高中數(shù)學(xué)《集合的含義》導(dǎo)學(xué)案

第=^第El章集合與函數(shù)概念

11.1集合

i.i.i集合的含義與表示

第1課時(shí)集合的含義

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.集合的概念

(1)元素：in把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素;怎么表示：回通常用小

寫拉丁字母a,b,C,…表示.

(2)集合：魚把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集);怎么

表示：?通常用大寫的拉丁字母A,B,C,…表示.

2.元素與集合的關(guān)系

(1)“屬于“：國如果a是集合A的元素，就說a屬于集合4,

記作

(2)”不屬于"：國如果。不是集合A的元素，就說a不屬于集

合A,記作aQL

3.元素的三個(gè)特性

(1)團(tuán)確定性;

(2)國互異性;

(3)囹無序性.

4.集合相等的概念

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等

5.常用數(shù)集及表示符號(hào)

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號(hào)酬E]N*或N+■ZHQ

H自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)本班的高個(gè)子同學(xué)組成集合.()

(2)漂亮的花組成集合.()

(3)聯(lián)合國常任理事國組成集合.()

(4)由122,4,1組成的集合有五個(gè)元素.()

(5)由a,h,c組成的集合與由h,a,c組成的集合是同一個(gè)集

合.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)X(5)J

2.做一做

(1)(教材改編P5To已知方程/—16=0的解是集合A中的元素,

則下列關(guān)系不正確的是()

A.4GAB.{-4}eA

C.-4SAD.4GAH-4GA

(2)用符號(hào)或“陣”填空.

小Z,0N,小+2Q,|Q.

(3)用符號(hào)或“住”填空.

若〃=3,貝！J。R；若濟(jì)=也，貝ij。R.

答案(1)B(2)在GG(3)GG

卜課堂互動(dòng)探究

探究1集合概念的理解

例1下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是.

(1)所有的正三角形；

(2)高一數(shù)學(xué)必修1課本上的所有難題；

(3)比較接近1的正數(shù)全體；

(4)某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生；

(5)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)的集合；

(6)參加2018年冬季奧運(yùn)會(huì)的年輕運(yùn)動(dòng)員；

(7)a,b,a,c.

解析(1)能構(gòu)成集合.其中的元素需滿足三條邊相等.

(2)不能構(gòu)成集合.因“難題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不

能構(gòu)成集合.

(3)不能構(gòu)成集合.因“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不

確定，故不能構(gòu)成集合.

(4)能構(gòu)成集合.其中的元素是“該校高一年級(jí)16歲以下的學(xué)

生”.

(5)能構(gòu)成集合.其中的元素是“到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”.

(6)不能構(gòu)成集合.因?yàn)椤澳贻p”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故

而不能構(gòu)成集合.

(7)不能構(gòu)成集合.因?yàn)橛袃蓚€(gè)a是重復(fù)的，不符合元素的互異

性.

答案⑴(4)⑸

拓展提升

判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的方法

(1)依據(jù)：元素的確定性是判斷的依據(jù).如果考查的對(duì)象是確定的,

就能構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合.

(2)切入點(diǎn)：解答此類問題的切入點(diǎn)是集合元素的特性，即確定性、

互異性和無序性.

【跟蹤訓(xùn)練11判斷下列說法是否正確？并說明理由.

(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個(gè)集合；

(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

31

(3)1,0.5,I組成的集合含有四個(gè)兀素；

(4)出席2018年19大的所有參會(huì)代表組成一個(gè)集合.

解(1)中的對(duì)象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個(gè)集合，故⑴

正確；(2)中的“高科技”的標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故

131

(2)錯(cuò)誤；由于0.5=/,所以1。5，］組成的集合含有3個(gè)元素，

故(3)錯(cuò)誤；(4)中的對(duì)象是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合，故(4)正

確.

概念探究2元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用

例2(1)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()

①7i￡R；(2>73^Q；③0￡N*；④|一4|枷*.

A.1B.2C.3D.4

(2)集合A中的元素%滿足止-￡N,%￡N,則集合4中的元素

為?

解析(1);兀是實(shí)數(shù)，小是無理數(shù)，①②正確；

又?.?N”表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)，故③不正確;

又I-4|=4是正整數(shù)，故④不正確，

正確的共有2個(gè).

A，

66—%>0,

⑵N,x￡N,.即

%與0,

-%20,

...0Mx<6,「.％=0,l,2,3,4,5.

當(dāng)、分別為。,3,4,5時(shí)，號(hào)相應(yīng)的值分別為123,6,也是自然

數(shù)，故填0,345.

答案(1)B(2)0,345

拓展提升

L常用數(shù)集之間的關(guān)系

‘正整數(shù)集N*

有理自然數(shù)集N

整數(shù)集zq.{0}

實(shí)數(shù)數(shù)集<

<1負(fù)整數(shù)集

集RQ

I分?jǐn)?shù)集

〔無理數(shù)集

2.判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在

已知集合中是否出現(xiàn)即可，此時(shí)應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.

(2)推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否

滿足集合中元素所具有的特征即可.此時(shí)應(yīng)先明確已知集合的元素具

有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件.

【跟蹤訓(xùn)練2]⑴用符號(hào)"『或填空.

①0.3N*；②1N；

③1.5Z；④2啦Q；

⑤2+小R；⑥若％2+1=0,則xR

(2)設(shè)％￡R,集合4中含有三個(gè)元素3,%,x2~2x.

①求實(shí)數(shù)％應(yīng)滿足的條件；

②若一2￡A,求實(shí)數(shù)％的值.

答案⑴①《②金③在④建⑤￡⑥9(2)見解析

解析(1)①???0.3是無限循環(huán)小數(shù)，.'.OB建N*；②.「I是自然數(shù),

AieN；③?門.5是小數(shù)，不是整數(shù)，.?.1.5aZ；④二”也是無理數(shù),

???2?的；⑤???2+正是無理數(shù)，無理數(shù)又包含于實(shí)數(shù)，，2+S￡R；

⑥..?滿足f+1=0的實(shí)數(shù)不存在，為非實(shí)數(shù)，.??依R.

(2)①根據(jù)集合中元素的互異性，可知卜NV—2%,即且

1—2xW3,

S3且#一1.

②因?yàn)閐—2x—(x—I)2—12一1,且一2￡A,所以％=—2.當(dāng)％=

-2時(shí)、(一2%=8,此時(shí)三個(gè)元素為3,—2,8,滿足集合的三個(gè)特性.

探究3集合中元素的特性與集合相等

例3已知集合A有三個(gè)元素：a—3,2a—1,層+i,集合B也有

三個(gè)元素0,1,%.

(1)若一3GA,求。的值；

(2)若/￡8,求實(shí)數(shù)％的值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,%,使A=B.

解⑴由一3￡A且4+121,可知a—3=-3或2a—1=-3,

當(dāng)a—3=-3時(shí)，a=0；當(dāng)2a—1=-3時(shí)，a=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)，0與一1都符合要求.

.,.<2=0或一1.

(2)當(dāng)％=0,1,一1時(shí)，都有％2￡9

但考慮到集合元素的互異性，%W0,故X=-1.

(3)顯然〃+iwo.由集合元素的無序性，只可能。-3=0,或2a

-1=0.

若a—3=0,則a=3,A中三個(gè)元素分別為0,5,10.

若2a—1=0,則a=；,4中三個(gè)元素分別為0,—|,*所以AN3.

故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,x.

拓展提升

利用集合元素互異性求參數(shù)問題

(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根

據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).(也是本節(jié)易錯(cuò)問題)

(2)利用集合中元素的特性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

【跟蹤訓(xùn)練3】⑴已知集合A是由。-2,2次+5區(qū)12三個(gè)元素

組成的，且一3￡A,求。的值；

(2)已知集合M中含有三個(gè)元素2,a,b,集合N中含有三個(gè)元

素2a,2,b2,且"=乂求a,b的值.

解(1)因?yàn)橐?￡A,所以a—2=—3或2屋+5。=—3,解得

一1或a——2?

當(dāng)。=一1時(shí)，A中三個(gè)元素分別為-3,-3,12,不符合集合中

元素的互異性，舍去.

37

當(dāng)a=-]時(shí)，4中三個(gè)元素分別為一》一3,12,滿足題意.故a

3

~~T

(2)解法一：根據(jù)集合中元素的互異性，

a=2a,ct~b~

有彳c或彳f

b=b2[h—2a,

ct-O,a=0,

解得

b=lb=U

a=0,

再根據(jù)集合中元素的互異性，得

b=l

解法二：...兩個(gè)集合相同，則其中的對(duì)應(yīng)元素相同.

a~\~b—2a~\~b2,勵(lì)-①

<a+1)=0,

a，b=:2a，h~,^?(2/?-1)=0,②

??.集合中的元素互異，.二。，人不能同時(shí)為零.

當(dāng)8W0時(shí)，由②得。=0或力=1.

當(dāng)a=0時(shí)，由①得。=1或。=0(舍去).

當(dāng)時(shí)，由①得

當(dāng)h=0時(shí)，。=0(舍去).

f----------------------------------1點(diǎn)黜2------------------------

1.集合中元素的特性

集合中元素的三種特性：確定性、互異性、無序性.求集合中

參數(shù)的取值時(shí)，一定要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性.

2.元素與集合的關(guān)系

與取決于。是不是集合A的元素，根據(jù)集合中元

素的確定性，可知對(duì)任何。與A,在與〃A這兩種情況中，必

有一種且只有一種成立.

(2)符號(hào)“建”是表示元素與集合之間的關(guān)系的，不能用來

表示集合與集合間的關(guān)系，這一點(diǎn)要特別注意.

3.集合相等

(1)當(dāng)已知兩個(gè)集合相等時(shí)，這兩個(gè)集合的元素是完全相同的，

即對(duì)于其中一個(gè)集合的任一個(gè)元素，在另一個(gè)集合中都可以找到相

同的元素.

(2)兩個(gè)集合是否相等，不能只從集合的形式上看，應(yīng)該先確定這

兩個(gè)集合的所有元素，再根據(jù)集合相等的定義進(jìn)行判斷.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是()

A.一切很大的數(shù)B.好心人

C.漂亮的小女孩D.方程％2—1=0的實(shí)數(shù)根

答案D

解析只有選項(xiàng)D具備集合的特性.

2.下列結(jié)論不正確的是（）

A.VlOOeNB.憫Q

C.（XQD.|-l|ez

答案C

解析0是有理數(shù)，即0￡Q.

3.已知集合A是由0,加，/一3加+2三個(gè)元素組成的集合，且

204,則實(shí)數(shù)根為（）

A.2B.3

C.0或3D.0,2,3均可

答案B

解析,.,2￡A,m=2或〃「一3機(jī)+2=2,當(dāng)根=2時(shí)，m2—3m

+2=0與集合互異性矛盾.當(dāng)/T?—3加+2=2時(shí)，m=0（舍去）或加=

3,符合題意，故m=3.

4.m,HGR,由兩個(gè)數(shù)低,1組成的集合P與由兩個(gè)元素20組

成的集合。相等，則加+〃的值等于.

答案1

解析由集合P與集合。相等得"=1,m=0,所以

m+n=1.

5.已知集合A含有兩個(gè)元素a—3和2a—1,a￡R.

（1）若一3GA,試求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若試求實(shí)數(shù)a的值.

解（1）因?yàn)橐?￡A,

所以一3=a—3或一3=2a—1.

若一3=a—3,則<2=0.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一3,-1,符合題意.

若一3—2a—1,則a=-1.

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素一4,-3,符合題意.

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或一L

（2）因?yàn)?。?,所以a=q—3或a=2a—1.

當(dāng)a=a—3時(shí)，有0=—3,不成立；

當(dāng)a=2a—\時(shí)，有a=l,此時(shí)A中有兩個(gè)元素一2,1,符合題

意.

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)。的值為1.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）

A.充分接近冗的實(shí)數(shù)的全體

B.善良的人

C.某校高一所有聰明的同學(xué)

D.某單位所有身高在1.7m以上的人

答案D

解析A,B,C中標(biāo)準(zhǔn)皆不明確，故選D.

2.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.^9^QB爭(zhēng)RC.2/QD.OeZ

答案D

解析本題主要考查幾種常見數(shù)集的含義及符號(hào)表示,0是整數(shù)，

故有Oez.

3.由實(shí)數(shù)%,一%,|%|,五及一引系所組成的集合，最多含有（）

A.2個(gè)元素B.3個(gè)元素

C.4個(gè)元素D.5個(gè)元素

答案A

解析解法一：因?yàn)?■\[^-=\x\,-y^=~x,所以不論x

取何值，最多只能寫成兩種形式：羽一工,故集合中最多含有2個(gè)元

素.

解法二：令％=2,則以上實(shí)數(shù)分別為：2,-2,2,2,-2,由元素

互異性知集合最多含有2個(gè)元素.

4.若一個(gè)集合中的三個(gè)元素a,h,c是△ABC的三邊長，則此

三角形一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

答案D

解析由于集合元素具有互異性，即。，b,c互不相等，因此△

ABC一定不是等腰三角形.

5.已知％,y,z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式卷+己+后+生1的值所組

囚\y\回xyz

成的集合是M,則下列判斷正確的是（）

A.B.2GMC.-4建MD.4GM

答案D

解析①當(dāng)％,y,z均為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式俞+6+后+果的值為

4；②當(dāng)％,y,z為兩正一負(fù)時(shí)，代數(shù)式三+已+5+胃的值為0；③

四\y\臼xyz

當(dāng)％,y,z為一正兩負(fù)時(shí)，代數(shù)式卷+己的值為°；④當(dāng)心

1囤IJI悶xyz

y,z均為負(fù)數(shù)時(shí)，代數(shù)式卷+已+5+用的值為-4,所以集合M包

囚\y\\z\xyz

含三個(gè)元素：4,0,-4,故選D.

二'填空題

6.用符號(hào)“金”或填空.

設(shè)集合M中的元素為平行四邊形，p表示某個(gè)矩形，9表示某個(gè)

梯形，則pM,qM.

答案￡在

解析矩形是平行四邊形，梯形不是平行四邊形，故如

M.

7.集合A中的元素y滿足y￡N且y=一r+1,若則,的

值為.

答案0或1

解析由題意，知且r=-/+1W1,故￡=0或1.

8.如果有一集合含有三個(gè)元素2,%,%2_%,則實(shí)數(shù)%的取值范

圍是.

答案—1且xWO且

’2Wx,

解析由題意知＜2^x2~x,