2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之微專題 與線段最值有關(guān)的問題 教學(xué)課件

微專題與線段最值有關(guān)的問題

考情及趨勢分析成都8年高頻點(diǎn)考情及趨勢分析考情分析類型年份題號(hào)題型分值考查內(nèi)容結(jié)合知識(shí)點(diǎn)一條線段求最值202127解答題10利用“三角形三邊關(guān)系”求最小值全等三角形，三角形的中位線20182710利用“垂線段最短”求最小值三角形面積201625B卷填空題4利用“垂線段最短”求最小值圖形的折疊，全等三角形，平行四邊形的性質(zhì)考情分析類型年份題號(hào)題型分值考查內(nèi)容結(jié)合知識(shí)點(diǎn)兩條線段求最值202223B卷填空題4求線段差的最大值相似三角形，銳角三角函數(shù)，三角形面積2019244求線段和的最小值圖形的平移，三角形的中位線【考情總結(jié)】1.考情及題位特點(diǎn)：8年5考，常在B卷填空壓軸題或解答壓軸題最后一問考查；2.設(shè)問特點(diǎn)：常結(jié)合圖形的變化考查，以“利用垂線段最短”方法為主，解題過程中均需作輔助線.一階

方法突破方法解讀如圖，已知直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)B，求A，B之間距離的最值．輔助線作法：過點(diǎn)A作AB⊥直線l，此時(shí)AB為垂線段，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離最小，最小值為AB.類型一一條線段求最值(8年3考：2021.27，2018.27，2016.25)

例1如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD的最小值是________．例1題圖例2如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，DE，若AO＝1，AB＝4，連接OE，則OE的最小值是________．例2題圖如圖，已知點(diǎn)A，B是平面內(nèi)固定的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是同一平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．1．連接AC，BC.在△ABC中，根據(jù)三邊關(guān)系，有AB－BC<AC<AB＋BC；2．當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，AC＋BC的值最小，最小值為AB的長；AC的值最小，最小值為AB－BC的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，AB＋BC的值最大，最大值為線段AC的長．方法解讀例3

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，AB＝4，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，連接OC，則OC的最大值為____________．例3題圖＋2例4如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C，AB＝4，AC＝3，以BC為對(duì)角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值是________．例4題圖如圖，兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最?。o助線作法：(將軍飲馬模型)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l交于點(diǎn)P.注：也可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，與直線l交于點(diǎn)P.方法解讀類型二兩條線段求最值(8年2考：2022.23，2019.24)

例5如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MD的最小值為________．例5題圖10方法解讀如圖，P為∠AOB的OB邊上一定點(diǎn)，在OA上找一點(diǎn)M，在OB上找一點(diǎn)N，使得PM＋MN的值最?。o助線作法：過點(diǎn)P作OA的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作OB的垂線，分別與OA，OB交于點(diǎn)M，N.例6如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，EF，若AB＝5，AD＝10，則BE＋EF的最小值為________．例6題圖情況1如圖，兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．輔助線作法：連接AB并延長與直線l交于點(diǎn)P.情況2如圖，兩定點(diǎn)A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．輔助線作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長，與直線l交于點(diǎn)P.方法解讀例7如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，AD是中線，E是AD邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則BP－EP的最大值為________.例7題圖例8

如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊CD上，且CF＝1，P是直線AC上一點(diǎn)，連接PE，PF，則PE－PF的最大值為________．例8題圖情況1如圖，已知l1∥l2，l1，l2之間距離為d，定點(diǎn)A，B分別在位于直線l1，l2的上方和下方，在l1，l2上分別找M，N兩點(diǎn)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最?。o助線作法：將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位長度到點(diǎn)A′，連接A′B交直線l2于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥l1于點(diǎn)M.方法解讀情況2如圖，在直線l上找M，N兩點(diǎn)(M在N左側(cè))，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最?。o助線作法：將點(diǎn)A向右平移d個(gè)單位長度到點(diǎn)A′，作點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″B交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位到點(diǎn)M.例9如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，點(diǎn)M，N在AC上，且MN＝1，連接BM，DN，則BM＋DN＋MN的最小值為________．例9題圖＋1

一題多解解法一：利用平移求解．解法二：利用菱形的性質(zhì)求解．例10題圖例10

如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，且EF＝1，則AE＋EF＋BF的最小值為________．1＋例11

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段CD(點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè))在x軸上移動(dòng)，A(0，2)，B(0，3)，連接AC，BD，則AC＋BD的最小值為________．例11題圖線段最值問題①方法解讀如圖，點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．方法：一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；二構(gòu)：在點(diǎn)B異側(cè)，構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；①以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②過動(dòng)點(diǎn)P作垂線，構(gòu)造Rt△APE；三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；四求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長．例12如圖，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋

PB的最小值為________．例12題圖例13

如圖，在Rt△ABC中，AC＝10，∠B＝90°，∠C＝30°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD＋CD的最小值為________．例13題圖如圖，P是∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn)，在OA上找一點(diǎn)M，在OB上找一點(diǎn)N，使得△PMN的周長最?。o助線作法：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，P″，連接P′P″，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N.方法解讀類型三三條線段求最值例14如圖，∠AOB＝30°，M，N分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝20，則△PMN周長的最小值是________．例14題圖20如圖，P，Q是∠AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定M，N的位置，使得四邊形PQNM周長的最小．輔助線作法：作點(diǎn)P關(guān)于OA

的對(duì)稱點(diǎn)P′，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點(diǎn)M

，N.方法解讀例15如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是AB的中點(diǎn)，若P，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形AEPF周長的最小值為________．例15題圖

＋3

解題關(guān)鍵點(diǎn)AE的長固定，即求AF＋FP＋PE的最小值，通過作對(duì)稱，轉(zhuǎn)化所求線段即可．二階

綜合訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為________．第1題圖

-3

2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，O是AC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，且MD＝1，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM－PO的最大值為________．第2題圖3.如圖，在正方形ABCD中，AB＝4.M為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CM＝

，N是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MN＋

NB的最小值是________．第3題圖34.(2023東營節(jié)選)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M.P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM.則PM＋PN的最小值為________．第4題圖【解析】如解圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°.第4題解圖第4題解圖∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF.∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD.∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG.∵AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD(ASA)，∴GM＝GD.∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM＋PN的值最小，此時(shí)PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的長，第4題解圖∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC＝BD＝4，∴DO＝

BD＝2，即PM＋PN的最小值為2.第4題解圖【答案】線段最值問題②5.如圖，某景區(qū)為了增加景點(diǎn)特色，在景區(qū)修建了一條兩河岸平行的人工河，涼亭A，B位于河兩岸，為了游玩通行方便，現(xiàn)計(jì)劃要在河上造一座橋(橋垂直于河岸)，使涼亭A，B之間的路程最短．已知河寬為100m，涼亭A到河岸MN的距離為800m，涼亭B到河岸PQ的距離為400m，且涼亭A，B的水平距離為1600m，請計(jì)算從涼亭A出發(fā)經(jīng)過橋后到達(dá)涼亭B