](1)比較r+6x與f+6的大小;

(2)已知a,x=a3~b,y=c^b~a,試比較了與y的大小.

解(l)(x3+6x)—(x2+6)=x(x2+6)—(^+6)=(^—l)(x2+6).

Vx2+6>0,

當x>l時，X3+6X>JC2+6；

當x=l時，X3+6X=X2+6；

當x<\時，A3+6X<JT+6.

(2)x^y=ai-b—crh+a=a2(a—h)+a—h

=(。一力(。2+1).

當時，x—y>0,所以x>y；

當a=Z?時，x—y=O,所以x=y；

當a〈Z?時，x—yVO,所以xVy.

題型二不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

例2下列命題正確的是

且c>O^a>h；

@a>b且c>d^ac>bd\

③〃泌>0且c>d>O0

b、,

尸。泌.

[vI]

[解析]①ab，=>-<^;當a<0,抗>0時，滿足已知條件，但推不出。泌,

lc〉O、’‘

二①錯誤.

②當a=3,h=l,c=—2,d=-3時，命題顯然不成立....②錯誤.

③U/X）今a武b>°今7[丁ci/成[b立.，③_正確.

④顯然/>0,.,.兩邊同乘以0?得a>8..,.④正確.

[答案]③④

金版點睛

解決這類問題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實質(zhì)是看是否滿足性質(zhì)所

需的條件，若要判斷一個命題是假命題，可以從條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)

論，也可舉出一個反例予以否定.

[跟蹤訓練2](1)判斷下列命題是否正確，并說明理由：

①若色弓，則ad>bc-,

②設(shè)a,為正實數(shù)，若a—><。一"，則a<b.

⑵若a<XO,分別判斷下列式子是否成立，并簡述理由:

解⑴①由臀，所以：一30,

ad-he”,ad~bc>0,ad~bc<0,

即~^°，所以或

cd>0cd<0.

即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0,故不正確.

②因為〃一一<。一"，且〃>。，。>。，所以—b<ab1—a^c^b—ab2~b+a<0

^ab(a-b)+(a~b)<O=>(a—b)(ab+1)<0,所以a~b<0,即a<b正確.

(2)①成立.由a<b<0得a<a~b<0,

［1

所以a-b^a'

②成立.因為中。<0,所以a+〃<〃<0,

所以*4

題型三利用不等式的性質(zhì)證明不等式

例3(1)已知e>f,c>0,求證：f—ac<e-bc\

(2)已矢口c<d<G,求證：~^~<ja,；

a-cb-d

、八一a+Z7/+d

(3)已知be—a43兒/>0.求證：W《/.

［證明］c>0,ac>bc.

-ac<—hc.

,:卜e,:?于一ac<e——be.

(2)c<d<0,/.-c>—d>0.

又a>b>0f，a—c>b—d>0.

.11_八,ha

??0<----<7―^再由??---<7-

a-cb—da-cb-a

⑶?"c-a心0,:.adWbc,又?：bd>0,

??<￡.￡|<￡|?a+bc+d

++丁w

金版點睛

利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)與技巧

(1)實質(zhì)：就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式進行變形，要注意不等式的性質(zhì)成

立的條件.

(2)技巧：若不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)

構(gòu).然后利用不等式的性質(zhì)進行逆推，尋找使其成立的充分條件.

［跟蹤訓練3］⑴已知c>aM>0,求證：，-〉々；

c-ac-b

11Yv

(2)已知a,b,x,y都是正數(shù)，且犬>p，求證：不上

證明⑴:。〉〃，/.—a<—b,又c>a>〃>0,0<c—a<c—b,

--~>-^>0.又a>h>0,「?a>b

c-ac-bc-ac-b

⑵Ta,b,x,y都是正數(shù)，且懸，心》「J小故則￡+1彳+屋即

Xy.

題型四利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

例4(1)已知2<aW5,3〈b<10,求a—b,稱的取值范圍;

(2)已知一畀冰”芍，求因斐，氣粗的取值范圍.

［解］(l)V3^<10,???-10<一"W—3.

乂2<nW5，/.——8<。——

1111a5

又<w-<V-

-3-5g、3

10

兀

兀

一

2一2

兩式相加得一

河嗡牛一然

，■=.TI_a—fin

兩式相加得一

pa-B?t一a—0

又a<￡,；.一%匕<0,/.—-^-j-<0.

［變式探究］將本例(1)中，條件不變，求a+江必的取值范圍.

解由2?zW5,3W0V10得

2+3<a+/?<5+10,2X3<aZ?<5X10,

即5<a+h<l5,6<ah<50.

金版點睛

利用不等式的性質(zhì)求取值范圍應(yīng)注意的問題

本題中不能直接用a的范圍去減或除人的范圍，應(yīng)嚴格利用不等式的性質(zhì)去

求范圍；其次在有些題目中，還要注意整體代換的思想，即弄清要求的與已知的

"范圍”間的聯(lián)系.如已知20Vx+y<30,15Vx—yV18,要求2x+3y的范圍，

不能分別求出x,y的范圍，再求2x+3y的范圍，應(yīng)把已知的“x+y”“x-y”

視為整體，即2x+3y=*x+y)—g(x—y),所以需分別求出界+y),—g(x—y)的范

圍，兩范圍相加可得2x+3y的范圍.“范圍”必須對應(yīng)某個字母變量或代數(shù)式，

一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找

到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求.

［跟蹤訓練4］已知l，-bW2,且2Wa+bW4,求4a—2b的取值范圍.

解令a+/?=〃，a~b=v,

則2W〃W4,1，W2.

//+u

由解得1

a-b=v,

「2?

,、，U~\~VU-V

因t為4〃-2/?=4蘆］--2?廣一

=2〃+2。-〃+0=4+3。,

而2W〃W4,3W3oW6,

所以5W〃+3oW10.

所以5W4a—2bW10.

隨堂水平達標

1.若m=f—1,n=2(x+1)2—4(x+1)+1,則m與〃的大小關(guān)系是()

A.m<nB.m>n

C.m^nD.mW幾

答案D

解析n—m=x2^O,:.n》m.

2.設(shè)a,b,c,JGR,貝lj()

A.a>b,c=cic^bd

—ab、f

cc

C.。歷>o=>l<工

ab

11

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