(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學專題訓練專題07拋物線的標準方程高頻考點專練(原卷版+解析)

專題07拋物線的標準方程高頻考點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市第五十四中學高二月考）已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線的準線距離之和的最小值是A．5 B．8 C． D．2．(2023·上海青浦·二模）點在直線上，若存在過的直線交拋物線于、兩點，且，則稱點為“友善點”，那么下列結論中正確的是（）A．直線上的所有點都是“友善點”B．直線上僅有有限個點是“友善點”C．直線上的所有點都不是“友善點”D．直線上有無窮多個點（不是所有的點）是“友善點”3．已知橢圓，拋物線焦點均在x軸上，的中心和頂點均在原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于表中，則的左焦點到的準線之間的距離為3-240-4A． B． C．1 D．24．點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離之和的最小值是（）A． B．2 C． D．5．(2023·上?！とA師大二附中高三月考）設拋物線C：()，若對于任意實數(shù)y，總有(等號可以取到)，則該拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．6．(2023·上海·格致中學三模）已知拋物線、的焦點都為，的準線方程為，的準線方程為，與相交于M、N兩點，則直線MN的方程為（）A． B． C． D．7．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為①圓的面積為；②橢圓的長軸為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為④拋物線中焦點到準線的距離為.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．是拋物線上一點，是圓關于直線的對稱曲線上一點，則的最小值是A．2 B． C． D．二、填空題9．(2023·上海虹口·一模）已知拋物線的焦點為，，為此拋物線上的異于坐標原點的兩個不同的點，滿足，且，則______.10．(2023·上海松江·一模）若拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是___________.11．(2023·上海嘉定·一模）已知拋物線上一點到其焦點的距離為，雙曲線：的左頂點為，若雙曲線C的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的焦距為____________.12．(2023·上海金山·一模）已知???…?是拋物線上不同的點，點，若，則___________13．已知拋物線的準線與圓相切，則的值為__________．14．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知實數(shù)、滿足方程，當時，由此方程可以確定一個偶函數(shù)，則拋物線的焦點到點的軌跡上點的距離最大值為________.15．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．16．我們知道：用平行于圓錐母線的平面(不過頂點)截圓錐，則平面與圓錐側面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，?是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于__________.17．已知點P在拋物線上，則點P到點的距離與點P到拋物線焦點的距離之和的最小值為__________18．某河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬度為8米，一平板船寬4米，載貨后平板船露在水面上部分的高均為1米，為了保證平板船能順利通航，問水面最多上漲__________米．19．(2023·上海市建平中學高三月考）若點是拋物線的焦點，點在拋物線上，且，則__________.20．(2023·上海徐匯·高二期末）拋物線上一點到拋物線焦點的距離為5，則實數(shù)________________．三、解答題21．(2023·上?！じ咭黄谀┤鐖D,在直角坐標平面內已知定點,動點在軸上運動,過點作交軸于點,使得,延長到點,使得（1）當時,求；（2）求點的軌跡方程.22．(2023·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末）學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為．觀測點實時跟蹤航天器．（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程（只需求出曲線方程即可，不必求范圍）；（2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離為多少時，應向航天器發(fā)出變軌指令？23．(2023·上海·高三專題練習）已知直線L過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1，0)和點B(0，8)關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程.24．(2023·上海靜安·二模）已知橢圓的左焦點為，為坐標原點．（1）求過點、，并且與拋物線的準線相切的圓的方程；（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點的橫坐標的取值范圍．25．(2023·上海楊浦·二模）焦點為的拋物線與圓交于兩點，其中點橫坐標為，方程的曲線記為，是曲線上一動點.（1）若在拋物線上且滿足，求直線的斜率；（2）是軸上一定點.若動點在上滿足的范圍內運動時，恒成立，求的取值范圍；（3）是曲線上另一動點，且滿足，若的面積為4，求線段的長.26．(2023·上海徐匯·高二期末）年月，在美麗的崇明島舉辦第十屆中國花卉博覽會，主辦方準備舉行花車巡游活動，巡游花車必須通過一個拋物線型的拱門，已知拱圈最高點距地面米，拱圈兩最低點的距離為米，花車的設計寬度和高度分別為米和米，現(xiàn)主辦方準備在花車上搭建一個和花車同寬度的舞臺供演員表演，求所搭建舞臺的最大高度.27．(2023·上海閔行·一模）如圖，某飛行器研究基地E在指揮中心F的正北方向4千米處，小鎮(zhèn)A在E的正西方向8千米處，小鎮(zhèn)B在F的正南方向8千米處.已知一新型飛行器在試飛過程中到點F和到直線AE的距離始終相等，該飛行器產生一定的噪音污染，距離該飛行器1千米以內（含邊界）為10級噪音，每遠離飛行器1千米，噪音污染就會減弱1級，直至0級為無噪音污染（飛行器的大小及高度均忽略不計）.(1)判斷該飛行器是否經過線段EF的中點O，并判斷小鎮(zhèn)A是否會受到該飛行器的噪音污染？(2)小鎮(zhèn)B受該飛行器噪音污染的最強等級為多少級？28．(2023·上?！偷└街心M預測）已知過點的直線與拋物線交于、兩點，且，其中為坐標原點.（1）求的值；（2）當最小時，求直線的方程.專題07拋物線的標準方程高頻考點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市第五十四中學高二月考）已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線的準線距離之和的最小值是A．5 B．8 C． D．【標準答案】D【思路指引】根據(jù)拋物線的定義可知到準線的距離等于點到焦點的距離，進而問題轉化為求點到點的距離與點到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當，，三點共線時到點的距離與點到拋物線的焦點距離之和的最小,進一步求的最小值，為圓心到焦點的距離減去圓的半徑．【詳解詳析】設圓心為，則，半徑，設拋物線的焦點，據(jù)拋物線的定義知，點到點的距離與點到拋物線準線距離之和為.故選D.【名師指路】本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生轉化和化歸，數(shù)形結合等數(shù)學思想．2．(2023·上海青浦·二模）點在直線上，若存在過的直線交拋物線于、兩點，且，則稱點為“友善點”，那么下列結論中正確的是（）A．直線上的所有點都是“友善點”B．直線上僅有有限個點是“友善點”C．直線上的所有點都不是“友善點”D．直線上有無窮多個點（不是所有的點）是“友善點”【標準答案】A【思路指引】設，由，表示點B的坐標，再由A，B都在拋物線上，轉化為關于x的方程，利用判別式法判斷.【詳解詳析】設，因為，所以，因為A，B都在拋物線上，所以，消去n得，因為，所以方程恒有實數(shù)解，故選：A3．已知橢圓，拋物線焦點均在x軸上，的中心和頂點均在原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于表中，則的左焦點到的準線之間的距離為3-240-4A． B． C．1 D．2【標準答案】B【思路指引】由題意可知,橢圓和拋物線的方程都是標準方程,由表格中的數(shù)據(jù)驗證可知點和點在拋物線上,兩個點在橢圓上,由此可求得拋物線和橢圓的方程,再求得拋物線的準線和橢圓的左焦點坐標,從而可得答案.【詳解詳析】由表格中的數(shù)據(jù)可知,拋物線的焦點在軸正半軸上,設拋物線,當點在拋物線上時,可得,解得,當點在拋物線上時,可得,解得,當點在拋物線上時,可得,解得,因為這三個點中,有兩個點在拋物線上,所以只能是點和點在拋物線上,所以,所以拋物線的方程為,其準線方程為,所以另外兩個點在橢圓上,依題意設橢圓的方程為,將代入可得,,,解得,所以橢圓的方程為,其左焦點為,所以的左焦點到的準線之間的距離為,故選:B.【名師指路】本題考查了求拋物線和橢圓的標準方程,根據(jù)標準方程求拋物線的準線和橢圓的焦點坐標,屬于中檔題.4．點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離之和的最小值是（）A． B．2 C． D．【標準答案】D【思路指引】先求出拋物線的焦點坐標，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【詳解詳析】依題設P在拋物線準線的投影為P'，拋物線的焦點為F，A（0，-1）．則F（1，0），依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PP'|=|PF|，則點P到點A（0，-1）的距離與P到該拋物線準線的距離之和，d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案為：【名師指路】本題考查拋物線的定義，考查求距離和，解題的關鍵是點P到點（0，-1）的距離與P到該拋物線準線的距離之和轉化為點P到點（0，-1）的距離與P到焦點F的距離之和.5．(2023·上?！とA師大二附中高三月考）設拋物線C：()，若對于任意實數(shù)y，總有(等號可以取到)，則該拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】把拋物線C的方程配方，根據(jù)條件確定b值，經平移得拋物線標準方程，由此即可作答.【詳解詳析】由得，因，總有(等號可以取到)，則有，拋物線C的方程為，拋物線C可視為拋物線，即右移兩個單位而得，而拋物線的焦點為，所以拋物線C的焦點坐標為.故選：A6．(2023·上海·格致中學三模）已知拋物線、的焦點都為，的準線方程為，的準線方程為，與相交于M、N兩點，則直線MN的方程為（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】根據(jù)拋物線的定義可以判定M,N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等，結合圖形可知，直線MN的傾斜角為60°且經過原點.【詳解詳析】如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得M，N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離都等于到焦點的距離，故M,N到直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等，結合圖形可知，直線MN是直線與y軸的角平分線上的點，由于直線是過原點且傾斜角為30°的直線，由圖可知，直線MN的傾斜角為60°，且經過坐標原點，故直線MN的方程為,故選：B.【名師指路】本題考查拋物線的定義，關鍵是利用拋物線的定義得到M,N直線的距離和到y(tǒng)軸的距離相等.7．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為①圓的面積為；②橢圓的長軸為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為④拋物線中焦點到準線的距離為.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】B【思路指引】根據(jù)點是母線的中點，求出截面圓的半徑即可判斷①；由勾股定理求出橢圓長軸可判斷②；建立坐標系，求出的關系可判斷③；建立坐標系，求出拋物線方程，可判斷④.【詳解詳析】①點是母線的中點，截面的半徑，因此面積，故①正確；②由勾股定理可得橢圓的長軸為，故②正確；③在與底面、平面的垂直且過點的平面內建立直角坐標系，不妨設雙曲線的標準方程為，則，即，把點代入可得，解得，設雙曲線兩漸近線的夾角為，，③不正確；④建立直角坐標系，不彷設拋物線的標準方程為,把點代入可得，解得，拋物線中焦點到準線的距離為，④不正確，故選B.【名師指路】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查圓錐的性質、橢圓的性質、雙曲線的性質，拋物線的方程與性質，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.8．是拋物線上一點，是圓關于直線的對稱曲線上一點，則的最小值是A．2 B． C． D．【標準答案】D利用點關于直線對稱得到曲線方程，設，計算，根據(jù)二次函數(shù)性質得到答案.【詳解詳析】設圓心關于直線對稱的點為，則，解得，曲線為，設，故，當時，有最小值為，故的最小值為.故選：D.【名師指路】本題考查了圓關于直線對稱，拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力，應用能力.二、填空題9．(2023·上海虹口·一模）已知拋物線的焦點為，，為此拋物線上的異于坐標原點的兩個不同的點，滿足，且，則______.【標準答案】【思路指引】根據(jù)拋物線的定義和題設條件化簡得到，再根據(jù)向量的坐標運算，得到，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解詳析】由題意，拋物線的焦點為，設，因為，根據(jù)拋物線的定義，可得，又因為，可得，即，所以，解得.故答案為：.10．(2023·上海松江·一模）若拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是___________.【標準答案】5【思路指引】根據(jù)拋物線的定義知點P到焦點距離等于到準線的距離即可求解.【詳解詳析】因為拋物線方程為，所以準線方程為，所以點到準線的距離為，故點到該拋物線焦點的距離.故答案為：11．(2023·上海嘉定·一模）已知拋物線上一點到其焦點的距離為，雙曲線：的左頂點為，若雙曲線C的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的焦距為____________.【標準答案】【思路指引】利用拋物線焦點弦公式求得，從而得的坐標，由題意得的坐標，再計算直線的斜率，又因為雙曲線漸近線方程，由兩直線垂直列式求解，從而得雙曲線的焦距.【詳解詳析】由拋物線定義可知，，得，所以拋物線方程為，則或，設，由題意得，則，又因為雙曲線漸近線方程為，因為雙曲線C的一條漸近線與直線垂直，所以，得，則，所以雙曲線的焦距為.故答案為：12．(2023·上海金山·一模）已知???…?是拋物線上不同的點，點，若，則___________【標準答案】40【思路指引】設，分別過，作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，利用拋物線的定義可得，從而可求得結果.【詳解詳析】設，分別過，作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，???…?是拋物線上不同的點，點,準線為，.,,.故答案為：40.13．已知拋物線的準線與圓相切，則的值為__________．【標準答案】2【詳解詳析】拋物線的準線為，與圓相切，則，．14．(2023·上海·高三專題練習）已知實數(shù)、滿足方程，當時，由此方程可以確定一個偶函數(shù)，則拋物線的焦點到點的軌跡上點的距離最大值為________.【標準答案】【思路指引】由題意可知，圓關于軸對稱，則，再由題意得出，求出拋物線的焦點的坐標，然后利用兩點間的距離公式可求出點到點的軌跡上點的距離最大值.【詳解詳析】圓的圓心坐標為，半徑長為.當時，方程可以確定一個偶函數(shù)，則該圓圓心到軸上，，得.如下圖所示：則，拋物線的焦點的坐標為，所以，點到點的距離為.因此，拋物線的焦點到點的軌跡上點的距離最大值為.故答案為.【名師指路】本題考查圓的方程，以及兩點間距離最值的計算，解題時要充分利用圓的對稱性求解，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.15．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．【標準答案】2【思路指引】運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結果.【詳解詳析】拋物線的標準方程為：，則拋物線的準線方程為，設，，則，所以，則線段中點的縱坐標為.故答案為：【名師指路】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用，本題較為基礎.16．我們知道：用平行于圓錐母線的平面(不過頂點)截圓錐，則平面與圓錐側面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，?是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于__________.【標準答案】【思路指引】如圖所示，過點作，垂足為．由于是母線的中點，圓錐的底面半徑和高均為2，可得．．在平面內建立直角坐標系．設拋物線的方程為，為拋物線的焦點．可得，代入解出即可．【詳解詳析】解：如圖所示，過點作，垂足為．是母線的中點，圓錐的底面半徑和高均為2，．．在平面內建立直角坐標系．設拋物線的方程為，為拋物線的焦點．因為，，解得．．即點為的中點，該拋物線的焦點到其準線的距離為，故答案為：．【名師指路】本題考查了圓錐的性質、拋物線的標準方程，考查了轉變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17．已知點P在拋物線上，則點P到點的距離與點P到拋物線焦點的距離之和的最小值為__________【標準答案】【思路指引】過點P作，垂足為M，利用拋物線定義，把點P到點的距離與點P到拋物線焦點的距離之和轉化為，三點共線時，取得最小值.【詳解詳析】由題意知：準線，焦點如圖所示：過點P作，垂足為M，由拋物線定義，則故當PQ∥x軸，取得最小值.故答案為：【名師指路】方法點睛：距離的計算方法有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.18．某河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬度為8米，一平板船寬4米，載貨后平板船露在水面上部分的高均為1米，為了保證平板船能順利通航，問水面最多上漲__________米．【標準答案】2.75【思路指引】建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，為了保證平板船能順利通航，求出水面的高度即可.【詳解詳析】如圖示建立平面直角坐標系，由題意知：,故,設拋物線型拱橋對應的方程為：,把代入解得：，所以.當船兩側與拋物線接觸時不能通過，設,代入，解得：，因為平板船露在水面上部分的高均為1米，所以米，所以水面可以上漲5-2.25=2.75米.故答案為：2.75【名師指路】坐標法是解析幾何的基本方法，對實際應用題，可以建立直角坐標系，用坐標法計算.19．(2023·上海市建平中學高三月考）若點是拋物線的焦點，點在拋物線上，且，則__________.【標準答案】8【思路指引】計算，設，根據(jù)向量運算得到，再利用拋物線定義得到答案.【詳解詳析】是拋物線的焦點，則，設，則，故，.故答案為：820．(2023·上海徐匯·高二期末）拋物線上一點到拋物線焦點的距離為5，則實數(shù)________________．【標準答案】【思路指引】根據(jù)焦半徑公式，可求出，從而得到拋物線方程，把點代入拋物線方程即可求出的值.【詳解詳析】由題意可知拋物線的焦點在軸上，且，因為拋物線上一點到拋物線焦點的距離為5，所以根據(jù)焦半徑公式，得，所以，即，因為點到拋物線上，所以，所以.故答案為：.三、解答題21．(2023·上海·高一期末）如圖,在直角坐標平面內已知定點,動點在軸上運動,過點作交軸于點,使得,延長到點,使得（1）當時,求；（2）求點的軌跡方程.【標準答案】（1）（2）（）【思路指引】（1）由題意,,,利用數(shù)量積公式求；（2）設出動點,則的坐標可表示出,根據(jù),利用數(shù)量積公式求得和的關系式,即的軌跡方程.【詳解詳析】解：（1）由題意,，，，（2）設動點，則，（）.，,,（）即為所求.【名師指路】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個向量的數(shù)量的運算，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.22．(2023·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末）學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為．觀測點實時跟蹤航天器．（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程（只需求出曲線方程即可，不必求范圍）；（2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離為多少時，應向航天器發(fā)出變軌指令？【標準答案】（1）；（2）10【思路指引】（1）先設出拋物線的方程，結合所經過的點列出方程，然后解方程得到參數(shù)的值；（2）先求解變軌時點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出即可.【詳解詳析】（1）設曲線方程為，由題意可知，，∴，∴曲線方程為；（2）設變軌點為，根據(jù)題意可知，得，解得或（不合題意，舍去），∴，得或（不合題意，舍去），∴點的坐標為，，答：當觀測點測得離航天器的距離為10時，應向航天器發(fā)出變軌指令．【名師指路】本題主要考查圓錐曲線在實際生活中的應用，理解模型，求解模型是求解的關鍵，側重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng)，屬中檔題.23．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知直線L過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1，0)和點B(0，8)關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程.【標準答案】直線l方程為y=x，拋物線方程為y2=x.分別設直線和拋物線方程為和，再利用求點關于直線的對稱點的方法，求對稱點，再代入拋物線方程，求直線和拋物線方程.【詳解詳析】如圖所示，由題意設拋物線C的方程為y2=2px(p>0)，且x軸和y軸不是所求直線，又L過原點，因而可設L的方程為y=kx(k≠0)，設A′B′分別是A?B關于L的對稱點.A′(x′，y′)關于y=kx對稱于A(-1，0)則同理B′[]又A′?B′在拋物線C上，所以()2=2p·由此知k≠1，即p=[]2=2p·，由此得p=從而，整理得k2-k-1=0所以所以直線l方程為y=x，拋物線方程為y2=x.【名師指路】關鍵點點睛：本題考查點關于直線的對稱問題，本題的關鍵是求點關于直線的對稱點的問題，以及計算能力.24．(2023·上海靜安·二模）已知橢圓的左焦點為，為坐標原點．（1）求過點、，并且與拋物線的準線相切的圓的方程；（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點的橫坐標的取值范圍．【標準答案】（1）或；（2）【思路指引】（1）求得點，可知圓心在直線上，設點，根據(jù)已知條件得出關于實數(shù)的等式，求出的值，即可得出所求圓的方程；（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.【詳解詳析】（1）拋物線的準線為，橢圓的左焦點為，圓過點、，圓心在直線上．設，則圓的半徑為.由，得，解得于是，所求圓的方程為或；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根．設點、，設的中點為，則，，．直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.【名師指路】方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法（1）函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關系，利用求函數(shù)值域的方法求解．（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的取值范圍．（3）判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍．（4）數(shù)形結合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結合思想求解．25．(2023·上海楊浦·二模）焦點為的拋物線與圓交于兩點，其中點橫坐標為，方程的曲線記為，是曲線上一動點.（1）若在拋物線上且滿足，求直線的斜率；（2）是軸上一定點.若動點在上滿足的范圍內運動時，恒成立，求的取值范圍；（3）是曲線上另一動點，且滿足，若的面積為4，求線段的長.【標準答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）根據(jù)拋物線的定義求出點的坐標，然后就可以求斜率；（2）根據(jù)兩點間的距離公式表達出，再根據(jù)滿足最值的條件就可以求出的范圍；（3）討論所在的位置，再結合面積建立等式就可以求出.【詳解詳析】（1），，∴∴，所以.（2）由得，∴設，則，由題意最大，所以對稱軸，∴.（3）是的圓心.設（i）若都位于上，則，(舍)（ii）若都位于上，則①②將①式代入②式，得：或代入①得：或（舍）（iii）若分別位于與上，則，得∴，∴綜上：.【名師指路】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是拋物線定義的使用，二是恒成立時，取最值的條件，三是要分類討論，并要做正確的取舍.26．(2023·上海徐匯·高二期末）年月，在美麗的崇明島舉辦第十屆中國花卉博覽會，主辦方準備舉行花車巡游活動，巡游花車必須通過一個拋物線型的拱門，已知拱圈最高點距地面米，拱圈兩最低點的距離為米，花車的設計寬度和高度分別為米和米，現(xiàn)主辦方準備在花車上搭建一個和花車同寬度的舞臺供演員表演，求所搭建舞臺的最大高