簡(jiǎn)單函數(shù)圖像的繪制與性質(zhì)

簡(jiǎn)單函數(shù)圖像的繪制與性質(zhì)一、函數(shù)圖像的繪制1.1直線(xiàn)函數(shù)圖像的繪制：斜率：直線(xiàn)的斜率k表示直線(xiàn)的傾斜程度，k>0表示直線(xiàn)向上傾斜，k<0表示直線(xiàn)向下傾斜，k=0表示直線(xiàn)水平。截距：直線(xiàn)的截距b表示直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，b>0表示直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在正半軸，b<0表示直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，b=0表示直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)。1.2二次函數(shù)圖像的繪制：開(kāi)口方向：二次函數(shù)的開(kāi)口方向由a的符號(hào)確定，a>0表示開(kāi)口向上，a<0表示開(kāi)口向下。頂點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a，4ac-b2/4a），對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/2a。零點(diǎn)：二次函數(shù)的零點(diǎn)為方程f(x)=0的解。1.3指數(shù)函數(shù)圖像的繪制：底數(shù)：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a（a>0且a≠1）決定了函數(shù)的增長(zhǎng)速度。增長(zhǎng)速度：當(dāng)a>1時(shí)，隨著x的增大，y值增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；當(dāng)0<a<1時(shí)，隨著x的增大，y值增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢。1.4對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的繪制：底數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a（a>0且a≠1）決定了函數(shù)的增長(zhǎng)速度。增長(zhǎng)速度：當(dāng)a>1時(shí)，隨著x的增大，y值增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；當(dāng)0<a<1時(shí)，隨著x的增大，y值增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢。二、函數(shù)圖像的性質(zhì)2.1直線(xiàn)函數(shù)圖像的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：k>0時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞增；k<0時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞減。奇偶性：f(-x)=f(x)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。2.2二次函數(shù)圖像的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：a>0時(shí)，函數(shù)圖像在頂點(diǎn)左側(cè)單調(diào)遞減，在頂點(diǎn)右側(cè)單調(diào)遞增；a<0時(shí)，函數(shù)圖像在頂點(diǎn)左側(cè)單調(diào)遞增，在頂點(diǎn)右側(cè)單調(diào)遞減。奇偶性：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。最大/最小值：a>0時(shí)，函數(shù)有最小值；a<0時(shí)，函數(shù)有最大值。2.3指數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞減。奇偶性：f(-x)=f(x)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。2.4對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)圖像單調(diào)遞減。奇偶性：f(-x)=f(x)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。三、函數(shù)圖像的變換3.1橫向變換：左加右減：函數(shù)圖像沿x軸平移。縱向變換：上下平移：函數(shù)圖像沿y軸平移。拉伸壓縮：函數(shù)圖像沿y軸拉伸或壓縮。3.2復(fù)合函數(shù)圖像的變換：內(nèi)層函數(shù)圖像：內(nèi)層函數(shù)的圖像決定了復(fù)合函數(shù)圖像的形狀。外層函數(shù)圖像：外層函數(shù)的圖像對(duì)內(nèi)層函數(shù)圖像進(jìn)行橫向或縱向變換。四、常見(jiàn)函數(shù)圖像的特點(diǎn)4.1y=kx+b（直線(xiàn)函數(shù)）斜率為k，截距為b。當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像向上傾斜；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像向下傾斜；當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)圖像為水平線(xiàn)。當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)在正半軸；當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸；當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)。4.2y=ax2（二次函數(shù)）開(kāi)口方向由a的符號(hào)確定，a>0時(shí)開(kāi)口向上，a<0時(shí)開(kāi)口向下。習(xí)題及方法：習(xí)題：繪制直線(xiàn)函數(shù)y=2x+3的圖像。方法：首先確定直線(xiàn)的斜率和截距，斜率為2，截距為3。然后選擇幾個(gè)x值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值，最后將這些點(diǎn)連接起來(lái)繪制圖像。答案：選擇x=0,x=1,x=2進(jìn)行計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的y值分別為y=3,y=5,y=7。將這些點(diǎn)(0,3),(1,5),(2,7)連接起來(lái)，得到直線(xiàn)函數(shù)y=2x+3的圖像。習(xí)題：繪制二次函數(shù)y=x2-4x+4的圖像。方法：首先確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)。開(kāi)口方向由a的符號(hào)確定，a=1>0，所以開(kāi)口向上。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,4ac-b2/4a)，代入a=1,b=-4,c=4得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。然后選擇幾個(gè)x值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值，最后將這些點(diǎn)連接起來(lái)繪制圖像。答案：選擇x=0,x=1,x=2,x=3進(jìn)行計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的y值分別為y=4,y=1,y=0,y=3。將這些點(diǎn)(0,4),(1,1),(2,0),(3,3)連接起來(lái)，得到二次函數(shù)y=x2-4x+4的圖像。習(xí)題：繪制指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖像。方法：首先確定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，底數(shù)為2。然后選擇幾個(gè)x值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值，最后將這些點(diǎn)連接起來(lái)繪制圖像。答案：選擇x=0,x=1,x=2進(jìn)行計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的y值分別為y=1,y=2,y=4。將這些點(diǎn)(0,1),(1,2),(2,4)連接起來(lái)，得到指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖像。習(xí)題：繪制對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_2(x)的圖像。方法：首先確定對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，底數(shù)為2。然后選擇幾個(gè)x值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值，最后將這些點(diǎn)連接起來(lái)繪制圖像。答案：選擇x=1,x=2,x=4進(jìn)行計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的y值分別為y=0,y=1,y=2。將這些點(diǎn)(1,0),(2,1),(4,2)連接起來(lái)，得到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_2(x)的圖像。習(xí)題：將函數(shù)圖像y=3x+2向左平移1個(gè)單位。方法：將原函數(shù)中的x替換為x+1，得到新的函數(shù)圖像y=3(x+1)+2。答案：原函數(shù)圖像上的點(diǎn)(0,2)向左平移1個(gè)單位后變?yōu)辄c(diǎn)(0-1,2)，即點(diǎn)(-1,2)。因此，新的函數(shù)圖像為y=3(x+1)+2，圖像上的點(diǎn)為(-1,2)。習(xí)題：將函數(shù)圖像y=2x-1向上平移3個(gè)單位。方法：將原函數(shù)中的y替換為y+3，得到新的函數(shù)圖像y=2x-1+3。答案：原函數(shù)圖像上的點(diǎn)(0,-1)向上平移3個(gè)單位后變?yōu)辄c(diǎn)(0,-1+3)，即點(diǎn)(0,2)。因此，新的函數(shù)圖像為y=2x-1+3，圖像上的點(diǎn)為(0,2)。習(xí)題：將函數(shù)圖像y=x2+2x+1進(jìn)行橫向變換。方法：將原函數(shù)中的x替換為x+1，得到新的函數(shù)圖像y=(x+1)2+2(x+1)+1。答案：原函數(shù)圖像上的點(diǎn)(0,1)進(jìn)行橫向變換后變?yōu)辄c(diǎn)(0+1,1)，即點(diǎn)(1,1)。因此，新的函數(shù)圖像為y=(x+1)2+2(x+1)+1，圖像上的點(diǎn)為(1,1)。習(xí)題：將函數(shù)圖像y=3x2進(jìn)行縱向變換。方法：將原函數(shù)中的y替換為y/2，得到新的函數(shù)圖像y/2=3x2。答案：原函數(shù)圖像上的點(diǎn)(0,0)進(jìn)行縱向變換后變?yōu)辄c(diǎn)(0,0/2)，即點(diǎn)(0,0)。其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)的定義：函數(shù)是一種關(guān)系，使得一個(gè)集合（定義域）中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著另一個(gè)集合（值域）中的一個(gè)元素。函數(shù)的性質(zhì)：唯一性：函數(shù)中的每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一的輸出值。連續(xù)性：函數(shù)在定義域上連續(xù)。可導(dǎo)性：函數(shù)在定義域上可導(dǎo)。習(xí)題1：判斷下列表達(dá)式是否為函數(shù)：x2+2，|x|，(x2-1)/(x+1)。方法：根據(jù)函數(shù)的定義，判斷每個(gè)輸入值是否對(duì)應(yīng)唯一的輸出值。答案：x2+2和|x|是函數(shù)，因?yàn)樗鼈儗?duì)于每個(gè)輸入值都有唯一的輸出值。而(x2-1)/(x+1)不是函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，表達(dá)式無(wú)意義。二、函數(shù)的圖像直線(xiàn)函數(shù)的圖像：y=mx+b，其中m是斜率，b是截距。二次函數(shù)的圖像：y=ax2+bx+c，其中a決定開(kāi)口方向和大小，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))。指數(shù)函數(shù)的圖像：y=a^x，其中a>0且a≠1，a決定增長(zhǎng)速度。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：y=log_a(x)，其中a>0且a≠1，a決定增長(zhǎng)速度。習(xí)題2：判斷下列函數(shù)圖像的開(kāi)口方向：y=-2x2，y=3log_2(x)。方法：根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，確定開(kāi)口方向。答案：y=-2x2的開(kāi)口方向向下，因?yàn)閍=-2<0。y=3log_2(x)的開(kāi)口方向向上，因?yàn)榈讛?shù)a=2>1。三、函數(shù)的變換橫向變換：f(x+h)或f(x-h)?？v向變換：f(x)±k或f(x)*k。習(xí)題3：對(duì)函數(shù)y=2x+3進(jìn)行橫向變換，使圖像向右平移2個(gè)單位。方法：將原函數(shù)中的x替換為x-2，得到新的函數(shù)圖像y=2(x-2)+3。答案：原函數(shù)圖像上的點(diǎn)(0,3)向右平移2個(gè)單位后變?yōu)辄c(diǎn)(0+2,3)，即點(diǎn)(2,3)。因此，新的函數(shù)圖像為y=2(x-2)+3，圖像上的點(diǎn)為(2,3)。四、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為冪次乘以系數(shù)。指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為a^x*ln(a)。對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為1/(x*ln(a))。習(xí)題4：求函數(shù)y=3x2的導(dǎo)數(shù)。方法：根據(jù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則，得到y(tǒng)’=3*2x=