專題09平行四邊形的判定及綜合(知識點串講)(原卷版+解析)

專題09平行四邊形的判定及綜合知識網(wǎng)絡重難突破知識點一平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.5.兩組對角分別相等．則四邊形是平行四邊形．【典例1】（2020春?鹿城區(qū)校級期中）從①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，這四個條件中選取兩個，使四邊形ABCD成為平行四邊形，下面不能說明是平行四邊形的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④【變式訓練】1．（2019秋?海曙區(qū)校級月考）下列說法不能判斷平行四邊形是（）A．一組對邊平行且相等 B．一組對邊平行，一組對角相等 C．一組對邊相等，一組對角相等 D．兩組對邊相等2．（2019春?嘉興期末）如圖，四邊形ABCD中，已知AD∥BC，AC與BD相交于點O，則添加下列一個條件后，不能判定該四邊形為平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC3．（2018春?嘉興期末）如圖，已知BD是平行四邊形ABCD對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連結(jié)CE，AF，求證：四邊形AFCE為平行四邊形．4．（2019秋?墾利區(qū)期末）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN．（1）求證：△AEM≌△CFN；（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形．知識點二三角形的中位線1.連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半?！镜淅?】（2019?海曙區(qū)一模）如圖，已知EF是△ABC的中位線，DE⊥BC交AB于點D，CD與EF交于點G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，則AC的長為．【變式訓練】1．（2020?江干區(qū)模擬）如圖，直l1∥l2，點A、B固定在直線l2上，點C是直線11上一動點，若點E、F分別為CA、CB中點，對于下列各值：①線段EF的長；②△CEF的周長；③△CEF的面積；④∠ECF的度數(shù)，其中不隨點C的移動而改變的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2019秋?蒼南縣期末）如圖，在△ABC中，點D是BC邊上任一點，點F，G，E分別是AD，BF，CF的中點，連結(jié)GE，若△FGE的面積為8，則△ABC的面積為（）A．32 B．48 C．64 D．723．（2019春?鄞州區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD的中點，則EF的長是（）A． B． C．2 D．4．（2018春?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為D，E為AB的中點，連接DE，AC＝15，BC＝27，則DE＝．知識點三反證法在證明一個命題時，人們有時先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法?！镜淅?】（2019春?嘉興期末）利用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，應假設（）A．四邊形中至多有一個內(nèi)角是鈍角或直角 B．四邊形中所有內(nèi)角都是銳角 C．四邊形的每一個內(nèi)角都是鈍角或直角 D．四邊形中所有內(nèi)角都是直角【變式訓練】1．（2019秋?敘州區(qū)期末）用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應該假設（）A．三角形中每個內(nèi)角都大于60° B．三角形中至少有一個內(nèi)角大于60° C．三角形中每個內(nèi)角都大于或等于60° D．三角形中每一個內(nèi)角都小于成等于60°2．（2020春?奉化區(qū)期中）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設不成立．∴∠B＜90°③假設在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②3．（2019春?樂清市期末）用反證法證明命題“若＝a，則a≥0”時，第一步應假設（）A． B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＞04．（2018秋?寬城區(qū)期末）對于命題“在同一平面內(nèi)，若a∥b，a∥c，則b∥c”，用反證法證明，應假設（）A．a(chǎn)⊥c B．b⊥c C．a(chǎn)與c相交 D．b與c相交鞏固訓練1．（2018春?阜平縣期末）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；⑤OB＝OD，從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種2．（2019春?永康市期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB≠AC，則∠B≠∠C”時，第一步應假設（）A．AB＝AC B．AB≠AC C．∠B＝∠C D．∠B≠∠C3．（2020春?奉化區(qū)期中）如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為（）A．1 B． C． D．4．（2019春?長興縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在CD、BC延長線上，AE∥BD，EF⊥BF．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若∠ABC＝60°，，求AB的長．5．（2018?興化市一模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，分別過點B、C作射線AD的垂線，垂足分別為E、F，連接BF、CE．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；（2）若AF＝FD，在不添加輔助線的條件下，直接寫出與△ABD面積相等的所有三角形．6．（2019春?瑞安市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，O為AC的中點，EF過點O，分別交AD，CB的延長線于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的長．7．（2019春?蕭山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，DC＝13cm，BC＝21cm，動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度在射線BC上運動到C點返回，動點Q從點A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1cm的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發(fā)．當點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．（1）當t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形．（2）是否存在點P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．專題09平行四邊形的判定及綜合知識網(wǎng)絡重難突破知識點一平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.5.兩組對角分別相等．則四邊形是平行四邊形．【典例1】（2020春?鹿城區(qū)校級期中）從①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，這四個條件中選取兩個，使四邊形ABCD成為平行四邊形，下面不能說明是平行四邊形的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④【點撥】根據(jù)平行四邊形的判定方法中，①②、③④、①③、②④均可判定是平行四邊形．【解析】解：根據(jù)平行四邊形的判定，符合條件的有4種，分別是：①②、③④、①③、②④．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，平行四邊形的判定方法共有五種，在四邊形中如果有：①四邊形的兩組對邊分別平行；②一組對邊平行且相等；③兩組對邊分別相等；④對角線互相平分；⑤兩組對角分別相等．則四邊形是平行四邊形．本題利用了第1，2，3種來判定．【變式訓練】1．（2019秋?海曙區(qū)校級月考）下列說法不能判斷平行四邊形是（）A．一組對邊平行且相等 B．一組對邊平行，一組對角相等 C．一組對邊相等，一組對角相等 D．兩組對邊相等【點撥】根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷即可．【解析】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、一組對邊平行，一組對角相等是平行四邊形，不符合題意；C、一組對邊相等且一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，符合題意；D、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定方法；熟練掌握平行四邊形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．2．（2019春?嘉興期末）如圖，四邊形ABCD中，已知AD∥BC，AC與BD相交于點O，則添加下列一個條件后，不能判定該四邊形為平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC【點撥】根據(jù)平行四邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；分別進行推理即可．【解析】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；選項A正確；B．∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴OD＝OB，又∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；選項B正確；C.∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA＝OC，又∵OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；選項C正確；D．∵AD∥BC，AB＝CD，∴四邊形ABCD可能為等腰梯形，不一定是平行四邊形，選項D不正確；故選：D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．3．（2018春?嘉興期末）如圖，已知BD是平行四邊形ABCD對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連結(jié)CE，AF，求證：四邊形AFCE為平行四邊形．【點撥】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)ASA即可證明；（2）首先證明四邊形AECF是平行四邊形．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，同理∠BCF＝90°．∴∠EAD＝∠BCF．在△AED和△CFB中∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，∠EAD＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF．（2）結(jié)論：四邊形AECF是平行四邊形．理由：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC平分BD，由（1）△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．4．（2019秋?墾利區(qū)期末）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN．（1）求證：△AEM≌△CFN；（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形．【點撥】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及補角的性質(zhì)得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，從而利用ASA可作出證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及（1）的結(jié)論可得BM＝DN，BM∥DN，則由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【解析】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN，又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．∵在△AEM與△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD又由（1）得AM＝CN，∴BM＝DN，BM∥DN，∴四邊形BMDN是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．知識點二三角形的中位線1.連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半?！镜淅?】（2019?海曙區(qū)一模）如圖，已知EF是△ABC的中位線，DE⊥BC交AB于點D，CD與EF交于點G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，則AC的長為6．【點撥】由三角形中位線定理得出AB＝2EF＝18，EF∥AB，AF＝CF，CE＝BE，證出GE是△BCD的中位線，得出BD＝2EG＝8，AD＝AB﹣BD＝10，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD＝BD＝8，再由勾股定理即可求出AC的長．【解析】解：∵EF是△ABC的中位線，∴AB＝2EF＝18，EF∥AB，AF＝CF，CE＝BE，∴G是CD的中點，∴GE是△BCD的中位線，∴BD＝2EG＝8，∴AD＝AB﹣BD＝10，∵DE⊥BC，CE＝BE，∴CD＝BD＝8，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴AC＝＝＝6；故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，求出CD＝BD是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2020?江干區(qū)模擬）如圖，直l1∥l2，點A、B固定在直線l2上，點C是直線11上一動點，若點E、F分別為CA、CB中點，對于下列各值：①線段EF的長；②△CEF的周長；③△CEF的面積；④∠ECF的度數(shù)，其中不隨點C的移動而改變的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【點撥】判斷出AB長為定值，C到AB的距離為定值，再根據(jù)三角形的中位線與平行線的性質(zhì)即可判斷①③，根據(jù)運動得出CA+CB不斷發(fā)生變化、∠ACB的大小不斷發(fā)生變化，即可判斷②④．【解析】解：∵A、B為定點，∴AB長為定值，∵點E，F(xiàn)分別為CA，CB的中點，∴EF是△CAB的中位線，∴EF＝AB為定值，故①正確；∵點A，B為直線l2上定點，直線l1∥l2，∴C到l2的距離為定值，∵EF是△CAB的中位線，∴EF∥l1∥l2，∴C到EF的距離為定值，又∵EF為定值，∴△CEF的面積為定值，故③正確；當C點移動時，CA+CB的長發(fā)生變化，則CE+CF的長發(fā)生變化，∴△CEF的周長發(fā)生變化，故②錯誤；當C點移動時，∠ACB發(fā)生變化，則∠ECF發(fā)生變化，故④錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形面積等知識；熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋?蒼南縣期末）如圖，在△ABC中，點D是BC邊上任一點，點F，G，E分別是AD，BF，CF的中點，連結(jié)GE，若△FGE的面積為8，則△ABC的面積為（）A．32 B．48 C．64 D．72【點撥】由已知條件易得GE是△BFC的中位線，結(jié)合已知數(shù)據(jù)進而可求出△BFC的面積，再根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形即可求解．【解析】解：∵G，E分別是BF，CF的中點，∴GE是△BFC的中位線，∴GE＝BC，∵△FGE的面積為8，∴△BFC的面積為32，∵點F是AD的中點，∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC，∴△ABC的面積＝2△BFC的面積＝64，故選：C．【點睛】本題考查了三角形中位線定理以及三角形面積，解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形．3．（2019春?鄞州區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD的中點，則EF的長是（）A． B． C．2 D．【點撥】連接AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解析】解：連接AC，∵∠D＝100°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝90°，∴AC＝＝4，∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD的中點，∴EF＝AC＝2，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2018春?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為D，E為AB的中點，連接DE，AC＝15，BC＝27，則DE＝6．【點撥】證明△CDA≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝DF，CF＝AC，根據(jù)三角形中位線定理解答．【解析】解：在△CDA和△CDF中，，∴△CDA≌△CDF，∴AD＝DF，CF＝AC＝15，∴BF＝BC﹣CF＝12，∵AD＝DF，AE＝EB，∴DE＝BF＝6，故答案為：6．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．知識點三反證法在證明一個命題時，人們有時先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法?！镜淅?】（2019春?嘉興期末）利用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，應假設（）A．四邊形中至多有一個內(nèi)角是鈍角或直角 B．四邊形中所有內(nèi)角都是銳角 C．四邊形的每一個內(nèi)角都是鈍角或直角 D．四邊形中所有內(nèi)角都是直角【點撥】反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，反面成立．【解析】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時第一步應假設：四邊形中所有內(nèi)角都是銳角．故選：B．【點睛】此題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．【變式訓練】1．（2019秋?敘州區(qū)期末）用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應該假設（）A．三角形中每個內(nèi)角都大于60° B．三角形中至少有一個內(nèi)角大于60° C．三角形中每個內(nèi)角都大于或等于60° D．三角形中每一個內(nèi)角都小于成等于60°【點撥】熟記反證法的步驟，然后進行判斷即可．【解析】解：用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應先假設三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即每一個內(nèi)角都大于60°．故選：A．【點睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結(jié)論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結(jié)論成立．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2．（2020春?奉化區(qū)期中）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設不成立．∴∠B＜90°③假設在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【點撥】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【解析】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟：1、假設在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，4、因此假設不成立．∴∠B＜90°，故選：D．【點睛】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結(jié)論不成立；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．3．（2019春?樂清市期末）用反證法證明命題“若＝a，則a≥0”時，第一步應假設（）A． B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＞0【點撥】用反證法證明命題的真假，先假設命題的結(jié)論不成立，從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．【解析】解：用反證法證明命題“若＝a，則a≥0”時，第一步應假設a＜0．故選：C．【點睛】考查了反證法，反證法是指“證明某個命題時，先假設它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果．這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立．”4．（2018秋?寬城區(qū)期末）對于命題“在同一平面內(nèi)，若a∥b，a∥c，則b∥c”，用反證法證明，應假設（）A．a(chǎn)⊥c B．b⊥c C．a(chǎn)與c相交 D．b與c相交【點撥】反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．【解析】解：c與b的位置關(guān)系有c∥b和c與b相交兩種，因此用反證法證明“c∥b”時，應先假設c與b相交．故選：D．【點睛】本題結(jié)合直線的位置關(guān)系考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．鞏固訓練1．（2018春?阜平縣期末）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；⑤OB＝OD，從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種【點撥】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可．【解析】解：①②組合可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；③④組合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD＝CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD＝CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；∴有4種可能使四邊形ABCD為平行四邊形．故選：C．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．2．（2019春?永康市期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB≠AC，則∠B≠∠C”時，第一步應假設（）A．AB＝AC B．AB≠AC C．∠B＝∠C D．∠B≠∠C【點撥】根據(jù)反證法的一般步驟解答即可．【解析】解：用反證法證明命題“在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C”，第一步應是假設∠B＝∠C，故選：C．【點睛】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結(jié)論不成立；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．3．（2020春?奉化區(qū)期中）如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為（）A．1 B． C． D．【點撥】首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△AFG≌△AFC，即可判斷出FG＝FC，AG＝AC，所以點F是CG的中點；然后根據(jù)點E是BC的中點，可得EF是△CBG的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理，求出線段EF的長為多少即可．【解析】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠FAG＝∠FAC，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴FG＝FC，AG＝AC＝3，∴F是CG的中點，∵AB＝4，AC＝3，∴BG＝1，∵AE是△ABC中線，∴BE＝CE，∴EF為△CBG的中位線，∴EF＝BG＝，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．4．（2019春?長興縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在CD、BC延長線上，AE∥BD，EF⊥BF．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若∠ABC＝60°，，求AB的長．【點撥】（1）由在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，可得AB∥DE，又由AE∥BD，即可證得四邊形ABDE是平行四邊形；（2）由（1）易得EC＝2AB，又由∠ABC＝60°，可求得∠ECF＝60°，然后由EF⊥BF，證得EC＝2CF，即可得AB＝CF，求得答案．【解析】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，∵點E在CD的延長線上，∴AB∥DE，又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：在平行四邊形ABCD中，AB＝DC，在平行四邊形ABDE中，AB＝ED，∴EC＝2AB∵AB∥DC，∠ABC＝60°．∴∠ECF＝∠ABC＝60°．∵EF⊥BF，∴∠CEF＝90°﹣∠ECF＝30°，∴EC＝2CF，∴AB＝EC＝CF＝．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．注意利用有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形定理的應用是解此題的關(guān)鍵．5．（2018?興化市一模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，分別過點B、C作射線AD的垂線，垂足分別為E、F，連接BF、CE．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；（2）若AF＝FD，在不添加輔助線的條件下，直接寫出與△ABD面積相等的所有三角形．【點撥】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出ED＝FD，進而利用平行四邊形的判定證明即可；（2）利用三角形的面積解答即可．【解析】（1）證明：在△ABF與△DEC中∵D是BC中點，∴BD＝CD∵BE⊥AE，CF⊥AE∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△ABF與△DEC中，∴△BED≌△CFD（AAS）∴ED＝FD，∵BD＝CD∴四邊形BFEC是平行四邊形；（2）與△ABD面積相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出ED＝FD．6．（2019春?瑞安市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，O為AC的中點，EF過點O，分別交AD，CB的延長線于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的長．【點撥】（1）通過全等三角形△AOE≌△COF的對應邊相等推知AE＝CF，又由平行四邊形ABCD的對邊平行可以證得AE∥FC，則根據(jù)“有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得四邊形AFCE為平行四邊形．（2）由AC平分∠BAE可證AB＝AD＝BC，AE＝CF，則BF可求．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC（平行四邊形的對邊平行且相等）．又∵點E、F分別在線段AD、線段CB的延長線上，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠CFO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（A