專(zhuān)題12正方形的性質(zhì)與判定(知識(shí)點(diǎn)串講)(原卷版+解析)

專(zhuān)題12正方形的性質(zhì)與判定知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重難突破知識(shí)點(diǎn)一正方形的性質(zhì)正方形：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。性質(zhì)：=1\*GB3①邊：四條邊都相等；=2\*GB3②角：四角相等；=3\*GB3③對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線與邊的夾角為450；=4\*GB3④對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形（4條）．【典例1】（2019春?蕭山區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AE＝AF，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CM．（1）求證：CM⊥EF．（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若五邊形BCDFE的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2018春?麗水期末）如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向內(nèi)作等邊△ABE，連結(jié)DE，則∠BED的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．135° D．150°2．（2019春?余杭區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)BC重合），AE的垂直平分線分別交AB，CD于點(diǎn)G，F(xiàn)．若CF＝6DF，則BE：EC的值為（）A． B． C． D．3．（2019春?溫嶺市期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD邊AD、BC上的兩定點(diǎn)，M是線段EF上的一點(diǎn)，過(guò)M的直線與正方形ABCD的邊交于點(diǎn)P和點(diǎn)H，且PH＝EF，則滿(mǎn)足條件的直線PH最多有（）條．A．1 B．2 C．3 D．44．（2019春?海曙區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，ED平分∠AEF．（1）求證：EF＝AE+CF．（2）若AE＝2，CF＝3，求△DEF的面積．知識(shí)點(diǎn)二正方形的判定正方形的判定：滿(mǎn)足下列條件之一的四邊形是正方形．=1\*GB3①有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形=2\*GB3②有一組鄰邊相等的矩形；=3\*GB3③對(duì)角線互相垂直的矩形．=4\*GB3④有一個(gè)角是直角的菱形=5\*GB3⑤對(duì)角線相等的菱形；【典例2】（2018春?富陽(yáng)區(qū)期末）如圖，在線段AB的同側(cè)作射線AC和BD，當(dāng)AC∥BD時(shí)，若∠CAB與∠DBA的角平分線分別交射線BD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，兩條角平分線相交于點(diǎn)P，連接EF．（1）試判斷四邊形ABEF的形狀并給予證明；（2）若AB＝BF＝2，在線段AE上取一點(diǎn)G，點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)H，問(wèn)線段AG的長(zhǎng)為多少時(shí)？以F，G，B，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．【變式訓(xùn)練】1．（2019?寧波模擬）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形 D．鄰邊相等的矩形是正方形2．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤6）（1）求BC邊上高AE的長(zhǎng)度；（2）連接AN、CM，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMCN為菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．知識(shí)點(diǎn)三特殊四邊形綜合題【典例3】（2020?寧波模擬）如圖，已知∠MON＝90°，A，B分別是邊OM和ON上的點(diǎn)，四邊形ACDB和四邊形OEFC都是正方形．（1）當(dāng)OA＝2，OB＝1時(shí)，求OC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)OB＝1，點(diǎn)A在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OC的最小值．（3）設(shè)S△CDF＝y(tǒng)，OA＝x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【變式訓(xùn)練】1．（2019春?拱墅區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AG，過(guò)G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分別為垂足（1）求證：GE+GF＝AB；（2）①寫(xiě)出GE、GF、AG三條線段滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明；②求當(dāng)AB＝6，AG＝時(shí)，BG的長(zhǎng)．2．（2020春?鄞州區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形？（2）當(dāng)t＝3時(shí)四邊形OQCD的面積為多少？（3）是否存在t的值，使△AQP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2019春?蒼南縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)EF在正方形ABCD內(nèi)．若四邊形AECF恰是菱形，連結(jié)FB，DE，且AF2﹣FB2＝3，則菱形AECF的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．2．（2018春?上虞區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC、BD是對(duì)角線，延長(zhǎng)DA到H，使DH＝DB，在DB上截取DG＝DC，連結(jié)GH交AB于點(diǎn)E，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)FG，則下列結(jié)論：①四邊形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④3．（2019春?蕪湖期末）正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交射線CB于點(diǎn)F，連結(jié)CE．（1）已知點(diǎn)F在線段BC上①若AB＝BE，求∠DAE度數(shù)；②求證：CE＝EF（2）已知正方形邊長(zhǎng)為2，且BC＝2BF，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE的長(zhǎng)．4．（2019秋?海曙區(qū)期末）問(wèn)題背景：如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得四邊形EFGH是正方形．類(lèi)比探究：如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)（D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合）．（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；（2）△DEF是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD＝a，AD＝b，AB＝c，請(qǐng)?zhí)剿鱝，b，c滿(mǎn)足的等量關(guān)系．5．（2019春?永康市期末）（1）嘗試探究：如圖1，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AB的延長(zhǎng)線于F．①求證：△CDE≌△CBF；②過(guò)點(diǎn)C作∠ECF的平分線交AB于P，連結(jié)PE，請(qǐng)?zhí)骄縋E與PF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AB的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)EF交DB于M，連結(jié)CM并延長(zhǎng)CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的長(zhǎng)．6．（2019春?天臺(tái)縣期末）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足DE⊥EF，垂足為點(diǎn)E，連接DF．（1）求∠EDF＝（填度數(shù)）；（2）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接FG，如圖2，猜想AG，GF，F(xiàn)C三者的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）①若AB＝6，G是AB的中點(diǎn)，求△BFG的面積；②設(shè)AG＝a，CF＝b，△BFG的面積記為S，試確定S與a，b的關(guān)系，并說(shuō)明理由．7．（2019春?瑞安市期末）如圖，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分線CF，點(diǎn)E從點(diǎn)B沿著射線BA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交CF于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，連接AF，試判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形？不存在的，試說(shuō)明理由；存在的，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．答：t＝．專(zhuān)題12正方形的性質(zhì)與判定知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重難突破知識(shí)點(diǎn)一正方形的性質(zhì)正方形：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。性質(zhì)：=1\*GB3①邊：四條邊都相等；=2\*GB3②角：四角相等；=3\*GB3③對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線與邊的夾角為450；=4\*GB3④對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形（4條）．【典例1】（2019春?蕭山區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AE＝AF，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CM．（1）求證：CM⊥EF．（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若五邊形BCDFE的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）連接CF，由正方形的性質(zhì)得到AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠B＝∠D＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM⊥EF，推出A，M，C三點(diǎn)共線，求得△AEF的面積＝，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠B＝∠D＝90°，∵AE＝AF，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE＝CF，∵點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴CM⊥EF；（2）解：連接AM，∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∵點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴AM⊥EF，∴A，M，C三點(diǎn)共線，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴正方形ABCD的面積＝4，∵五邊形BCDFE的面積為，∴△AEF的面積＝，∴AM?EF＝AM?2AM＝，∴AM＝，∵AC＝AB＝2，∴CM＝．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2018春?麗水期末）如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向內(nèi)作等邊△ABE，連結(jié)DE，則∠BED的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．135° D．150°【點(diǎn)撥】在正方形ABCD中，△ABE是等邊三角形，可求出∠AEB、∠DAE的大小以及推斷出AD＝AE，從而可求出∠AED，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠BED的度數(shù)．【解析】解：如圖，在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．∵△ABE是等邊三角形，∴∠AEB＝∠BAE＝60°，AE＝AB，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝60°+75°＝135°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)推知AD＝AE是解題的關(guān)鍵．2．（2019春?余杭區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)BC重合），AE的垂直平分線分別交AB，CD于點(diǎn)G，F(xiàn)．若CF＝6DF，則BE：EC的值為（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】連接AF，EF，CF＝6a，DF＝a，由勾股定理可求AF，EC的長(zhǎng)，即可求BE：EC的值．【解析】解：連接AF，EF∵CF＝6DF∴設(shè)CF＝6a，DF＝a，∴CD＝7a＝AD＝BC∴AF＝＝5a，∵GF垂直平分AE∴EF＝AF＝5a，∴EC＝＝a，∴BE＝7a﹣a∴BE：EC＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．3．（2019春?溫嶺市期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD邊AD、BC上的兩定點(diǎn)，M是線段EF上的一點(diǎn)，過(guò)M的直線與正方形ABCD的邊交于點(diǎn)P和點(diǎn)H，且PH＝EF，則滿(mǎn)足條件的直線PH最多有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【點(diǎn)撥】作輔助線，構(gòu)建三角形全等，可知：過(guò)M與EF垂直的PH＝EF，通過(guò)畫(huà)圖可解答．【解析】證明：如圖1，過(guò)B作BG∥EF，過(guò)C作CQ∥PH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠CBQ＝90°，∴四邊形BFEG和四邊形CQPH是平行四邊形，∴EF＝BG，PH＝CQ，∵PH＝EF，∴BG＝CQ，∵AB＝BC，∴Rt△ABG≌Rt△BCQ（HL），∴∠ABG＝∠BCQ，∴∠ABG+∠CBG＝∠CBG+∠BCQ＝90°，∴CQ⊥BG，∴PH⊥EF，所以圖1中過(guò)M與EF垂直滿(mǎn)足條件有一條，如圖2，還有兩條：P1H1，P2H2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．4．（2019春?海曙區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，ED平分∠AEF．（1）求證：EF＝AE+CF．（2）若AE＝2，CF＝3，求△DEF的面積．【點(diǎn)撥】（1）證明Rt△DGF和Rt△DCF和Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），得AE＝EG，F(xiàn)G＝CF，相加可得結(jié)論；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理列方程為：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得x＝6，即DG＝6，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【解析】（1）證明：過(guò)D作DG⊥EF于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD，∵ED平分∠AEF，∴AD＝DG，∴DG＝CD，在Rt△DGF和Rt△DCF中，∵，∴Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），∴CF＝FG，同理得Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），∴AE＝EG，∴EF＝EG+FG＝AE+CF；（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BE＝x﹣2，BF＝x﹣3，由（1）知：AE＝EG＝2，CF＝FG＝3，∴EF＝5，Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得：x＝6或﹣1（舍），∴DG＝AD＝6，∴S△DEF＝＝×5×6＝15．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式、角平分線的性質(zhì)和勾股定理等，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．知識(shí)點(diǎn)二正方形的判定正方形的判定：滿(mǎn)足下列條件之一的四邊形是正方形．=1\*GB3①有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形=2\*GB3②有一組鄰邊相等的矩形；=3\*GB3③對(duì)角線互相垂直的矩形．=4\*GB3④有一個(gè)角是直角的菱形=5\*GB3⑤對(duì)角線相等的菱形；【典例2】（2018春?富陽(yáng)區(qū)期末）如圖，在線段AB的同側(cè)作射線AC和BD，當(dāng)AC∥BD時(shí)，若∠CAB與∠DBA的角平分線分別交射線BD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，兩條角平分線相交于點(diǎn)P，連接EF．（1）試判斷四邊形ABEF的形狀并給予證明；（2）若AB＝BF＝2，在線段AE上取一點(diǎn)G，點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)H，問(wèn)線段AG的長(zhǎng)為多少時(shí)？以F，G，B，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．【點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明AE⊥BF，AB＝BE，由AC∥BD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得到AF＝AB，推出△ABF是等邊三角形，得到∠BAF＝60°，求得AP＝，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到PG＝PH＝1，于是得到結(jié)論．【解析】解：（1）四邊形ABEF是菱形，理由是：∵AE平分∠FAB，BF平分∠ABE，∴∠FAP＝∠PAB＝∠FAB，∠PBA＝∠ABE，∵AC∥BD，∴∠FAB+∠ABE＝180°，∠FAP＝∠BEP，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB，∴∠APB＝90°，AB＝BE，∴AE⊥BF，∵∠FAP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°，∴∠AFP＝∠ABP，∴AF＝AB＝BE，∴四邊形ABEF是菱形；（2）∵四邊形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∵AB＝BF＝2，∴△ABF是等邊三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠FAP＝30°，∴AP＝，∵以F，G，B，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴HG＝BF＝2，∴PG＝PH＝1，∵在線段AE上取一點(diǎn)G，點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)H，∴點(diǎn)G在線段AP上或線段PE上，∴AG＝﹣1或+1．∴線段AG的長(zhǎng)為﹣1或+1，以F，G，B，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2019?寧波模擬）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形 D．鄰邊相等的矩形是正方形【點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確；B、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，錯(cuò)誤；C、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，正確；D、鄰邊相等的矩形是正方形，正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，掌握平行四邊形的判定、菱形的判定及正方形的判定是解答本題的關(guān)鍵．2．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤6）（1）求BC邊上高AE的長(zhǎng)度；（2）連接AN、CM，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMCN為菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．【點(diǎn)撥】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD＝3cm．再解直角△ABE，即可求出AE的長(zhǎng)度；（2）先證明四邊形AMCN為平行四邊形，則當(dāng)AN＝AM時(shí)，四邊形AMCN為菱形．根據(jù)AN＝AM列出方程32+（6﹣t）2＝t2，解方程即可；（3）先證明四邊形MPNQ為矩形，則當(dāng)QM＝QN時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．根據(jù)QM＝QN列出方程|2t﹣6|＝3，解方程即可．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝AB?sin∠B＝3×＝3（cm）；（2）∵點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四邊形AMCN為平行四邊形，∴當(dāng)AN＝AM時(shí)，四邊形AMCN為菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故當(dāng)t為時(shí)，四邊形AMCN為菱形；（3）∵M(jìn)P⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四邊形MPNQ為矩形，∴當(dāng)QM＝QN時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分點(diǎn)Q在點(diǎn)M的左右兩種情況），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故當(dāng)t為4.5或1.5秒時(shí)，四邊形MPNQ為正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，菱形的判定，正方形的判定，利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三特殊四邊形綜合題【典例3】（2020?寧波模擬）如圖，已知∠MON＝90°，A，B分別是邊OM和ON上的點(diǎn)，四邊形ACDB和四邊形OEFC都是正方形．（1）當(dāng)OA＝2，OB＝1時(shí)，求OC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)OB＝1，點(diǎn)A在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OC的最小值．（3）設(shè)S△CDF＝y(tǒng)，OA＝x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【點(diǎn)撥】（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OM于點(diǎn)G，先證明△AOB≌△AGC（AAS），再在Rt△OGC中，由勾股定理求得OC．（2）如圖2所示，由題意可得點(diǎn)C在直線l：y＝x﹣1上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短、直線y＝x﹣1與OM及NO的延長(zhǎng)線所得的三角形為等腰直角三角形可得答案．（3）如圖3所示，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)H，使CH＝OC，連接AH，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OM，證明△DCF≌△ACH（SAS），再證明S△ACH＝S△OAC，從而利用三角形的面積關(guān)系可得答案．【解析】解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OM于點(diǎn)G，∵四邊形ACDB是正方形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠MON＝90°，∠AGC＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠ABO＝∠CAG，∴△AOB≌△AGC（AAS）．∵OA＝2，OB＝1，∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝3，∴在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC＝＝．（2）如圖2所示，由題意可得點(diǎn)C在直線l：y＝x﹣1上運(yùn)動(dòng)，∴OC的最小值為當(dāng)OC與直線l垂直時(shí)，此時(shí)OC＝，∴OC的最小值為．（3）如圖3所示，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)H，使CH＝OC，連接AH，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OM，∵CD＝CA，CH＝CF，∠DCF＝∠ACH＝90°+∠ACF，∴△DCF≌△ACH（SAS），由（1）知△AOB≌△AGC（AAS），∴CG＝OA，∵C是OH的中點(diǎn)，∴S△ACH＝S△OAC，∵S△CDF＝y(tǒng)，OA＝x，∴y＝S△OAH＝S△OAC＝x2．∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)及三角形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2019春?拱墅區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AG，過(guò)G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分別為垂足（1）求證：GE+GF＝AB；（2）①寫(xiě)出GE、GF、AG三條線段滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明；②求當(dāng)AB＝6，AG＝時(shí)，BG的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，得出GE＝DG，GF＝BG，即可得出結(jié)論；（2）①連接CG，由SAS證明△ABG≌△CBG，得出AG＝CG，證出四邊形EGFC是矩形，得出CE＝GF，由勾股定理即可得出GE2+GF2＝AG2；②設(shè)GE＝x，則GF＝6﹣x，由勾股定理得出方程求出GE＝1或GE＝5，再分情況討論，由勾股定理求出BG即可．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：連接CG，如圖所示：在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；設(shè)GE＝x＝CF，則GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5當(dāng)x＝1時(shí)，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，當(dāng)x＝5時(shí)，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2020春?鄞州區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形？（2）當(dāng)t＝3時(shí)四邊形OQCD的面積為多少？（3）是否存在t的值，使△AQP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）先證明△APO≌△CQO，AP＝CQ＝t，根據(jù)AP＝BQ列方程可得結(jié)論；（2）作高線AH和OG，根據(jù)三角形的中位線定理和面積法分別求AH和CG的長(zhǎng)，根據(jù)y＝S△OCD+S△OCQ＝，代入可得結(jié)論；（3）由（1）知，△APO≌△CQO，于是得到AP＝CQ＝t，OP＝OQ，①當(dāng)AP＝PQ＝t時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖2，過(guò)O作OH⊥BC于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OH＝，CH＝，求得HQ＝t﹣，OQ＝t，根據(jù)勾股定理得到方程（t）2＝（）2+（t﹣）2，由于此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在；②當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖3，過(guò)O作OH⊥AD于H，過(guò)A作AG⊥BC于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；③當(dāng)AP＝AQ＝t時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖4，連接CP，則四邊形AQCP是菱形，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解析】解析：（1）當(dāng)t＝2.5s時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠PAO＝∠QCO，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∴BQ＝5﹣t，若四邊形ABQP是平行四邊形，則AP＝BQ，∴t＝5﹣t，∴t＝2.5，即當(dāng)t＝2.5s時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；（2）如圖1，過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)O作OG⊥BC于G，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴CO＝AC＝2，S△ABC＝AB?AC＝BC?AH，∴3×4＝5AH，解得：AH＝，∵AH∥OG，OA＝OC，∴GH＝CG，∴OG＝AH＝，∴四邊形OQCD的面積＝S△OCD+S△OCQ＝，∴四邊形OQCD的面積＝×2×3+×t×＝t+3，當(dāng)t＝3時(shí)，四邊形OQCD的面積為cm2；（3）由（1）知，△APO≌△CQO，∴AP＝CQ＝t，OP＝OQ，①當(dāng)AP＝PQ＝t時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖2，過(guò)O作OH⊥BC于H，則OH＝，∴CH＝＝，∴HQ＝t﹣，OQ＝t，在Rt△OQH中，OQ2＝OH2+HQ2，∴（t）2＝（）2+（t﹣）2，∵此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在；②當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖3，過(guò)O作OH⊥AD于H，過(guò)A作AG⊥BC于G，∴AH＝QG＝AP＝t，∵BQ＝PD＝5﹣t，∴BG＝BQ﹣GQ＝5﹣t﹣t＝5﹣t，∵AG＝，AB＝3，∴32＝（5﹣t）2+（）2，∴t＝（負(fù)值舍去）；③當(dāng)AP＝AQ＝t時(shí)，△AQP為等腰三角形，如圖4，連接CP，則四邊形AQCP是菱形，∴PQ⊥AC，∴OQ∥AB，∴OQ＝AB＝，∴AQ＝t＝＝＝，綜上所述，存在t的值為或時(shí)，使△AQP為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．鞏固訓(xùn)練1．（2019春?蒼南縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)EF在正方形ABCD內(nèi)．若四邊形AECF恰是菱形，連結(jié)FB，DE，且AF2﹣FB2＝3，則菱形AECF的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB，則FM＝BM，BF2＝2FM2，由AF2﹣FB2＝3可得AM﹣BM＝1，可求出AM＝2，BM＝1，則AF的長(zhǎng)可求出．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB，∵∠ABF＝45°，∴FM＝BM，∴BF2＝2FM2，∴AF2﹣BF2＝AF2﹣FM2﹣BM2＝3∴AM2﹣BM2＝3，∵AM+BM＝3，∴AM﹣BM＝1，∴AM＝2，BM＝1，∴＝＝．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，注意構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2018春?上虞區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC、BD是對(duì)角線，延長(zhǎng)DA到H，使DH＝DB，在DB上截取DG＝DC，連結(jié)GH交AB于點(diǎn)E，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，連結(jié)FG，則下列結(jié)論：①四邊形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【點(diǎn)撥】首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數(shù)，推出AE＝EG＝FG＝AF，由此可以一一判斷．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，又∵DG＝DC，∴DA＝DG，又∵DH＝DB，∴△DGH≌△DAB（SAS），∴∠DAE＝∠DGE＝90°，在Rt△ADE和Rt△GDE中，，∴Rt△ED≌Rt△GED（HL），故②正確，∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF，∴AE＝EG＝GF＝FA，∴四邊形AEGF是菱形，故①正確，∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正確．∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)角相等，學(xué)會(huì)這種證明角相等的方法．3．（2019春?蕪湖期末）正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交射線CB于點(diǎn)F，連結(jié)CE．（1）已知點(diǎn)F在線段BC上①若AB＝BE，求∠DAE度數(shù)；②求證：CE＝EF（2）已知正方形邊長(zhǎng)為2，且BC＝2BF，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）①先求得∠ABE的度數(shù)，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得∠BAE的度數(shù)，然后可求得∠DAE度數(shù)；②先利用正方形的對(duì)稱(chēng)性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在證明又∠BAE＝∠EFC，通過(guò)等量代換可得到∠BCE＝∠EFC；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M．依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到FN＝CN，從而可得到NC的長(zhǎng)，然后可得到MD的長(zhǎng)，在Rt△MDE中可求得ED的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后再證明EF＝EC，然后再按照上述思路進(jìn)行解答即可．【解析】解：（1）①∵ABCD為正方形，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝BE，∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°②證明：∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．（2）如下圖所示：過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M．∵CE＝EF，∴N是CF的中點(diǎn)．∵BC＝2BF，∴＝．又∵四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME，∴ED＝DM＝CN＝．如下圖所示：過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M．∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．∴FN＝CN．又∵BC＝2BF，∴FC＝3，∴CN＝，∴EN＝BN＝，∴DE＝．綜上所述，ED的長(zhǎng)為或【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的法則是解題的關(guān)鍵．4．（2019秋?海曙區(qū)期末）問(wèn)題背景：如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得四邊形EFGH是正方形．類(lèi)比探究：如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)（D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合）．（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；（2）△DEF是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD＝a，AD＝b，AB＝c，請(qǐng)?zhí)剿鱝，b，c滿(mǎn)足的等量關(guān)系．【點(diǎn)撥】（1）由正三角形的性質(zhì)得出∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，證出∠ABD＝∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，證出∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，即可得出結(jié)論；（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質(zhì)得出∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，又∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，在△ABD、△BCE和△CAF中，，∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G，如圖所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，c2＝（a+b）2+（b）2，∴c2＝a2+ab+b2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2019春?永康市期末）（1）嘗試探究：如圖1，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AB的延長(zhǎng)線于F．①求證：△CDE≌△CBF；②過(guò)點(diǎn)C作∠ECF的平分線交AB于P，連結(jié)PE，請(qǐng)?zhí)骄縋E與PF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交AB的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)EF交DB于M，連結(jié)CM并延長(zhǎng)CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）先判斷出∠CBF＝90°，再證明∠DCE＝∠BCF即可解決問(wèn)題．（2）證明△PCE≌△PCF（SAS）即可解決問(wèn)題．（3）如圖2中，作EH⊥AD交BD于H，連接PE．證明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分線段EF，推出PE＝PF，設(shè)PB＝x，則PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【解析】解：（1）如圖1中，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°∴∠DCE＝∠BCF，∴△CDE≌△CBF（ASA）．（2）結(jié)論：PE＝PF．理由：如圖1中，∵△CDE≌△CBF，∴CE＝CF，∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF，∴△PCE≌△PCF（SAS），∴PE＝PF．（3）如圖2中，作EH⊥AD交BD于H，連接PE．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°，∵EH⊥AD，∴∠DEH＝∠A＝90°，∴EH∥AF，DE＝EH＝2，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF＝2，∴EH＝BF，∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB，∴△EMH≌△FMB（AAS），∵EM＝FM，∵CE＝CF，∴PC垂直平分線段EF，∴PE＝PF，設(shè)PB＝x，則PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，在Rt△APE中，則有（x+2）2＝42+（6﹣x）2，∴x＝3，∴PB＝3．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．（2019春?天臺(tái)縣期末）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足DE⊥EF，垂足為點(diǎn)E，連接DF．（1）求∠EDF＝45°（填度數(shù)）；（2）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接FG，如圖2，猜想AG，GF，F(xiàn)C三者的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）①若AB＝6，G是AB的中點(diǎn)，求△BFG的面積；②設(shè)AG＝a，CF＝b，△BFG的面積記為S，試確定S與a，b的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）如圖1中，連接BE．利用全等三角形的性質(zhì)證明EB＝ED，再利用等角對(duì)等邊證明EB＝EF即可解決問(wèn)題．（2）猜想：GF＝AG+CF．如圖2中，將△CDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH，證明△GDH≌△GDF（SAS）即可解決問(wèn)題．（3）①設(shè)CF＝x，則AH＝x，BF＝6﹣x，GF＝3+x，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可．②設(shè)正