2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 二次函數(shù)-線段關(guān)系專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)--線段關(guān)系專項(xiàng)訓(xùn)練（學(xué)生版）目標(biāo)層級(jí)圖

課中講解一.兩線段（或多線段）比值的最值與定值問(wèn)題內(nèi)容講解分析：基本的方法仍然是設(shè)坐標(biāo)處理，問(wèn)到兩個(gè)線段的比值時(shí)我們可以用相似來(lái)轉(zhuǎn)化，有可能會(huì)出現(xiàn)定值或變化的情況。也有一些題目是多條線段的比值或者加減，我們先從幾何的角都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算。例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．（1）試求拋物線的解析式；（2）直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記，試求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；解：如圖1中，由題意，點(diǎn)在軸的右側(cè)，作軸于，交于．，，，直線與軸交于點(diǎn)，則，的解析式為，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)．

題型一：兩條線段的比值例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸于交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上取點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，的外接圓圓心為（如圖，①求點(diǎn)的坐標(biāo)及的半徑；②過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)（如圖，設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線與相交于點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)線段的長(zhǎng)為，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求的值．（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式．（3）①若時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．題型二：多條線段的比值例2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)在第四象限．（1）如圖，若該拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，且與交于另一點(diǎn)．若點(diǎn)在直線下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；取的中點(diǎn)，連接，．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．過(guò)關(guān)檢測(cè)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．以直線為對(duì)稱軸的拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并與軸的正半軸交于點(diǎn)．（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)是軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交軸于點(diǎn)．是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是拋物線對(duì)稱軸上使的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任意作一條與軸不平行的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，試探究是否為定值，并寫出探究過(guò)程．題型三：線段的和或積例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若的切線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，切點(diǎn)為，且，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)是位于軸右側(cè)上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交軸于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)．始終滿足？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．過(guò)關(guān)檢測(cè)3.如圖，拋物線的圖象與軸交于與，與直線交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線上軸下方）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，試判斷在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形，若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上，之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，猜想在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

二.線段比例關(guān)系與相似三角形相結(jié)合此類題目需從線段比例結(jié)合函數(shù)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，推理得出其他線段的長(zhǎng)度，利用SAS的相似判定得到三角形相似。例題：如圖，、是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中為常數(shù)，且，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在軸上方作矩形，使，畫射線，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，連接，拋物線過(guò)、兩點(diǎn)．（1）填空：，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)：；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與線段交于點(diǎn)，且時(shí)，△與是否相似？說(shuō)明理由；解：（1），，，，即，，，，為等腰直角三角形，，，，即；故答案為：45；，；（2）△，理由如下：由已知得：，，，，為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，拋物線過(guò)點(diǎn)，，即，，，△；

題型一：知線段比例得相似例1.如圖1，，是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中為常數(shù)，且，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在軸上方作矩形，使，畫射線，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，連接，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)．（1）填空：，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)：，；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與線段交于點(diǎn)，且時(shí)，△與是否相似？說(shuō)明理由；（3）若與原點(diǎn)重合，拋物線與射線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為①求，，滿足的關(guān)系式；②當(dāng)為定值，拋物線與四邊形有公共點(diǎn)，線段的最大值為10，請(qǐng)你探究的取值范圍．

過(guò)關(guān)檢測(cè)1.拋物線過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）如圖1，連接，以為邊作，若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且的面積為30，①求點(diǎn)坐標(biāo)；②過(guò)此二點(diǎn)的直線交軸于，此直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)、，三點(diǎn)，為直徑，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），為直角，邊與的延長(zhǎng)線交于，求線段長(zhǎng)度的最大值．

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于點(diǎn)．以直線為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，并與軸正半軸交于點(diǎn)．（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)，若是拋物線對(duì)稱軸上使得的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)任意作一條與軸不平行的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，試探究是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，MH⊥x軸于點(diǎn)H，MA交y軸于點(diǎn)N，sin∠MOH＝．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)H的直線與y軸相交于點(diǎn)P，過(guò)O，M兩點(diǎn)作直線PH的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線NQ交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B、D．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

4．已知：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)C（1，﹣3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（﹣1，0）．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A，D，B，E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP，F(xiàn)G分別與邊AE，BE相交于點(diǎn)F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請(qǐng)判斷是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)--線段關(guān)系專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）目標(biāo)層級(jí)圖

課中講解一.兩線段（或多線段）比值的最值與定值問(wèn)題內(nèi)容講解分析：基本的方法仍然是設(shè)坐標(biāo)處理，問(wèn)到兩個(gè)線段的比值時(shí)我們可以用相似來(lái)轉(zhuǎn)化，有可能會(huì)出現(xiàn)定值或變化的情況。也有一些題目是多條線段的比值或者加減，我們先從幾何的角都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算。例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．（1）試求拋物線的解析式；（2）直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記，試求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；解：如圖1中，由題意，點(diǎn)在軸的右側(cè)，作軸于，交于．，，，直線與軸交于點(diǎn)，則，的解析式為，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)．

題型一：兩條線段的比值例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸于交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上取點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，的外接圓圓心為（如圖，①求點(diǎn)的坐標(biāo)及的半徑；②過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)（如圖，設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，故的坐標(biāo)為，令，則（舍去）或，故點(diǎn)，如圖①，連結(jié)，作于，，，，，，，，，；（3）①如圖②，連接，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為；②如圖③，連接，，過(guò)點(diǎn)作的切線交1于點(diǎn)，，，，，，，，，，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值不變，其值為．過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線與相交于點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)線段的長(zhǎng)為，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求的值．（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式．（3）①若時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．軸，軸，，，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，；（2）當(dāng)時(shí)（如圖，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，即．；當(dāng)時(shí)（如圖，同解法得：，由得，關(guān)于的函數(shù)解析式為且．（3）①如圖3，連接，的面積為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，；②與之間的數(shù)量關(guān)系為，如圖4，連接，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．題型二：多條線段的比值例2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)在第四象限．（1）如圖，若該拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，且與交于另一點(diǎn)．若點(diǎn)在直線下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；取的中點(diǎn)，連接，．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，軸，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為．拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，，解得：，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．（2）方法一：，，，直線的解析式為：．設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為，則由（1）可得的坐標(biāo)為，且在直線上．點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，可設(shè)的坐標(biāo)為，則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．解方程組：，解得，，．過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，則，．．若以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：①當(dāng)為直角邊時(shí)：點(diǎn)到的距離為（即為的長(zhǎng)）．由，，可知，為等腰直角三角形，且，．如答圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，交拋物線于點(diǎn)，則為符合條件的點(diǎn)．可設(shè)直線的解析式為：，，，解得，直線的解析式為：．解方程組，得：，，．②當(dāng)為斜邊時(shí)：，可求得點(diǎn)到的距離為．如答圖2，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，，可知：為等腰直角三角形，且點(diǎn)到直線的距離為．過(guò)點(diǎn)作直線，交拋物線于點(diǎn)，則為符合條件的點(diǎn)．可設(shè)直線的解析式為：，，，解得，直線的解析式為：．解方程組，得：，，，，．綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，，．方法二：，，，拋物線頂點(diǎn)在直線上，設(shè)，拋物線表達(dá)式：，與拋物線的交點(diǎn)，以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，，①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，②當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)可視為點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成，將點(diǎn)平移至原點(diǎn)，則點(diǎn)平移后，將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)，將平移至點(diǎn)，則點(diǎn)平移后即為點(diǎn)，，，，，，③當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得，，綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，，．存在最大值．理由如下：由知為定值，則當(dāng)取最小值時(shí)，有最大值．如答圖2，取點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．連接，，，易得，且，四邊形為平行四邊形．．．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為．的最大值為．過(guò)關(guān)檢測(cè)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．以直線為對(duì)稱軸的拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并與軸的正半軸交于點(diǎn)．（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)是軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交軸于點(diǎn)．是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是拋物線對(duì)稱軸上使的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任意作一條與軸不平行的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，試探究是否為定值，并寫出探究過(guò)程．【解答】解：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，直線解析式為，．拋物線對(duì)稱軸為，且與軸交于，另一交點(diǎn)為，設(shè)拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過(guò)，，解得，拋物線解析式為；（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則且．如答圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，又，，，即，，解得與點(diǎn)重合，舍去），，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同理可求得，，．（3）要使的周長(zhǎng)最小，只需最小即可．如答圖2，連接交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)最小最小值為線段的長(zhǎng)度）．，，直線解析式為，，，即．令經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為，則，即，則直線的解析式是：，，，聯(lián)立化簡(jiǎn)得：，，．，，．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：．又；同理．，為定值．題型三：線段的和或積例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若的切線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，切點(diǎn)為，且，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)是位于軸右側(cè)上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交軸于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)．始終滿足？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖，連接．，，，，，，，．則，解得，，該拋物線的解析式為：；（2）直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．理由如下：由（1）知，拋物線的解析式為，即，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)是，．如圖，連接，設(shè)直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)．是的切線，．．又，則，，即點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)；（3）存在，理由如下：如圖，連接．是直徑，，又，，，則，即．過(guò)關(guān)檢測(cè)3.如圖，拋物線的圖象與軸交于與，與直線交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線上軸下方）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，試判斷在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形，若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上，之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，猜想在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的和是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）拋物線的圖象與軸交于與，與直線交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，點(diǎn)代入，得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形，，解得（舍去）或或或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；（3）如圖，作于點(diǎn)，，，，，，設(shè)點(diǎn)，則，，，，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的和是定值，該定值為8．

二．線段比例關(guān)系與相似三角形相結(jié)合此類題目需從線段比例結(jié)合函數(shù)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，推理得出其他線段的長(zhǎng)度，利用SAS的相似判定得到三角形相似。例題：如圖，、是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中為常數(shù)，且，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在軸上方作矩形，使，畫射線，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，連接，拋物線過(guò)、兩點(diǎn)．（1）填空：，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)：；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與線段交于點(diǎn)，且時(shí)，△與是否相似？說(shuō)明理由；解：（1），，，，即，，，，為等腰直角三角形，，，，即；故答案為：45；，；（2）△，理由如下：由已知得：，，，，為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，拋物線過(guò)點(diǎn)，，即，，，△；

題型一：知線段比例得相似例1.如圖1，，是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中為常數(shù)，且，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在軸上方作矩形，使，畫射線，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，連接，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)．（1）填空：，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)：，；（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與線段交于點(diǎn)，且時(shí)，△與是否相似？說(shuō)明理由；（3）若與原點(diǎn)重合，拋物線與射線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為①求，，滿足的關(guān)系式；②當(dāng)為定值，拋物線與四邊形有公共點(diǎn)，線段的最大值為10，請(qǐng)你探究的取值范圍．【解答】解：（1），，，，即，，，，為等腰直角三角形，，，，即；故答案為：45；，；（2）△，理由如下：由已知得：，，，，為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，拋物線過(guò)點(diǎn)，，即，，，△；（3）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，拋物線過(guò)點(diǎn)，，，整理得：，即；②拋物線與四邊形有公共點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)的開口最大，過(guò)點(diǎn)時(shí)的開口最小，若拋物線過(guò)點(diǎn)，此時(shí)的最大值為5，，整理得：，即拋物線解析式為，由，可得直線解析式為，聯(lián)立拋物線與直線解析式得：，解得：，，即，令，即，當(dāng)時(shí)，；若拋物線過(guò)點(diǎn)，則，解得：，，，則拋物線與四邊形有公共點(diǎn)時(shí)的范圍為．

過(guò)關(guān)檢測(cè)1.拋物線過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）如圖1，連接，以為邊作，若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且的面積為30，①求點(diǎn)坐標(biāo)；②過(guò)此二點(diǎn)的直線交軸于，此直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)、，三點(diǎn)，為直徑，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），為直角，邊與的延長(zhǎng)線交于，求線段長(zhǎng)度的最大值．【解答】解：（1）拋物線過(guò)點(diǎn)，，，解得，拋物線表達(dá)式為；（2）①如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于．設(shè)直線的解析式為，，，，解得，直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)，，的面積為30，，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線解析式為：，，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入，得，，直線的解析式為：，，作于，，，當(dāng)，，共線時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)在軸的左側(cè)，舍棄，故當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，直線的解析式為：，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3），，，，，，，，，為直徑，，，，，，，，，，當(dāng)為直徑時(shí)，的長(zhǎng)度最大，為．

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于點(diǎn)．以直線為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，并與軸正半軸交于點(diǎn)．（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)，若是拋物線對(duì)稱軸上使得的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)任意作一條與軸不平行的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，試探究是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象與軸交于．一次函數(shù)的解析式為．點(diǎn)的坐標(biāo)為．經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)且對(duì)稱軸是，，解得．的值為，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）要使的周長(zhǎng)取得最小，只需最小連接交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)最小．令中的，則或5直線解析式為，．令過(guò)的直線解析式為，則，則直線的解析式為．解法一：由得，，同理；解法二：，設(shè)，，則有．；設(shè)，，同理可求得：．①．直線的解析式為，即：．聯(lián)立與拋物線，得：，，，代入①式，得：．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，MH⊥x軸于點(diǎn)H，MA交y軸于點(diǎn)N，sin∠MOH＝．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)H的直線與y軸相交于點(diǎn)P，過(guò)O，M兩點(diǎn)作直線PH的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線NQ交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由拋物線y＝﹣+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，MH⊥x軸于點(diǎn)H，MA交y軸于點(diǎn)N，sin∠MOH＝，求出c的值，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）如圖1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可證△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）首先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線MD的表達(dá)式，由兩直線平行，兩三角形相似，可得NG∥MD，直線QG解析式．【解答】解：（1）∵M(jìn)為拋物線y＝﹣+c的頂點(diǎn)，∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a＜0，且拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴c＞0，∴MH＝c，∵sin∠MOH＝，∴＝．∴OM＝c，∵OM2＝OH2+MH2，∴MH＝c＝4，∴M（2，4），∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣+4．（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM，∴＝＝，∵＝，∴MF＝HF，∴∠OHP＝∠FHM＝45°，∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．如圖2，同理可得，P（0，﹣2）．（3）∵A（﹣1，0），∴D（1，0），∵M(jìn)（2，4），D（1，0），∴直線MD解析式：y＝4x﹣4，∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴＝＝＝，∴AN＝，ON＝，N（0，）．如圖3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，∴直線QG解析式：y＝4x+，如圖4，若△ANG∽△ADM，可得＝∴AG＝，∴G（，0），∴QG：y＝﹣x+，綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：y＝4x+或y＝﹣x+．【點(diǎn)評(píng)】本題二次函數(shù)的綜合題，要求會(huì)求二次函數(shù)的解析式和兩圖象的交點(diǎn)，會(huì)應(yīng)用三角形相似定理，本題步驟有點(diǎn)多，做題需要細(xì)心．3．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B、D．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值．【分析】方法一：（1）AO＝AC﹣OC＝m﹣3，用線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD＝OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；（3）設(shè)Q（x，x2﹣2x+1），過(guò)Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長(zhǎng)，而AC＝m，代入即可．方法二：（1）略．（2）分別求出B、D參數(shù)坐標(biāo)，并代入拋物線，求出參數(shù)及拋物線表達(dá)式．（3）利用直線方程分別求出E、F的參數(shù)坐標(biāo)，并求出點(diǎn)C、A坐標(biāo)，代入FC（AC+EC），并求出其為定值．（4）設(shè)Q點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)，利用三角函數(shù)列出等式，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】方法一：（1）解：由B（3，m）可知OC＝3，BC＝m，又△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝m，OA＝m﹣3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3﹣m，0）．（2）解：∵∠ODA＝∠OAD＝45°∴OD＝OA＝m﹣3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m﹣3）．又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，所以可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2，得：解得∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+1；（3）證明：過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x2﹣2x+1），則QM＝CN＝（x﹣1）2，MC＝QN＝3﹣x．∵QM∥CE∴△PQM∽△PEC∴即，得EC＝2（x﹣1）∵QN∥FC∴△BQN∽△BFC∴即，得又∵AC＝4∴FC（AC+EC）＝[4+2（x﹣1）]＝（2x+2）＝×2×（x+1）＝8即FC（AC+EC）為定值8．方法二：（1）略．（2）略．（3）設(shè)Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），設(shè)直線BQ：y＝kx+b，∴l(xiāng)BQ：y＝（t+1）x+1﹣3t，把y＝0代入y＝（t+1）x+1﹣3t，∴x＝，即F（，0）