專題06 有理數(shù)的加法（解析版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

專題06.有理數(shù)的加法1．理解有理數(shù)加法的意義，掌握有理數(shù)加法法則，正確進行有理數(shù)加法運算；2．理解有理數(shù)加法運算律，并能運用運算律簡化運算；3．經(jīng)歷探索有理數(shù)加法法則的過程，理解有理數(shù)加法法則的合理性；4.感知數(shù)學(xué)知識源于生活，并應(yīng)用于生活，滲透“化歸”等數(shù)學(xué)思想。題型探究題型1、有理數(shù)加法法則的辨析 3題型2、有理數(shù)的加法運算 4題型3、有理數(shù)加法的運算律 6題型4、有理數(shù)加法的實際應(yīng)用 11題型5、有理數(shù)加法的綜合運用（幻方問題） 14題型6、有理數(shù)加法的綜合運用（新定義） 18培優(yōu)精練A組（能力提升） 20B組（培優(yōu)拓展） 26【思考1】一間0°C冷藏室連續(xù)兩次改變溫度：(1)第一次上升5°C，接著再上升3°C；(2)第一次下降5°C，接著再下降3°C；(3)第一次下降5°C，接著再上升3°C；(4)第一次下降3°C，接著再上升5°C。問：連續(xù)兩次變化使溫度共上升了多少攝氏度?注意：(1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升-3°C；(2)共：對連續(xù)兩次溫度變化進行求和；（3）可借助溫度計（或數(shù)軸）理解?！炯訙p號的歷史】加減法最早出現(xiàn)在人類社會的早期階段，但是，加減法的符號真正被廣泛運用是在十七世紀(jì)，在那之前運算符號都是比較麻煩的。1514年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示減法。1544年，德國數(shù)學(xué)家施蒂費爾在《整數(shù)算術(shù)》中正式用“＋”和“-

”表示加減，后來又經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Vieta）的宣傳和提倡，才開始普及，直到1630年，才得到大家的公認(rèn)，并被廣泛采用。1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．注意：1）有理數(shù)的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則；3.運算律：1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運算簡化，認(rèn)識運算律對于理解運算有很重要的意義。2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。題型1、有理數(shù)加法法則的辨析【解題技巧】有理數(shù)加法的法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．例1．（2024七年級上·廣東·專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．三個有理數(shù)相加和一定大于每個加數(shù)B．三個非零有理數(shù)相加，和可能等于零C．兩個有理數(shù)和為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)D．兩個負(fù)數(shù)相加，把絕對值相加【答案】B【分析】通過舉例子結(jié)合有理數(shù)的加法運算法則逐一分析各選項即可．【詳解】解：如∴三個有理數(shù)相加和一定大于每個加數(shù)是不正確的描述，故A不符合題意；如∴三個非零有理數(shù)相加，和可能等于零是正確的描述，故B符合題意；如∴兩個有理數(shù)和為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)是不準(zhǔn)確的描述，故C不符合題意；兩個負(fù)數(shù)相加，取與加數(shù)相同的負(fù)號，再把絕對值相加，原來的描述是錯誤的，故D不符合題意；故選B【點睛】本題考查的是有理數(shù)的加法運算的理解，運算法則為：同號的兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的正負(fù)號，再把絕對值相加，絕對值不相等的異號的兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，再用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0，0與一個數(shù)相加仍得這個數(shù)；掌握與理解法則是解本題關(guān)鍵．例2．（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知兩個有理數(shù)，那么a+b與a，必定是（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法即可判斷每個選項是否正確．【詳解】解：當(dāng)時，，故A選項錯誤；當(dāng)時，，故B選項錯誤；當(dāng)，時，，此時，故C選項錯誤，故選：D．【點睛】本題考查有理數(shù)的加減運算和大小比較，注意：和可能會比加數(shù)?。兪?．（2023·重慶·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)B．異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)C．絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零D．兩數(shù)相加，取較小一個加數(shù)的符號作為結(jié)果的符號【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法分別分析各個選項，然后得出結(jié)論即可．【詳解】解：A選項，兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)，說法錯誤，例如：兩個負(fù)數(shù)相加，故不符合題意；B選項，異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)，說法錯誤，如果和為正數(shù)，就不滿足題干要求，故不符合題意；C選項，絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零，說法正確，故符合題意；D選項，兩數(shù)相加，取絕對值較大一個加數(shù)的符號作為結(jié)果的符號，原說法錯誤，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查有理數(shù)加法的知識，熟練掌握有理數(shù)加法是解題的關(guān)鍵．變式2．（23-24七年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）如果，那么，，三個數(shù)中（

）A．有一個數(shù)必為B．至少有一個負(fù)數(shù)C．有且只有一個負(fù)數(shù)D．至少有兩個負(fù)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可．【詳解】解：∵，∴，，三個數(shù)中必然會有負(fù)數(shù)，即，，三個數(shù)中至少有一個負(fù)數(shù)，故選B．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．題型2、有理數(shù)的加法運算【解題技巧】根據(jù)有理數(shù)加法的法則計算即可。例1．（23-24七年級上·廣東·課后作業(yè)）的符號取號，的符號取號，的符號取號．【答案】負(fù)/-正/+負(fù)/-【分析】根據(jù)加法法則判斷和的符號即可．【詳解】解：的符號取負(fù)號，的符號取正號，的符號取負(fù)號，故答案為：負(fù)，正，負(fù)【點睛】此題考查了加法法則判斷和的符號，熟練掌握加法法則是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的加法法則，熟練掌握加法法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)加法法則計算即可；（2）根據(jù)加法法則計算即可．【詳解】（1）；（2）．變式1．（2023·山東濱州·模擬預(yù)測）中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)．如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖可列式計算為，由此可推算圖中計算所得的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進行求和得出答案．【詳解】解：由題意得：，故選：C．變式2．（2024·吉林松原·二模）比大5的數(shù)是（

）A．3 B． C．7 D．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)加法的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出式子計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：A．變式3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）若要等式4成立，“”中應(yīng)填的運算符號是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用有理數(shù)的運算法則計算即可確定出運算符號．【詳解】解：∵，∴“”中應(yīng)填的運算符號是，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．題型3、有理數(shù)加法的運算律【解題技巧】有理數(shù)常見簡算方法：①相反數(shù)結(jié)合——抵消；②同號結(jié)合——符號易確定；③同分母結(jié)合法——無需通分（分母倍數(shù)的也可考慮）；④湊整數(shù)；⑤同行結(jié)合法——分?jǐn)?shù)拆分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。例1．（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運用加法運算律錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)加法的運算律，熟練掌握交換律，結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．【詳解】A.，符合交換律，不符合題意；

B.，符合交換律，不符合題意；C.，不符合結(jié)合律，符合題意；

D.，符合結(jié)合律，不符合題意；故選C．例2．（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）利用運算律計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行運算即可；（2）根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行運算即可；（3）根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行運算即可；（4）根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行運算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加法的交換律和結(jié)合律，準(zhǔn)確計算．例3．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：對于可以如下計算：原式__________________．上面這種方法叫拆項法．(1)請補全以上計算過程；(2)類比上面的方法計算：．【答案】(1)(2)，過程見詳解?！痉治觥勘绢}考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算；（2）參照（1）的解題思路解題即可．【詳解】（1）解：可以如下計算：原式，故答案為：（2）解：變式1．（23-24七年級上·山東淄博·期中），上面的計算所運用的運算律是（

）A．交換律 B．結(jié)合律C．先用結(jié)合律，再用交換律 D．先用交換律，再用結(jié)合律【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進行計算，即可解答．【詳解】解：，上面的計算所運用的運算律是先用交換律，再用結(jié)合律，故選：D．變式2．（23-24七年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）下列變形，運用加法運算律正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用加法交換律及結(jié)合律判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B正確；C、，故C錯誤；D、，故D錯誤．故選：B．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法運算律，熟練掌握加法運算律是解本題的關(guān)鍵．變式3．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算以及加法運算律，根據(jù)加法運算律添加大括號，簡便計算即可．【詳解】解：，故答案為：．變式4．（2024·廣東七年級課時練習(xí)）計算：(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）(2)43+（﹣77）+27+（﹣43）(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16(4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）(6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）【答案】(1)﹣3(2)﹣50(3)﹣5(4)2(5)1(6)【分析】(1)運用加法的交換律和結(jié)合律，同號的相結(jié)合，再按照異號兩數(shù)相加的法則計算即可；(2)運用加法的交換律和結(jié)合律，同號的相結(jié)合，再按照異號兩數(shù)相加的法則計算即可；(3)運用加法的交換律和結(jié)合律，同號的相結(jié)合，再按照異號兩數(shù)相加的法則計算即可；(4)運用加法的交換律和結(jié)合律，同號的相結(jié)合，再按照異號兩數(shù)相加的法則計算即可；(5)運用加法的交換律和結(jié)合律，同分母的相結(jié)合，再按照異號兩數(shù)相加的法則計算即可．（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）]＝40+（﹣43）＝﹣3，（2）43+（﹣77）+27+（﹣43）＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）]＝70+（﹣120）＝﹣50，（3）18+（﹣16）+（﹣23）+16＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）]＝34+（﹣39）＝﹣5，（4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）]＝14+（﹣12）＝2，（5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]＝10+（﹣9）＝1，（6）＝＝＝．【點睛】本題考查了有理數(shù)加法法則和加法的運算律，熟練運用有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．題型4、有理數(shù)加法的實際應(yīng)用【解題技巧】有理數(shù)運算相關(guān)的實際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。例1．（23-24七年級上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零錢還有83.18元，下圖是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信賬單，其中正數(shù)表示收款，負(fù)數(shù)表示付款，王叔叔于10月5日9：00掃二維碼付款給超市后的微信零錢為（

）賬單10月1日09：24微信轉(zhuǎn)賬10月2日16：36掃碼付款給肉食店10月4日10：20微信紅包10月5日9：00掃碼付款給超市A．175 B．175.36 C．185 D．210.36【答案】A【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法運算的應(yīng)用．根據(jù)“正數(shù)表示收款，負(fù)數(shù)表示付款”，列式計算即可求解．【詳解】解：（元），即10月5日9：00掃二維碼付款給超市后的微信零錢為175元．故選：A．例2．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）某日小明在一條南北方向的公路上跑步．他從A地出發(fā)，每隔記錄下自己的跑步情況（向南為正方向，單位：m）：，1100，，1010，，988．(1)后他停下來休息，此時他在A地的什么方向？距離A地多遠(yuǎn)？(2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？【答案】(1)此時他在A地的南方，距離A地．(2)小明休息完返回A地，小明共跑了米．【分析】（1）本題考查正負(fù)數(shù)的意義，以及有理數(shù)加法運算的實際運用，根據(jù)有理數(shù)加法運算法則計算出其后跑步情況，結(jié)合向南為正方向，即可解題．（2）本題考查絕對值的意義，需要注意小明休息完要返回A地，再根據(jù)絕對值的意義計算，即可解題．【詳解】（1）解：（），向南為正方向，此時他在A地的南方，距離A地．（2）解：小明休息完要返回A地，小明共跑了（），答：小明休息完返回A地，小明共跑了米．例3．（2024·北京通州·一模）某公司籌備一場展覽會，現(xiàn)列出籌備展覽會的各項工作．具體籌備工作包含以下內(nèi)容（見下表）．其中，“前期工作”是指相對于某項工作，排在該工作之前需完成的工作稱為該工作的前期工作．工作代碼工作名稱持續(xù)時間（天）前期工作A張貼海報、收集作品7無B購買展覽用品3無C打掃展廳1無D展廳裝飾3CE展位設(shè)計與布置3ABDF展品布置2EG宣傳語與環(huán)境布置2ABDH展前檢查1FG（1）在前期工作結(jié)束后，完成“展廳裝飾”最短需要天；（2）完成本次展覽會所有籌備工作的最短總工期需要天．【答案】413【分析】本題考查了優(yōu)化問題，即如何在最短的時間內(nèi)完成工作，實現(xiàn)最優(yōu)效果．（1）根據(jù)表格知，完成“展廳裝飾”要完成C、D兩項工作，故可得到至少需要的天數(shù)；（2）由表格知，完成A的時間里，可同時完成B、C、D的工作，可進行E的工作，則可進行G、H的工作，從而完成整個工作，從而可得最短總工作時間．【詳解】解：（1）由表格知，在前期工作結(jié)束后，完成“展廳裝飾”最短需要（天）；故答案為：4；（2）完成本次展覽會所有籌備工作的路徑為：，最短總工期需要的天數(shù)為：（天）；故答案為為：13．變式1．（2023·湖北·七年級?？茧A段練習(xí)）某次數(shù)學(xué)考試成績以80分為標(biāo)準(zhǔn)，高于80分記為“”，低于80分記為“”，例如：78分記為“”，81分記為“”，將某小組五名同學(xué)的成績簡記為，，，，0，則這五名同學(xué)的平均成績應(yīng)為__．【答案】82分【分析】求出每個數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的差的平均數(shù)，再加上80分，就是這五名同學(xué)的平均成績.【詳解】這五名同學(xué)的平均成績應(yīng)為故答案為：82分．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算.多個有理數(shù)求平均值，可以采用新數(shù)據(jù)法.掌握這種計算方法是解題的關(guān)鍵.變式2．（2023·重慶·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙兩支同樣的溫度計，將它們按如圖位置放置，如果向左移動甲溫度計，使其度數(shù)12與乙溫度計的度數(shù)對齊，那么此時乙溫度計與甲溫度計數(shù)對齊的度數(shù)是____________．【答案】10【分析】先根據(jù)度數(shù)12到度數(shù)共有16個單位長度，再根據(jù)度數(shù)12正對著乙溫度計的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】∵度數(shù)12到度數(shù)共有16個單位長度，∵度數(shù)12正對著乙溫度計的度數(shù)，∴甲溫度計的度數(shù)正對著乙溫度計的度數(shù)是；故答案為：10．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握溫度計上點的特點．變式3．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）一天，王女士到某辦公樓辦事，假定乘電梯向上一層記為，向下一層記為，電樓上下層數(shù)依次錄如下（單位層）：．(1)請問王女士最后在幾層？(2)該大樓，每層高．電梯每上（或下）零耗電千瓦時，請你計算，她乘電梯辦事，電梯需要耗電多少千瓦時？【答案】(1)王女士最后停在1樓(2)她辦事時電梯需要耗電千瓦時【分析】本題考查有理數(shù)的加減法運算的應(yīng)用和絕對值的應(yīng)用，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意將數(shù)據(jù)相加起來即可求解；（2）將所有數(shù)據(jù)加絕對值進行相加即可求解，再結(jié)合題意進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得，答：王女士最后回到了原出發(fā)點，即1樓位置．（2）解：由題意可得，（層），（千瓦時）答：耗電千瓦時．題型5、有理數(shù)加法的綜合運用（幻方問題）【解題技巧】利用幻方和相等建立等量關(guān)系或直接幻方和相等的性質(zhì)解題即可。例1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”，把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方，三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，如圖是另一個三階幻方，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減法以及出三元一次方程的音樂，根據(jù)題意出三元一次方程以及整體思想是解題關(guān)鍵．如圖：根據(jù)題中給出的三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，即可列出三元一次方程，然后變形即可解答．【詳解】解：∵三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，∴如圖可得：即．故選D．例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學(xué)設(shè)計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，，3，，5，，7，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形的4個數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將、5、7、這四個數(shù)填入了圓圈，則圖中的值為．【答案】或【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù),且橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，得出橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都是，設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，得出，，，，進而分情況得出a的值，然后計算即可.【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，∵，且橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，∴內(nèi)外兩個圈的4個數(shù)字之和都是，橫、豎的4個數(shù)字之和也是，則，得，，得，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故答案為：或.變式1．（23-24七年級上·安徽·期末）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，已知圖中、⊙分別表示一個數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．或4 D．或1【答案】D【分析】由于八個數(shù)的和是，所以需滿足兩個圈的和是，橫、豎的和也是．列等式可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為，空白處為c；大圈上的數(shù)為，空白處為d∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，∴兩個圈的和是，橫、豎的和也是，則，得∵內(nèi)圈的數(shù)和是，得，∵一共八個數(shù)，，，，，，∴或者∵當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則，∴的值為或故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法．解決本題的關(guān)鍵是知道橫豎兩個圈的和都是．變式2．（23-24七年級上·山西臨汾·期中）閱讀下面材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．幻方相傳大禹治水時，洛水中出現(xiàn)了一只神龜，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”．用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來，就是三階幻方．其每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個和叫做幻和，正中間的那個數(shù)叫做中心數(shù)，且幻和恰好等于中心數(shù)的3倍．如圖1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，其幻和為15，中心數(shù)為5．

(1)請在圖2的空格中填上合適的數(shù)，使其構(gòu)成一個三階幻方；(2)請將，3，5，7，9這八個數(shù)分別填入圖3的空格中，使其構(gòu)成一個三階幻方．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三個數(shù)的和為，依次列式計算即可求解；（2）先將已知的9個數(shù)求和，再除以3即可求出每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和，根據(jù)幻方的特點可知，已知的從小到大的排列的9個數(shù)中，居于中間位置的數(shù)填在幻方的正中心的格子中，并且這列數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)必在一起，據(jù)此填表即可．【詳解】（1）解：如圖：；（2）解：，即幻方中，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都等于6，根據(jù)幻方的特點可知：從小到大的排列的9個數(shù)中，居于中間位置的數(shù)填在幻方的正中心的格子中，并且這列數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)必在一起，即三階幻方如下：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，根據(jù)表格，先求出三個數(shù)的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．題型6、有理數(shù)加法的綜合運用（新定義）【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.例1．（2023·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）對于一個非整數(shù)的有理數(shù)（為整數(shù)），我們規(guī)定：表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，表示最接近的整數(shù)．例如，，，．則使成立的的取值范圍為（

）A． B．C．且 D．以上答案都不對【答案】A【分析】根據(jù)選項的特點，選擇特殊的值代入，然后利用排除法求解即可．【詳解】解：取，，，∴，不符合題意，排除B、C；取，，，∴，符合題意，∵故選：A．【點睛】題目主要考查有理數(shù)的加法運算，理解新定義的運算是解題關(guān)鍵．例2．（2022秋·北京通州·七年級統(tǒng)考期中）用符號表示a，b兩個有理數(shù)中的較大的數(shù)，用符號表示a，b兩個有理數(shù)中的較小的數(shù)，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)新符號的定義化簡所求式子，再計算有理數(shù)的加法即可得．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握理解新符號的定義是解題關(guān)鍵．變式1．（2022秋·重慶·七年級?？计谥校τ欣頂?shù)a、b定義新運算如下：，則_________．【答案】/【分析】根據(jù)，用3的相反數(shù)加上的倒數(shù)，求出的值，進而求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：；【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解答此題的關(guān)鍵是弄清楚運算“”的運算方法．變式2．（2022秋·七年級單元測試）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，計算：______．【答案】3【分析】根據(jù)題中所給新定義運算可進行求解．【詳解】解：∵表示不超過的最大整數(shù)，∴，∴；故答案為3．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法運算是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·重慶七年級課時練習(xí)）古代埃及人在進行分?jǐn)?shù)運算時，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù)，我們注意到，某些真分?jǐn)?shù)恰好可以寫成兩個埃及分?jǐn)?shù)的和，例如：，則寫成兩個埃及分?jǐn)?shù)的和的形式為為=___________．【答案】【分析】根據(jù)題目給出的埃及分?jǐn)?shù)的定義，即可解答．【詳解】解：∵只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù)，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，讀懂題目，明確埃及分?jǐn)?shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．A組（能力提升）1．（2023·四川樂山·七年級統(tǒng)考期中）已知兩數(shù)的和為正，下面的判斷中，正確的是（

）A．兩個加數(shù)必須都為正數(shù) B．兩個加數(shù)都為負(fù)數(shù)C．兩個加數(shù)中至少有一個正數(shù) D．兩個加數(shù)必須一正，一負(fù)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)加法計算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，并不一定兩個加數(shù)都是正數(shù)，說法錯誤，不符合題意；B．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，說法錯誤，不符合題意；C．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，即兩個加數(shù)中至少有一個正數(shù)，說法正確，符合題意；D．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，兩個加數(shù)可以都是正數(shù)，說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)加法計算，熟知兩個有理數(shù)相加，符號取絕對值較大的數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級上·浙江·期末）計算：的結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．9【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，注意計算的準(zhǔn)確性即可．【詳解】解：，故選：A3．（2024·廣東·二模）甲地的平均海拔為，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，理解題意，正確列出式子是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，甲地的平均海拔為，乙地平均海拔比甲地高，則乙地的平均海拔為，由此得到答案．【詳解】解：∵甲地的平均海拔為，乙地平均海拔比甲地高，∴乙地的平均海拔為．故選：B．4．（22-23七年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)（白色為正，灰色為負(fù)），圖1表示的是的計算過程，則圖2表示的計算過程是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)常識，本題是閱讀型題目，理解圖中的含義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．依據(jù)題意寫出算式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，圖2表示的計算過程是：；故選：B．5．（23-24七年級上·河北邢臺·期末）是應(yīng)用了（

）A．加法交換律 B．加法結(jié)合律 C．分配律 D．移項【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合運算律即可得到答案，此題考查了加法交換律，．【詳解】解：是應(yīng)用了加法交換律，故選：A6．（23-24七年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）關(guān)于“三個有理數(shù)的和為”這個話題，數(shù)學(xué)活動小組成員甲、乙、丙、丁四位同學(xué)發(fā)表了下列看法：甲：這三個有理數(shù)可能都是；乙：這三個數(shù)中最多有兩個正數(shù)；丙：這三個數(shù)中最少有兩個數(shù)是負(fù)數(shù)；?。哼@三個有理數(shù)是互為相反數(shù)．則正確的看法是（

）A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，相反數(shù)的定義，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的加法，相反數(shù)的定義推出所有情況，即可得出答案．【詳解】解：若三個有理數(shù)的和為，則：情況一：這三個有理數(shù)都是；情況二：這三個有理數(shù)，一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)，一個，且正數(shù)的絕對值等于負(fù)數(shù)的絕對值，即這三個有理數(shù)有一個是，另外兩個數(shù)互為相反數(shù)；情況三：這三個有理數(shù)，兩個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)，且負(fù)數(shù)的絕對值等于兩個正數(shù)之和；情況四：這三個有理數(shù)，一個正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，且兩個負(fù)數(shù)的絕對值之和等于正數(shù)；綜上，甲、乙說法正確；故選：C．7．（23-24七年級上·廣西南寧·期中）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格，如圖九宮格內(nèi)每個小方格內(nèi)均有不同的數(shù)字，要求方格內(nèi)每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)字之和均相等，圖中給出了部分?jǐn)?shù)字，則處對應(yīng)的數(shù)字是（）

A．7 B．5 C．4 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意列出算式，先求得得出右上角為，進而求得處對應(yīng)的數(shù)字．【詳解】解：如圖所示，

依題意，∴∴解得：故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）下列是運用有理數(shù)加法法則計算思考、計算過程的敘述：①和2的絕對值分別為5和2；②的絕對值5較大；2的絕對值2較?、凼钱愄杻蓴?shù)相加；④結(jié)果的絕對值是用得到；⑤計算結(jié)果為；⑥結(jié)果的符號是取的符號－－負(fù)號；請按運用法則思考、計算過程的先后順序排序（只寫序號）：______．【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，按照有理數(shù)加法法則的計算順序逐個判斷即可.【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)加法法則：應(yīng)該先看兩數(shù)符號是否相同，故應(yīng)先③，若符號不同，再看兩數(shù)的絕對值，故再①，然后再比較絕對值的大小，故再②，然后再確定結(jié)果的絕對值與結(jié)果的符號，故再④⑥或⑥④；最后得出結(jié)果，故最后為⑤；綜上分析可知，計算過程的先后順序排序為③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．故答案為：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．【點睛】本題考查有理數(shù)的加法法則，熟練掌握并理解加法法則的含義是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東七年級期中）（1）若，，，則____（2）若，，，則____【答案】【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算即可求解；同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加．（2）根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算即可求解．同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加．【詳解】（1）若，，，則，故答案為：．（2）若，，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．10．（23-24七年級上·重慶·階段練習(xí)）用簡便方法計算：．【答案】【分析】原式變形后，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．11．（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)65(2)【詳解】（1）；（2）．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法計算，正確掌握有理數(shù)加法計算法則是解題的關(guān)鍵．12．（23-24七年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)0(4)0【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運算，化簡絕對值．掌握有理數(shù)的加法運算法則和運算律是解題關(guān)鍵．13．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）我國某次軍事演習(xí)中，一艘核潛艇的初始位置在海平面下，規(guī)定核潛艇上升記為“＋”，下降記為“－”，下面是這艘核潛艇在某段時間內(nèi)的運動情況：．（單位：）(1)最后這艘核潛艇停留的位置在海平面下多少米？(2)如果這艘核潛艇每上升或下降，核動力裝置所提供的能量相當(dāng)于汽油燃燒所產(chǎn)生的能量，那么在這艘核潛艇運動的這段時間內(nèi)，核潛艇動力裝置提供的能量相當(dāng)于多少升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量？【答案】(1)615(2)5325【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義和有理數(shù)加法的實際應(yīng)用．熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義和有理數(shù)加法法則，是解題的關(guān)鍵．（1）將所有數(shù)據(jù)相加，根據(jù)最終結(jié)果確定核潛艇處在什么位置；（2）將所有數(shù)據(jù)的絕對值相加，再即可得解．【詳解】（1）解：；答：核潛艇處在海平面下米位置；（2）解：(升)；答：在這一時段內(nèi)核動力裝置所提供的能量相當(dāng)于升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量．B組（培優(yōu)拓展）1.（2023·山東·七年級期末）實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰的可視觀測點的相對高度，然后用這些相對高度計算出山的高度．下表是某次測量數(shù)據(jù)的部分記錄（用表示觀測點A相對觀測點C的高度），根據(jù)這次測量的數(shù)據(jù)，可得觀測點A相對觀測點B的高度是（）100米80米米50米米20米A．米 B．240米 C．390米 D．210米【答案】B【分析】根據(jù)表格信息，利用有理數(shù)的加法運算法則進行計算．【詳解】解：由表可知：（米），（米），（米），（米），（米），（米），∴（米）．故選：B．【點睛】本題考查有理數(shù)加法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法運算法則．2．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)分別是，且滿足，則下列各式的值一定是正數(shù)的是（

）A．a(chǎn) B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸，正負(fù)數(shù)，根據(jù)數(shù)軸可得，再結(jié)合可得出一定是正數(shù)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)和確定的符號．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，一定是正數(shù)，故選：B．3．（2023秋·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上依次有，，，，五個點，其中，，三點所表示的數(shù)分別為，，，且．如果有，，，那么該數(shù)軸原點的位置應(yīng)該在（）A．點在線段（不包括端點）上 B．點在線段（不包括端點）上C．點在線段（不包括端點）上 D．點在線段（不包括端點）上【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則以及數(shù)軸上的點進行判斷即可求解．【詳解】解：依題意，，，，∴同為負(fù)號，異號，∴，∴原點在之間，∵，∴的絕對值大于的絕對值，即點到原點的距離大于到原點的距離∴該數(shù)軸原點的位置應(yīng)該在點在線段（不包括端點）上，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法法則以及數(shù)軸上的點，絕對值的意義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲，將，8，，12，，16，，20分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形頂點處圈內(nèi)4個數(shù)字之和都相等，則的值為（

）A．或 B．或10 C．2或 D．2或【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則，能夠根據(jù)所給的條件推理出b、d的可能取值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給數(shù)的特征，可知橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為4，再由已經(jīng)填寫的數(shù)，確定或，從而求出d的值，即可求解．【詳解】解：∵，∴橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為4，∴，∴，∵，，∴，，∴或，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時．∴的值為或10．故選：B．5．（23-24七年級上·福建廈門·期中）小麗在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數(shù)，從中隨機抽取2張，并將它們上面的數(shù)相加．重復(fù)這樣做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一個數(shù)，并且這4個數(shù)都能取到．猜猜看，小麗在4張紙片上寫的數(shù)字是．【答案】3，4，4，6或3，4，5，5【分析】此題主要考查了應(yīng)用類問題，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．首先假設(shè)這四個數(shù)字分別為：A，B，C，D且，進而得出符合題意的答案．【詳解】解：四個數(shù)只能是3，4，4，6或3，4，5，5，理由：設(shè)這四個數(shù)字分別為：A，B，C，D且，故，，（1）當(dāng)時，得，∵，∴，不合題意舍去，所以，（2）當(dāng)時，得，（I）當(dāng)時，，不合題意舍去，（II）當(dāng)時，∵，∴，不合題意舍去，（2）當(dāng)時，得，（I）當(dāng)時，，（II）當(dāng)時，∵，∴，故綜上所述：這四個數(shù)只能是：3，4，4，6或3，4，5，5．故答案為：3，4，4，6或3，4，5，5．6．（2023秋·北京平谷·七年級統(tǒng)考期末）黑板上寫著7個數(shù)，分別為：，a，1，13，b，0，，它們的和為，若每次從中任意擦除兩個數(shù)，同時寫上一個新數(shù)（新數(shù)為所擦除的兩個數(shù)的和加上1），這樣操作若干次，直至黑板上只剩下一個數(shù)，則所剩的這個數(shù)是____________．【答案】【分析】操作一次，黑板上的數(shù)字個數(shù)減少1個，數(shù)字總和增加1．經(jīng)過次操作，剩下的一個數(shù)是，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵每次從中任意擦除兩個數(shù)，同時寫上一個新數(shù)（新數(shù)為所擦除的兩個數(shù)的和加1），∴操作一次，黑板上的數(shù)字個數(shù)減少1個，數(shù)字總和增加1，（次），∴剩下的這個數(shù)是．答：剩