(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01平面解析幾何之直線的傾斜角與斜率高頻考點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題01：平面解析幾何之直線的傾斜角與斜率高頻考點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號：___________一、單選題1．(2023·上海·華師大二附中高二月考）在下列四個(gè)命題中，正確的共有①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率；②直線的傾斜角的取值范圍是；③若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為；④若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．(2023·上海市松江二中高二月考）已知函數(shù)，并定義數(shù)列如下：、.如果數(shù)列滿足：對任意，，則函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．3．(2023·上海青浦·高二期末）已知直線l1∶xsina+y=0與直線l2∶3x+y+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合B．直線l1與直線l2可能垂直C．直線l1與直線l2可能平行D．存在直線l1外一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合4．（2017·上?！ど贤飧街懈叨谥校┮阎獌蓷l直線，，，則直線的一個(gè)方向向量是（）A． B． C． D．5．若直線與平行，則與間的距離為（）A． B．C． D．6．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)可取的不同值共有（）.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，那么直線的方程為（）A． B． C． D．9．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)且b<0，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．10．(2023·上海黃浦·高二期末）已知與是直線(為常數(shù))上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（）A．無論??如何，總是無解 B．無論??如何，總有唯一解C．存在??，使之恰有兩解 D．存在??，使之有無窮多解二、填空題11.直線和直線的夾角是______________．12．(2023·上海市大同中學(xué)高二月考）已知直線的傾斜角為，則的取值范圍是_________．13．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）已知直線與兩點(diǎn)，點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．直線l的一個(gè)方向向量為，則l與直的的夾角的大小為__________.（結(jié)果用反三角表示）.15．(2023·上海·曹楊二中高二期末）若直線、的斜率分別是方程的兩根，則、的夾角為______.16．(2023·上海市南洋模范中學(xué)高二開學(xué)考試）直線與直線的夾角的大小等于__________；17．(2023·上海奉賢·高二期末）二次函數(shù)圖象上的、兩點(diǎn)均在第一象限．設(shè)點(diǎn)，當(dāng)，，時(shí)，直線的斜率為______．18．設(shè)兩直線與軸圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.19．(2023-2021年上?！とA師大二附中高二階段測）已知點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____；20．(2023·上海市奉賢中學(xué)高二月考）將直線l：繞其與y軸的交點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線，則與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積大小為___________.三、解答題21．判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果它們相交，求其交點(diǎn)坐標(biāo).（1）；（2）；（3）；（4）.22．(2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二月考）設(shè)直線與.（1）若∥，求、之間的距離；（2）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.23．(2023·上?！つ涎笾袑W(xué)高二期中）正方形的中心為，其一邊所在直線的斜率是2，并且此正方形的面積是20，求這個(gè)正方形各邊所在直線的方程.24．(2023·上海市大同中學(xué)高二期中）直線到點(diǎn)的距離為4，且和直線相交成45°角，求的方程.25．(2023·上海市行知中學(xué)高二期中）已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，試寫出直線的一個(gè)方向向量；（2）若實(shí)數(shù)，求直線的傾斜角的取值范圍.26．設(shè)常數(shù)，已知直線，.（1）若，求a的值；（2）若，求與的距離；27．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期中）設(shè)、、、，過點(diǎn)作直線，設(shè)直線的斜率為，（1）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)時(shí)，寫出直線的點(diǎn)法向式方程；（2）若直線分別交線段和線段于（兩點(diǎn)不重合），求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，設(shè)的面積為，試將表示為的函數(shù)式為28．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為0的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑），規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA，規(guī)劃要求∶線段PB、QA.上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位∶百米）.（1）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；（2）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位∶百米），求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.29．(2023·上海市西南位育中學(xué)高二期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，討論方程組解的情況，并求解方程組.30．(2023·上海市奉賢中學(xué)高二月考）已知平面上的線段l及點(diǎn)P，任取l上一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作.(1)求點(diǎn)到線段l：的距離；(2)設(shè)l是長為2的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形面積；(3)寫出到兩條線段?距離相等的點(diǎn)的集合，其中，，，，，.專題01：平面解析幾何之直線的傾斜角與斜率高頻考點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號：___________一、單選題1．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）在下列四個(gè)命題中，正確的共有①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率；②直線的傾斜角的取值范圍是；③若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為；④若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)傾斜角與斜率定義與關(guān)系進(jìn)行判斷選擇.【詳解詳析】由于和軸垂直的直線的傾斜角為，而此直線沒有斜率，故①不正確；直線的傾斜角的取值范圍是，故②不正確；若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為，，且，故③不正確；若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率不一定為，如當(dāng)時(shí)，不存在，故④不正確．綜上可知，四種說法全部不正確．選A.【名師指路】本題考查斜率與傾斜角關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.2．(2023·上海市松江二中高二月考）已知函數(shù)，并定義數(shù)列如下：、.如果數(shù)列滿足：對任意，，則函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】由題，，轉(zhuǎn)化得，再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解【詳解詳析】由題可知，，，即，又，所以，，觀察四個(gè)選項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到原點(diǎn)對應(yīng)的斜率應(yīng)大于1，即圖像應(yīng)在對應(yīng)直線的上方，故A符合故選：A【名師指路】本題考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題3．(2023·上海青浦·高二期末）已知直線l1∶xsina+y=0與直線l2∶3x+y+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合B．直線l1與直線l2可能垂直C．直線l1與直線l2可能平行D．存在直線l1外一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路點(diǎn)撥】由直線位置關(guān)系的平行、重合、垂直的條件可得答案.【精準(zhǔn)解析】直線l1∶xsina+y=0的斜率為，與直線l2∶3x+y+c=0斜率為，若直線l1與直線l2重合，則，且，由于，故A錯(cuò)誤；若，則，直線l1與直線l2可能垂直，故B正確；若直線l1與直線l2平行，則，由于，故C錯(cuò)誤；由AC知，直線l1與直線l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直線l1不可能繞P旋轉(zhuǎn)后與直線l2重合，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2017·上?！ど贤飧街懈叨谥校┮阎獌蓷l直線，，，則直線的一個(gè)方向向量是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先利用可得,再求得直線的方向向量即可【詳解詳析】由題,因?yàn)?所以,解得或（舍）所以直線為,即,則該直線的一個(gè)方向向量為故選：B【名師指路】本題考查已知直線的位置關(guān)系求參數(shù),考查直線的方向向量5．若直線與平行，則與間的距離為（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路點(diǎn)撥】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【精準(zhǔn)解析】∵直線與平行，∴且，解得．∴直線與間的距離．故選：B．6．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)可取的不同值共有（）.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】分兩點(diǎn)在直線同側(cè)、異側(cè)討論，同側(cè)時(shí)利用斜率相等求解，異側(cè)時(shí)利用兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上求解.【詳解詳析】若兩點(diǎn)在直線的同側(cè)且與直線距離相等，則直線與直線平行，所以，即，若兩點(diǎn)在直線的異側(cè)且與直線距離相等，則的中點(diǎn)在直線上，所以，解得或,綜上實(shí)數(shù)可取的不同值共有3個(gè)，故選：C【名師指路】本題主要考查了兩點(diǎn)到直線的距離相等的性質(zhì)，直線平行，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類討論思想，屬于中檔題.8．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，那么直線的方程為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】由求得，線段AB的中點(diǎn)為，進(jìn)而得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解詳析】由題意，兩點(diǎn)，可得，線段AB的中點(diǎn)為，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，所以直線方程為，整理得．故選：A．【名師指路】本題主要考查了中點(diǎn)公式，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，以及直線方程的求解及應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)且b<0，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路點(diǎn)撥】求出直線的斜率，然后由斜率得傾斜角．【精準(zhǔn)解析】由題意，直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則為鈍角，所以．故選：C．10．(2023·上海黃浦·高二期末）已知與是直線(為常數(shù))上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（）A．無論??如何，總是無解 B．無論??如何，總有唯一解C．存在??，使之恰有兩解 D．存在??，使之有無窮多解【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】判斷直線的斜率存在，當(dāng)斜率為0時(shí)，方程組無解；當(dāng)斜率不為0時(shí)，通過點(diǎn)在線上可得的關(guān)系，分析方程組即可.【詳解詳析】與由題意可知，直線的斜率存在，當(dāng)時(shí)，又，所以方程組無解；當(dāng)時(shí)，，且，所以，由得因?yàn)樗苑匠探M無解.綜上所述，方程組無解.故選【名師指路】求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”．二、填空題11．直線和直線的夾角是______________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】先求出兩條直線的斜率，再利用直線的夾角公式運(yùn)算即可.【精準(zhǔn)解析】直線和直線的斜率分別為，設(shè)兩條直線的夾角為，由直線的夾角公式可得：，即兩條直線的夾角為，故答案為：.【名師指導(dǎo)】本題考查了直線的夾角公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.12．(2023·上海市大同中學(xué)高二月考）已知直線的傾斜角為，則的取值范圍是_________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】當(dāng)時(shí)，直線為，傾斜角；當(dāng)時(shí)，化為斜截式，利用斜率，可知傾斜角的范圍，即可得結(jié)果.【詳解詳析】當(dāng)時(shí)，直線為，斜率不存在，傾斜角；當(dāng)時(shí)，直線化為直線的斜截式方程：斜率，即，綜上可知，傾斜角的取值范圍是故答案為：【名師指路】結(jié)論點(diǎn)睛：直線傾斜角的范圍是，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，斜率；當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率．13．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）已知直線與兩點(diǎn)，點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】寫出線段的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由可求得的范圍．【詳解詳析】由條件得有解，解得，由，得或．故答案為：．【名師指路】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與線段有公共點(diǎn)問題．解題方法是直線（線段）方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)坐標(biāo)的范圍求出參數(shù)的范圍，可是也可利用數(shù)形結(jié)合思想求解，即求出的斜率，由圖形觀察出的范圍．14．直線l的一個(gè)方向向量為，則l與直的的夾角的大小為__________.（結(jié)果用反三角表示）.【標(biāo)準(zhǔn)答案】由方向向量的夾角得直線的直角（相交直線夾角為銳角或直角）．【詳解詳析】直線的方向向量為，設(shè)兩直線夾角為，則，為銳角，∴．故答案為：．【名師指路】方法點(diǎn)睛：本題考查求直線的夾角，求夾角方法：（1）利用兩直線的斜率，結(jié)合夾角公式計(jì)算；（2）由方向向量的夾角與兩直線夾角相等或互補(bǔ)計(jì)算．15．(2023·上?！げ軛疃懈叨谀┤糁本€、的斜率分別是方程的兩根，則、的夾角為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】記直線、的傾斜角分別為、，且，解方程，可求得、的值，利用兩角差的正切公式求出的值，即可求得結(jié)果.【詳解詳析】記直線、的傾斜角分別為、，且，解方程，即，解得，，所以，、均為銳角，且，，由兩角差的正切公式可得，，且，可得，.因此，、的夾角為.故答案為：.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵就是利用兩角差的正切公式求出兩直線夾角的正切值，同時(shí)要注意注意討論所求角的取值范圍，結(jié)合正切值求出所求角.16．(2023·上海市南洋模范中學(xué)高二開學(xué)考試）直線與直線的夾角的大小等于__________；【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題得直線的傾斜角為，設(shè)直線的傾斜角為，且，設(shè)直線與直線的夾角為，解方程即得解.【詳解詳析】由題得直線的傾斜角為，設(shè)直線的傾斜角為，且，設(shè)直線與直線的夾角為，所以，所以故答案為：17．(2023·上海奉賢·高二期末）二次函數(shù)圖象上的、兩點(diǎn)均在第一象限．設(shè)點(diǎn)，當(dāng)，，時(shí)，直線的斜率為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)點(diǎn)、，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合作差法可得出的值，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的值，再利用直線的斜率公式可求得結(jié)果.【詳解詳析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)、，由拋物線的定義可得，，所以，，因?yàn)?、均在第一象限，且，因?yàn)?，所以，，因此，直線的斜率為.故答案為：.18．設(shè)兩直線與軸圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】且【思路點(diǎn)撥】計(jì)算不能形成三角形的三種情況，三線共點(diǎn)和兩種平行，計(jì)算得到答案.【精準(zhǔn)解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，，即，此時(shí)不能形成三角形；當(dāng)兩直線平行時(shí)，，即，此時(shí)不能形成三角形；當(dāng)直線與軸平行時(shí)，，即，此時(shí)不能形成三角形；綜上所述：且時(shí)，可以形成三角形.故答案為：且.【名師指導(dǎo)】本題考查了直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.19．(2023-2021年上海·華師大二附中高二階段測）已知點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____；【標(biāo)準(zhǔn)答案】【精準(zhǔn)解析】由直線，即，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，則直線的斜率，直線的斜率，若直線與線段相交，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線間的斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記直線方程的各種形式和直線過定點(diǎn)的判定，此類問題解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段端點(diǎn)斜率之間關(guān)系是常見的一種解題方法，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力．20．(2023·上海市奉賢中學(xué)高二月考）將直線l：繞其與y軸的交點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線，則與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積大小為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用到角公式求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，求出與軸與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出所圍成的三角形面積.【詳解詳析】令得：，則，其中直線l的斜率，設(shè)直線的斜率為，由到角公式得：，解得：，且直線l′過點(diǎn)M，所以直線方程為：，即，其中與軸的交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為，則與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.故答案為：.三、解答題21．判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果它們相交，求其交點(diǎn)坐標(biāo).（1）；（2）；（3）；（4）.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）與平行；（2）與相交，交點(diǎn)是（5,5）；（3）與相交，交點(diǎn)是（0,4）；（4）與平行（1）由斜率相等，再判斷在y軸上的截距是否相等；（2）由斜率不相等，再聯(lián)立兩方程求交點(diǎn)；（3）立兩方程求交點(diǎn)；（4）由斜率相等，再判斷在y軸上的截距是否相等.【詳解詳析】（1）因?yàn)?，令，，所以；?）因?yàn)?，所以兩直線相交，聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）因?yàn)椋詢芍本€相交，聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；（4）因?yàn)?，令，，所以；【名師指路】本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22．(2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二月考）設(shè)直線與.（1）若∥，求、之間的距離；（2）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之間的距離；（2）表示直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，配方法求出最大，即可求直線l2的方程．【詳解詳析】（1）若l1∥l2，則，∴，∴m＝6，∴l(xiāng)1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l(xiāng)1，l2之間的距離d；（2）由題意，，∴0＜m＜3，直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積Sm（3﹣m），∴m時(shí)，S最大為，此時(shí)直線l2的方程為2x+2y﹣3＝0．【名師指路】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．23．(2023·上?！つ涎笾袑W(xué)高二期中）正方形的中心為，其一邊所在直線的斜率是2，并且此正方形的面積是20，求這個(gè)正方形各邊所在直線的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】，，，.由直線的平行、垂直關(guān)系，可設(shè)出正方形的邊所在的直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，求得相應(yīng)的系數(shù)，即可求解.【詳解詳析】設(shè)正方形的邊長為，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，可得，解得，又由其一邊所在直線的斜率是2，設(shè)這兩邊所在的直線方程為，因?yàn)檎叫蔚闹行臑?，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得或，此時(shí)直線的方程為或；設(shè)另外兩邊的直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得或，此時(shí)直線的方程為或.【名師指路】根據(jù)兩直線平行或垂直關(guān)系設(shè)方程的方法：1、平行于已知直線的直線方程，可得設(shè)為是參數(shù)，且；2、垂直與已知直線的直線方程，可得設(shè)為是參數(shù).24．(2023·上海市大同中學(xué)高二期中）直線到點(diǎn)的距離為4，且和直線相交成45°角，求的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】，，，.直線和直線相交成角，得到直線的斜率，再由直線到點(diǎn)的距離為4得到直線方程.【詳解詳析】設(shè)直線的傾斜角為，由題意知直線的斜率存在且設(shè)為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，則，所以，或，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€到點(diǎn)的距離為4，所以，解得或，直線方程為當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€到點(diǎn)的距離為4，所以，解得或，所以直線方程為，，，【名師指路】本題考查了直線的方程，平面兩條直線的夾角經(jīng)常涉及到兩角和與差的正切公式，要熟練掌握其性質(zhì)并能正用和逆用.25．(2023·上海市行知中學(xué)高二期中）已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，試寫出直線的一個(gè)方向向量；（2）若實(shí)數(shù)，求直線的傾斜角的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）直線的一個(gè)方向向量為；（2）.（1）將A代入直線l方程求a，寫出直線方程即可得l的方向向量；（2）由直線方程得斜率，討論a并利用基本不等式求k的范圍，進(jìn)而可得傾斜角的范圍.【詳解詳析】（1）把代入直線的方程，得，解得，此時(shí)直線的方程為，故直線的一個(gè)方向向量為；（2）因?yàn)椋灾本€的斜率，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；綜上有，可得傾斜角.【名師指路】結(jié)論點(diǎn)睛：1、直線的方向量為或.2、傾斜角與斜率k的關(guān)系：或.26．設(shè)常數(shù)，已知直線，.（1）若，求a的值；（2）若，求與的距離；【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.（1）根據(jù)兩直線垂直的條件求參數(shù)值；（2）由平行的條件求得參數(shù)值，兩方程中的系數(shù)分別化為相同，然后由平行間距離公式計(jì)算．【詳解詳析】（1）由題意，解得；（2）由兩條平行顯然，因此，解得或，時(shí)，兩直線方程均為，不合題意，時(shí)，方程為，即，方程為，即，所求距離為．【名師指路】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查由兩直線平行與垂直求參數(shù)，考查平行間距離公式．在已知平行求參數(shù)時(shí)，一般在求得參數(shù)值時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除兩直線重合的情形，這是易錯(cuò)點(diǎn)．27．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期中）設(shè)、、、，過點(diǎn)作直線，設(shè)直線的斜率為，（1）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)時(shí)，寫出直線的點(diǎn)法向式方程；（2）若直線分別交線段和線段于（兩點(diǎn)不重合），求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，設(shè)的面積為，試將表示為的函數(shù)式為【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）根據(jù)距離最遠(yuǎn)時(shí)可得為直線的法向量，由此可得點(diǎn)法向式方程；（2）根據(jù)圖象可確定，利用兩點(diǎn)連線斜率公式求得臨界值后即可得到所求范圍；（3）將方程與直線方程聯(lián)立可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式可求得，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得原點(diǎn)到直線距離，代入三角形面積公式，化簡得到結(jié)果.【詳解詳析】（1）當(dāng)點(diǎn)到直線距離最遠(yuǎn)時(shí)，，即是直線的法向量，直線的點(diǎn)法向式方程為：；（2）若直線與線段，均有交點(diǎn)且交點(diǎn)不重合，則由圖象可知：，，，的取值范圍為；（3）設(shè)直線，即，由（2）知：；又直線：；直線；由得：，即，同理可得：，，又原點(diǎn)到直線距離，，又，，；28．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為0的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑），規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA，規(guī)劃要求∶線段PB、QA.上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位∶百米）.（1）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；（2）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位∶百米），求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）不能，理由見解析；（2）.【思路指引】設(shè)BD與圓O交于M，連接AM，AB為圓O的直徑，可得AM⊥BM，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，（1）當(dāng)QA⊥AB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離不小于圓的半徑，求得點(diǎn)Q的坐