《函數(shù)基本初等函數(shù)》復習導引（一）

《函數(shù)、基本初等函數(shù)》復習導引（一）函數(shù)是高中數(shù)學中極為重要的內(nèi)容，函數(shù)的觀點和方法貫穿了整個高中數(shù)學，是高中數(shù)學的一條主線.歷年高考中都對函數(shù)進行重點考查，在選擇題、填空題和解答題三大題型中都有函數(shù)試題.高考重點考查的內(nèi)容有：函數(shù)的概念、函數(shù)的解析式、函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，函數(shù)的圖象和圖象變換及以基本初等函數(shù)為載體的綜合題和應用題.所以在復習函數(shù)時應以復習基礎知識、強化函數(shù)應用、培養(yǎng)能力為重點.１.函數(shù)及其表示（１）函數(shù)由定義域、值域、對應關(guān)系構(gòu)成.其中對應關(guān)系是核心，定義域是根本.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致（即對于相同的自變量其所對應的函數(shù)值相等）時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù).要特別注意：研究函數(shù)時，必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則.（２）求函數(shù)定義域時，一般應遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù)；②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)；③為偶次根式時，定義域是使被開方數(shù)為非負值時的實數(shù)的集合；④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零；且當對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于１；⑤零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；⑥若是有限個基本函數(shù)運算合成的函數(shù)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集；⑦對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為［a，b］，其復合函數(shù)的定義域應由不等式a≤≤b解出；⑧對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論；⑨由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.（３）函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則.求函數(shù)值域常用的方法有：配方法、換元法、判別式法、單調(diào)性法、基本不等式法、利用函數(shù)的有界性、數(shù)形結(jié)合法等，但不論采用什么方法求值域，均應考慮其定義域.另外，還要特別注意，在利用配方法、基本不等式、判別式法求值域時，一定要注意等號是否成立，必要時需注明等號成立的條件.（４）函數(shù)的最值與函數(shù)的值域有著密切的聯(lián)系.事實上，如果在函數(shù)值域中存在一個最大（?。?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最大（小）值.函數(shù)的最大（?。┲担瑢嶋H上是函數(shù)圖象的最高（低）點的縱坐標，因而有時借助函數(shù)圖象的直觀性可直接得出函數(shù)的最值，另外要注意函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)最值的影響，尤其是對于閉區(qū)間上函數(shù)的最值.比如定義在閉區(qū)間［m，n］上的函數(shù)，若單調(diào)遞增，則它的最小、最大值分別為.對于單調(diào)性不確定的函數(shù)要進行分類討論.（５）解析法、列表法和圖象法是函數(shù)的三種常用表示方法.求函數(shù)的解析式一般有四種情況：①根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系式，這種情況需引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學的有關(guān)知識找出函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)題中給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是二次函數(shù)，可設為，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設條件，列出方程組，解出a，b，c即可；③換元法求解析式，由求的問題，往往可設，從中解出，代入進行換元求解；④解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除了是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出.２.函數(shù)的基本性質(zhì)（１）函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)單調(diào)性定義，應注意下列幾點：①函數(shù)的單調(diào)性只能在其定義域內(nèi)討論；②單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性；③定義中的具有任意性，若要證明在區(qū)間［a，b］上是遞增或者遞減的，就必須證明對區(qū)間上任意的兩點，當時都有不等式或.若要證明在區(qū)間［a，b］上不是單調(diào)函數(shù)，只要舉出反例即可；④判斷函數(shù)的單調(diào)性，首先必須明確函數(shù)的定義域.在定義域上如果有多個單調(diào)區(qū)間，區(qū)間之間用“、”分開或用“和”相連，不能用“∪”.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：①定義法；②兩個增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；③奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性.（２）函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式：.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之亦真.因此也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.若奇函數(shù)的定義域含有數(shù)０，則必有.若是偶函數(shù)，則.在處理有關(guān)問題時，常用到以下幾個結(jié)論：①兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；②兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；③兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；④兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；⑤一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，包括判斷一個函數(shù)是奇函數(shù)，或者是偶函數(shù)，或者既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，或者既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).在解題過程中要注意挖掘函數(shù)的奇偶性特征，為解決問題提供方便.３.函數(shù)的圖象與性質(zhì)（１）若函數(shù)滿足，則函