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文檔簡介
第二節(jié)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定課時1基礎(chǔ)題1.(2023上海)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是(
)A.AB∥CD
B.
AD=BC C.∠A=∠B
D.
∠A=∠D2.(2023自貢)如圖,邊長為3的正方形OBCD兩邊與坐標軸正半軸重合,點C的坐標是(
)A.(3,-3) B.(-3,3)C.(3,3) D.(-3,-3)第2題圖CC3.(2022玉林)若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是正方形,則四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD一定是(
)A.互相平分 B.互相垂直C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等4.(2023深圳)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時,則a的值為(
)A.1
B.2
C.3
D.4第4題圖DB5.(2023十堰)如圖,將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD,然后向左扭動框架,觀察所得四邊形的變化.下面判斷錯誤的是(
)A.四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝.對角線BD的長度減小C.四邊形ABCD的面積不變D.四邊形ABCD的周長不變第5題圖C6.
如圖,菱形ABCD中,點E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點,EF=2,BD=8,則該菱形的面積為(
)A.12 B.16 C.20
D.327.(2023杭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.若∠AOB=60°,則
=(
)A.
B.
C.
D.
第6題圖第7題圖BD8.(2023大慶)將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,則β=(
)A.45°+
α
B.45°+
αC.90°-
α
D.90°-
α9.(2023河北)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,點M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,則S△ABC=(
)A.4
B.8
C.12
D.16第8題圖第9題圖DB10.[新考法—條件開放](2023齊齊哈爾)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點O.請?zhí)砑右粋€條件:________,使四邊形ABCD成為菱形.第10題圖AD∥BC11.(2023懷化)如圖,點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點,PE⊥AD于點E,PE=3.則點P到直線AB的距離為___.第11題圖312.(2023紹興)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,連接AC,以點A為圓心,AC長為半徑作弧,交直線AD于點E,連接CE,則∠AEC的度數(shù)是__________.13.(2023河南)矩形ABCD中,M為對角線BD的中點,點N在邊AD上,且AN=AB=1.當以點D,M,N為頂點的三角形是直角三角形時,AD的長為________.第12題圖10°或80°
解題關(guān)鍵點第13題:當以點D,M,N為頂點的三角形是直角三角形時,則需分點N和點M分別為直角頂點兩種情況討論.14.[新考法—條件開放](2023十堰)如圖,?ABCD的對角線AC,BD交于點O,分別以點B,C為圓心,
AC,
BD長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接BP,CP.(1)試判斷四邊形BPCO的形狀,并說明理由;第14題圖解:(1)四邊形BPCO為平行四邊形.理由如下:由作法得,BP=AC,CP=BD,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴OC=AC,OB=BD,∴OC=BP,OB=CP,∴四邊形BPCO為平行四邊形.第14題圖(2)請說明當?ABCD的對角線滿足什么條件時,四邊形BPCO是正方形?(2)當?ABCD的對角線垂直且相等時,四邊形BPCO為正方形.理由:∵AC⊥BD,∴四邊形BPCO為矩形,∵AC=BD,∴OB=OC,∴四邊形BPCO為正方形.第14題圖15.
如圖,在平行四邊形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在邊BC,AD上,且BE=DF,連接AE,CF,EH⊥CF于點H,F(xiàn)G⊥AE于點G.(1)判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;第15題圖解:(1)四邊形EGFH是矩形.理由如下:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC.∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,∴AF=CE,∴四邊形AECF是平行四邊形,∴AE∥CF,∴∠AEH+∠FHE=180°.∵EH⊥CF,F(xiàn)G⊥AE,∴∠FGE=∠FHE=∠GEH=90°,∴四邊形EGFH是矩形;第15題圖(2)若AE=5,tan∠DAE=2,EG=2GF,求AG的長.(2)∵FG⊥AE,∴∠AGF=90°.在Rt△AGF中,tan∠DAE==2,∴GF=2AG.∵EG=2GF,∴EG=4AG.∵AE=AG+EG=5,∴AG=1,即AG的長為1.第15題圖拔高題16.(2022青羊區(qū)模擬)我們規(guī)定菱形與正方形接近程度稱為“接近度”,設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為α,β,將菱形的“接近度”定義為|α-β|,于是|α-β|越小,菱形越接近正方形.①若菱形的一個內(nèi)角為80°,則該菱形的“接近度”為____;②當菱形的“接近度”等于___時,菱形是正方形.第16題圖20°0°課時2基礎(chǔ)題1.(2023湘潭)如圖,菱形ABCD中,連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為(
)A.20°
B.60°
C.70°
D.80°2.如圖,在菱形ABCD中,AC,BD為菱形的對角線,∠DBC=60°,BD=10,點F為BC中點,則EF的長為(
)A.3
B.4
C.5
D.6第1題圖第2題圖CC3.
如圖所示,將一張矩形紙片沿虛線對折兩次,當剪刀與紙片的夾角∠ABC=45°時,已知AB=4cm,則剪下來圖形的周長為(
)A.4cm
B.4
cm C.16cm
D.16
cm4.(2022青島改編)如圖,O為正方形ABCD對角線AC的中點,△ACE為等邊三角形.若AB=2,則OE的長度為____.第3題圖第4題圖D5.[新考法—數(shù)學文化](2023內(nèi)江)出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一,最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形,任意切成多塊小圖形,幾何圖形的總面積保持不變,等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對角線AC與BD交于點O,點E為BC邊上的一個動點,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為點F,G,則EF+EG=___.第5題圖
解題關(guān)鍵點連接OE,可知S△BOC=S△BOE+S△COE,∵△BOE和△COE底邊OB和OC相等,∴求EF+EG之和轉(zhuǎn)化為求△BOC的面積問題.6.(2023天津)如圖,在邊長為3的正方形ABCD的外側(cè),作等腰三角形ADE,EA=ED=
.(1)△ADE的面積為___;(2)若F為BE的中點,連接AF并延長,與CD相交于點G,則AG的長為____.第6題圖3
解題關(guān)鍵點第6(1)題:結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),作AD邊上的高線是關(guān)鍵;第6(2)題:結(jié)合(1)中AD邊上的中點,構(gòu)造△ADG的中位線即可求解.7.(2023內(nèi)江)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F.(1)求證:FA=BD;第7題圖證明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.又∵E是AD的中點,∴AE=DE.在△AFE和△DCE中,∵
∴△AFE≌△DCE,∴AF=DC.又∵D是BC的中點,∴BD=CD,∴AF=BD;第7題圖(2)連接BF,若AB=AC,求證:四邊形ADBF是矩形.第7題圖(2)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.又∵D是BC的中點,∴∠ADB=90°,由(1)知FA=BD,又∵FA∥BD,∴四邊形ADBF是平行四邊形.又∵∠ADB=90°,∴四邊形ADBF是矩形.8.(2023蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,CD∥OE,直線CE是線段OD的垂直平分線,CE分別交OD,AD于點F,G,連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀,并說明理由;第8題圖第8題圖解:(1)四邊形OCDE為菱形,理由如下:∵CE是線段OD的垂直平分線,∴OF=DF,OC=DC.∵CD∥OE,∴∠EOF=∠CDF.∵∠EFO=∠CFD,∴△OFE≌△DFC,∴OE=CD,∴四邊形OCDE是平行四邊形.又∵OC=CD,∴四邊形OCDE是菱形;
解題關(guān)鍵點證明△OFE≌△DFC是解題的關(guān)鍵;(2)當CD=4時,求EG的長.第8題圖(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴DO=OC=OA,由(1)可知,OC=DC,∴OC=DO=CD,∴△OCD是等邊三角形,∴∠DCO=∠CDO=60°,∴∠FDG=90°-60°=30°.∵四邊形OCDE是菱形,∴∠DEC=∠DCE=30°,∠CGD=90°-∠DCE=60°,第8題圖∴∠EDG=30°,∴DG=EG.∵CD=4,∴tan∠DCG=
,∴DG=4·tan30°=4×=,∴EG=.
解題關(guān)鍵點證明△OCD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.拔高題9.(2023紹興改編)如圖,在矩形ABCD中,O為對角線BD的中點,∠ABD=60°,動點E在線段OB上,動點F在線段OD上,點E,F(xiàn)同時從點O出發(fā),分別向終點B,D運動,且始終保持OE=OF.點E關(guān)于AD,AB的對稱點為E1,E2;點F關(guān)于BC,CD的對稱點為F1,F(xiàn)2.當E,F(xiàn),O三點重合時,當點E,F(xiàn)分別為OB,OD的中點時,當E,F(xiàn)分別運動到B,D兩點時,四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是(
)第9題圖A.菱形→平行四邊形→矩形B.菱形→矩形→菱形C.平行四邊形→矩形→平行四邊形D.平行四邊形→菱形→正方形第9題圖【答案】B10.(2023武侯區(qū)二診節(jié)選)如圖①,在矩形ABCD中,AD=nAB(其中n>1),點P是AD邊上一動點(點P不與點A重合),點E是AB邊的中點,連接PE,將矩形ABCD沿直線PE進行翻折,其頂點A翻折后的對應(yīng)點為
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