專(zhuān)題08尺規(guī)作圖與幾何初步(共60題)-5年(2016-2020)中考1年模擬數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)詳解(原卷版+解析)(北京專(zhuān)用)

5年（2016-2020）中考1年模擬數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)詳解（北京專(zhuān)用）專(zhuān)題08尺規(guī)作圖與幾何初步（共60題）五年中考真題五年中考真題一．選擇題（共6小題）1．（2020?北京）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠52．（2017?北京）如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（）A．線段PA的長(zhǎng)度 B．線段PB的長(zhǎng)度 C．線段PC的長(zhǎng)度 D．線段PD的長(zhǎng)度3．（2018?北京）下列幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．4．（2017?北京）如圖是某個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，該幾何體是（）A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱5．（2016?北京）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．125° D．135°6．（2019?北京）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作PQ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．則∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD二．填空題（共2小題）7．（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圓．作法：如圖2．（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．8．（2016?北京）下面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：直線l和l外一點(diǎn)P．（如圖1）求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．作法：如圖2（1）在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，AP，BP長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；（3）作直線PQ．所以直線PQ就是所求的垂線．請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是．三．解答題（共2小題）9．（2020?北京）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP=12∠作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（∴∠ABP=12∠10．（2018?北京）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B；②在直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝，CB＝，∴PQ∥l（）（填推理的依據(jù)）．一年模擬新題一年模擬新題一．選擇題（共18小題）1．（2020?東城區(qū)一模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作MN，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接CP，DP；（3）作射線OP交CD于點(diǎn)Q．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP2．（2020?豐臺(tái)區(qū)一模）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點(diǎn)D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD3．（2020?順義區(qū)一模）已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．如圖，（1）在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點(diǎn)B，O；（3）以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；（4）作直線PQ．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP=12BQ D．若PQ＝PA，則∠4．（2020?海淀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD的同樣的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N②作直線MN，交CD于點(diǎn)E，連接BE．若直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，則BE＝47 D．tan∠CBE=5．（2020?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以點(diǎn)C為圓心，以CB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)G，B為圓心，以大于12GB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線CK（2）以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．根據(jù)以上操作過(guò)程及所作圖形，有如下結(jié)論：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四邊形CDFB=12CF?④∠BCF＝∠BCE．所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④6．（2020?北京模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．∠ADC＝60° C．點(diǎn)D在AB的中垂線上 D．S△DAC：S△ABD＝1：37．（2020?朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，直線l1∥l2，它們之間的距離是（）A．線段PA的長(zhǎng)度 B．線段PB的長(zhǎng)度 C．線段PC的長(zhǎng) D．線段PD的長(zhǎng)度8．（2020?順義區(qū)二模）如圖所示，l1∥l2，則平行線l1與l2間的距離是（）A．線段AB的長(zhǎng)度 B．線段BC的長(zhǎng)度 C．線段CD的長(zhǎng)度 D．線段DE的長(zhǎng)度9．（2020?石景山區(qū)一模）如圖，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AB上，EF∥AC交AD于點(diǎn)G，若∠DGF＝40°，則∠BAD的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．50° D．80°10．（2020?朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前弧交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合），連接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于點(diǎn)E．若∠ECA＝40°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC＝70° B．∠BAD＝80° C．CE＝CD D．CE＝AE11．（2020?東城區(qū)一模）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，那么∠2的度數(shù)是（）A．48° B．78° C．92° D．102°12．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，將一張矩形紙片折疊，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°13．（2020?石景山區(qū)二模）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．150°14．（2020?昌平區(qū)二模）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．135° D．140°15．（2020?密云區(qū)二模）如圖，小林利用圓規(guī)在線段CE上截取線段CD，使CD＝AB．若點(diǎn)D恰好為CE的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=12CD D．CE16．（2020?西城區(qū)二模）如圖是某個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，該幾何體是（）A． B． C． D．17．（2020?東城區(qū)二模）如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東40°方向行走至B處，又從B處沿南偏東70°方向行走至C處．則∠ABC等于（）A．130° B．120° C．110° D．100°18．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）如圖是某個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，該幾何體是（）A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐二．填空題（共5小題）19．（2020?房山區(qū)二模）下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如圖，（1）作射線AB；（2）在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與⊙O交于點(diǎn)D，作射線AD．∠DAB即為所求的角．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．20．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）如圖，將一副直角三角板按圖中所示位置擺放，保持兩條斜邊互相平行，那么∠1的度數(shù)為°．21．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）如圖所示，a∥b，表示直線a與b之間距離的是線段的長(zhǎng)度．22．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，可以得到∥，依據(jù)是．23．（2020?北京模擬）將一矩形紙條按如圖所示折疊，若∠1＝110°，則∠2＝．三．解答題（共27小題）24．（2020?昌平區(qū)二模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：已知：∠α，直線l和l上兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．小剛的做法如下：①以∠α的頂點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交兩邊于M，N；以A為圓心，同樣長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)P；②以P為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q，作射線AQ；③以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于E，F(xiàn)；④分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l上方交于點(diǎn)G，作射線BG⑤射線AQ與射線BG交于點(diǎn)C．Rt△ABC即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：連接PQ．在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）25．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．作法：如圖2，①在直線l上任取一點(diǎn)A，作射線AP；②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)B，連接PB；③以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)C；分別以B，C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)Q④作直線PQ；所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（）（填依據(jù)1）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直線PQ∥直線l．（）（填依據(jù)2）．26．（2020?朝陽(yáng)區(qū)二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)P在直線l的兩旁；②以P為圓心，PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l于點(diǎn)A，B，連接AP；③分別以點(diǎn)P，B為圓心，以AB，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q和點(diǎn)A在直線PB的兩旁）；④作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接BQ，∵PQ＝，BQ＝，∴四邊形PABQ是平行四邊形（）（填推理依據(jù)）．∴PQ∥l．27．（2020?平谷區(qū)二模）下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，直線l和直線外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P作直線l的平行線．作法：如圖，①在直線l上任取點(diǎn)O；②作直線PO；③以點(diǎn)O為圓心OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線PO于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)B；④連接AB，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交⊙O于點(diǎn)C（點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合）；⑤作直線CP；則直線CP即為所求．根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成以下任務(wù)．（1）補(bǔ)全圖形；（2）完成下面的證明：證明：連接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠＝∠，又∵OB＝OP，∴∠＝∠，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（）（填推理的依據(jù)）．28．（2020?順義區(qū)二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“以線段AB為一條對(duì)角線作一個(gè)菱形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：線段AB．求作：菱形ACBD．作法：如圖，①以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作⊙A；②以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作⊙B，交⊙A于C，D兩點(diǎn)；③連接AC，BC，BD，AD．所以四邊形ACBD就是所求作的菱形．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵點(diǎn)B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（）（填推理的依據(jù)）．同理∵點(diǎn)A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴═＝＝．∴四邊形ACBD是菱形．（）（填推理的依據(jù)）．29．（2020?西城區(qū)二模）下面是小明設(shè)計(jì)的“在已知三角形的一邊上取一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到這個(gè)三角形的另外兩邊的距離相等”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：△ABC．求作：點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在BC邊上，且到AB，AC邊的距離相等．作法：如圖，作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D．則點(diǎn)D即為所求．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴＝（）（括號(hào)里填推理的依據(jù)）．30．（2020?北京二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）求證：∠BCD＝∠CAE．31．（2020?東城區(qū)二模）下面是“作一個(gè)45°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A．求作：∠A，使得∠A＝45°．作法：如圖，①作射線AB；②在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；③分別以A，C為圓心，大于12AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線OD交⊙O于點(diǎn)E④作射線AE．則∠EAB即為所求作的角．（1）使用直尺和圓規(guī)．補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠＝°．∴∠EAB＝°．（）（填推理的依據(jù)）32．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，將CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接AD交直線CP于點(diǎn)E，連接CD．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷△ACD的形狀，并證明；（3）連接BE，用等式表示線段AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．溫馨提示：在解決第（3）問(wèn)的過(guò)程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．解法1的主要思路：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝AB，連接EF，可證△ABE≌△CFE，再證△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，可證△ABM是等腰直角三角形，再證△ABC∽△AME．解法3的主要思路：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BE于點(diǎn)N，設(shè)BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．33．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過(guò)程．已知：⊙O和圓外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線．作法：①連接OP；②以O(shè)P為直徑作OM，交⊙O于點(diǎn)A，B；③作直線PA，PB；所以直線PA，PB為⊙O的切線．根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程，完成下面的證明．證明：連接OA，OB．∵OP為OM的直徑，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依據(jù)）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB為⊙O的切線（）（填推理的依據(jù)）．34．（2020?海淀區(qū)二模）下面是小王同學(xué)“過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l外取一點(diǎn)A，作射線AP與直線l交于點(diǎn)B，②以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧與直線l交于點(diǎn)C，連接AC，③以A為圓心，AP為半徑畫(huà)弧與線段AC交于點(diǎn)Q，則直線PQ即為所求．根據(jù)小王設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，（）（填推理的依據(jù)）．∵AP＝，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（）（填推理的依據(jù)）．即PQ∥l．35．（2020?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法作出這兩條直線所成角的角平分線？小明的做法是：（1）如圖2，畫(huà)PC∥a；（2）以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；（3）連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B；請(qǐng)你先完成下面的證明，然后完成第（4）步作圖：∵PC∥a，∴∠1＝∠PDA（）∵以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D，∴PA＝PD，∴∠PAB＝∠，∴∠PAB＝∠1，∴以直線a，b的交點(diǎn)和點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形為等腰三角形．根據(jù)上面的推理證明完成第（4）步作圖：（4）請(qǐng)?jiān)趫D2畫(huà)板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（畫(huà)板內(nèi)的部分），尺規(guī)作出圖形，并保留作圖痕跡．第（4）步這么作圖的理論依據(jù)是：．36．（2020?石景山區(qū)一模）下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l及直線l上一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖2：①以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l上方交于點(diǎn)Q③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接QA，QB．∵QA＝，PA＝，∴PQ⊥l（）（填推理的依據(jù)）．37．（2020?順義區(qū)一模）如圖，AM∥BC，且AC平分∠BAM．（1）用尺規(guī)作∠ABC的平分線BD交AM于點(diǎn)D，連接CD．（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）求證：四邊形ABCD是菱形．38．（2020?豐臺(tái)區(qū)三模）下面是小方設(shè)計(jì)的“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線AB及直線AB外一點(diǎn)P．求作：直線AB上一點(diǎn)C，使得∠PCB＝30°．作法：①在直線AB上取一點(diǎn)M；②以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，與直線AB交于點(diǎn)M、N；③分別以M、N為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，在直線AB下方兩弧交于點(diǎn)Q．④連接PQ，交AB于點(diǎn)O．⑤以點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑畫(huà)弧，交直線AB于點(diǎn)C且點(diǎn)C在點(diǎn)O的左側(cè)．則∠PCB就是所求作的角．根據(jù)小方設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵PM＝PN＝QM＝QN，∴四邊形PMQN是．∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）∵在Rt△POC中，sin∠PCB=POPC∴∠PCB＝30°．39．（2020?密云區(qū)一模）下面是小菲設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的二倍”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：△ABC中，AC＞BC．求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．作法：如圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M、N點(diǎn)，作直線MN②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于P、Q點(diǎn)，作直線PQ，MN和PQ交于點(diǎn)D③連接AD和BD，④以點(diǎn)D為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作⊙D．所以∠ADB＝2∠C．根據(jù)小菲設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接CD，∵M(jìn)N和PQ分別為AC、AB的垂直平分線，∴CD＝AD＝．∴⊙D是△ABC的外接圓．∵點(diǎn)C是⊙D上的一點(diǎn)，∴∠ADB＝2∠C．（）（填推理的依據(jù)）40．（2020?西城區(qū)一模）先閱讀下列材料，再解答問(wèn)題．尺規(guī)作圖已知：△ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，如圖1，求作：四邊形DBCF，使得四邊形DBCF是平行四邊形．小明的做法如下：（1）設(shè)計(jì)方案先畫(huà)一個(gè)符合題意的草圖，如圖2，再分析實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體方法，依據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）設(shè)計(jì)作圖步驟，完成作圖作法：如圖3，①延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E；②分別作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ與CP交于點(diǎn)F．∴四邊形DBCF即為所求．（3）推理論證證明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四邊形DBCF是平行四邊形．請(qǐng)你參考小明的做法，再設(shè)計(jì)一種尺規(guī)作圖的方法（與小明的方法不同），使得畫(huà)出的四邊形DBCF是平行四邊形，并證明．41．（2020?平谷區(qū)一模）如圖，等邊△ABC，作它的外接圓⊙O，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形并證明：DF與⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的長(zhǎng)．42．（2020?延慶區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，連接AC，BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線EF，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求線段BF的長(zhǎng)．43．（2020?北京模擬）如圖，△ABC中，AB＝BC，D在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，E為AD中點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線，與線段AC交于點(diǎn)F，連接EF；（2）根據(jù)（1）中所作的圖形，證明：EF∥BC．44．（2020?延慶區(qū)一模）已知，如圖，點(diǎn)A是直線l上的一點(diǎn)．求作：正方形ABCD，使得點(diǎn)B在直線l上．（要求保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）請(qǐng)你說(shuō)明，∠BAD＝90°的依據(jù)是什么？45．（2020?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B．作法：如圖，①連接OP，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)P為圓心，大于12OP的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N②連接MN，交OP于點(diǎn)Q，再以點(diǎn)Q為圓心，OQ的長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B；③作直線PA和直線PB．所以直線PA和PB就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵OP是⊙Q的直徑，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依據(jù)）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴PA，PB是⊙O的切線．46．（2020?北京模擬）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形ABEF（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上）．作法：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)F；②以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E；③連接EF．所以四邊形ABEF為所求作的菱形．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在?ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四邊形ABEF為平行四邊形．∵AF＝AB，∴四邊形ABEF為菱形（）（填推理的依據(jù)）．47．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線BC及直線BC外一點(diǎn)P．求作：直線PE，使得PE∥BC．作法：如圖2．①在直線BC上取一點(diǎn)A，連接PA；②作∠PAC的平分線AD；③以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AD于點(diǎn)E；④作直線PE．所以直線PE就是所求作的直線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依據(jù)）．48．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使PQ∥l．作法：如圖2，①在直線l上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，交直線l于A、B兩點(diǎn)；②連接PA，以B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交半圓于點(diǎn)Q；③作直線PQ；所有直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）．（2）完成下面的證明：證明：連接PB、QB．∵PA＝QB，∴PA=∴∠PBA＝∠QPB（）（填推理的依據(jù)）．∴PQ∥l（）（填推理的依據(jù)）．49．（2020?北京模擬）如圖，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分別以點(diǎn)B，D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑在BD的右側(cè)作弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接BC，DC和AC，AC與BD交于點(diǎn)O．（1）用尺規(guī)補(bǔ)全圖形，并證明四邊形ABCD為菱形；（2）如果AB＝5，cos∠ABD=35，求50．（2020?海淀區(qū)校級(jí)模擬）下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．求作：⊙O的一條切線，使這條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．作法：①連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點(diǎn)A；②以A為圓心，AO為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)M；③作直線PM，則直線PM即為⊙O的切線．根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：連接OM，由作圖可知，A為OP中點(diǎn)，∴OP為⊙A直徑，∴∠OMP＝°，（）（填推理的依據(jù)）即OM⊥PM．又∵點(diǎn)M在⊙O上，∴PM是⊙O的切線．（）（填推理的依據(jù)）5年（2016-2020）中考1年模擬數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)詳解（北京專(zhuān)用）專(zhuān)題08尺規(guī)作圖與幾何初步（共60題）五年中考真題五年中考真題一．選擇題（共6小題）1．（2020?北京）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【分析】根據(jù)對(duì)頂角定義和外角的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【解析】A．∵∠1和∠2是對(duì)頂角，∴∠1＝∠2，故A正確；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B錯(cuò)誤；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③錯(cuò)誤；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D錯(cuò)誤；故選：A．2．（2017?北京）如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（）A．線段PA的長(zhǎng)度 B．線段PB的長(zhǎng)度 C．線段PC的長(zhǎng)度 D．線段PD的長(zhǎng)度【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，可得答案．【解析】由題意，得點(diǎn)P到直線l的距離是線段PB的長(zhǎng)度，故選：B．3．（2018?北京）下列幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)立體圖形的定義及其命名規(guī)則逐一判斷即可．【解析】A、此幾何體是圓柱體；B、此幾何體是圓錐體；C、此幾何體是正方體；D、此幾何體是四棱錐；故選：A．4．（2017?北京）如圖是某個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，該幾何體是（）A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱【分析】側(cè)面為三個(gè)長(zhǎng)方形，底面為三角形，故原幾何體為三棱柱．【解析】觀察圖形可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：A．5．（2016?北京）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】由圖形可直接得出．【解析】由圖形所示，∠AOB的度數(shù)為55°，故選：B．6．（2019?北京）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作PQ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．則∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作圖知CM＝CD＝DN，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得．【解析】由作圖知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A選項(xiàng)正確；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON=13∠MON＝20°，故設(shè)∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，則∠OCD＝∠OCM=180°?α∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN=12∠CON＝∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C選項(xiàng)正確；∵M(jìn)C+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．二．填空題（共2小題）7．（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圓．作法：如圖2．（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；圓的定義等．．【分析】由于90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所以Rt△ABC的外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，然后作AB的中垂線得到圓心后即可得到Rt△ABC的外接圓．【解析】該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．故答案為到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一直線；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；圓的定義．8．（2016?北京）下面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：直線l和l外一點(diǎn)P．（如圖1）求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．作法：如圖2（1）在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，AP，BP長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；（3）作直線PQ．所以直線PQ就是所求的垂線．請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（A、B都在線段PQ的垂直平分線上）．【分析】只要證明直線AB是線段PQ的垂直平分線即可．【解析】到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（A、B都在線段PQ的垂直平分線上），理由：如圖，∵PA＝AQ，PB＝QB，∴點(diǎn)A、點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，∴直線AB垂直平分線段PQ，∴PQ⊥AB．三．解答題（共2小題）9．（2020?北京）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP=12∠作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線CD于C，P兩點(diǎn)；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（∴∠ABP=12∠【分析】（1）根據(jù)作法即可補(bǔ)全圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半即可完成下面的證明．【解析】（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴點(diǎn)B在⊙A上．又∵點(diǎn)C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠∴∠ABP=12∠故答案為：∠BPC，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．10．（2018?北京）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B；②在直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位線定理）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；（2）利用三角形中位線定理證明即可；【解答】（1）解：直線PQ如圖所示；（2）證明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位線定理）．故答案為：AP，CQ，三角形中位線定理；一年模擬新題一年模擬新題1．（2020?東城區(qū)一模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作MN，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接CP，DP；（3）作射線OP交CD于點(diǎn)Q．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP【分析】由作圖知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、角平分線的基本作圖，逐一判斷可得．【解析】由作圖可知：射線OP即為∠AOB的角平分線，∴∠AOP＝∠BOP，故C正確，不符合題意；由作圖（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，∴OP是CD的垂直平分線，∴CD⊥OP，故D正確，不符合題意；由作圖（2）可知：CD＝CP＝PD，∴△CDP是等邊三角形，∵CD⊥OP，∴CP＝2CQ，故B正確，不符合題意；∵∠AOP＝∠BOP，當(dāng)OC＝CP時(shí)，∠AOP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴CP∥OB，故A錯(cuò)誤，符合題意；故選：A．2．（2020?豐臺(tái)區(qū)一模）在⊙O中按如下步驟作圖：（1）作⊙O的直徑AD；（2）以點(diǎn)D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)；（3）連接DB，DC，AB，AC，BC．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可知：AD是⊙O的直徑，BD=CD，根據(jù)垂徑定理即可判斷A、B、C正確，再根據(jù)DC＝OD，可得AD＝2CD，進(jìn)而可判斷【解析】根據(jù)作圖過(guò)程可知：AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴A選項(xiàng)正確；∵BD＝CD，∴BD=∴∠BAD＝∠CBD，∴B選項(xiàng)正確；根據(jù)垂徑定理，得AD⊥BC，∴C選項(xiàng)正確；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．3．（2020?順義區(qū)一模）已知直線l及直線l外一點(diǎn)P．如圖，（1）在直線l上取一點(diǎn)A，連接PA；（2）作PA的垂直平分線MN，分別交直線l，PA于點(diǎn)B，O；（3）以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線MN于另一點(diǎn)Q；（4）作直線PQ．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP=12BQ D．若PQ＝PA，則∠【分析】連接AQ，BP，如圖，利用基本作圖得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，則可根據(jù)“SAS”判斷△OAB≌△OPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ABO＝∠PQO，于是可判斷PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，則可判斷△PAQ為等邊三角形，于是得到∠APQ＝60°，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解析】連接AQ，BP，如圖，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，若PQ＝PA，則PQ＝QA＝PA，此時(shí)△PAQ為等邊三角形，則∠APQ＝60°．故選：C．4．（2020?海淀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD的同樣的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N②作直線MN，交CD于點(diǎn)E，連接BE．若直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，則BE＝47 D．tan∠CBE=【分析】A、根據(jù)作圖過(guò)程可得，AE是DC的垂直平分線，連接AC，可得三角形ABC是等邊三角形，即可判斷；B、根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可得S△ADE＝S△BCE=12S△C、根據(jù)A選項(xiàng)可以證明∠BAE＝90°，AE的長(zhǎng)為23，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可以判斷；D、過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為F，結(jié)合C選項(xiàng)，根據(jù)三角函數(shù)即可求出tan∠CBE的值，進(jìn)而可以判斷．【解析】如圖，A、根據(jù)作圖過(guò)程可知：AE是DC的垂直平分線，連接AC，∴AC＝AD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°．所以A選項(xiàng)正確；B、∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴S△ADE＝S△BCE=12S△∴S△ABE＝2S△ADE，所以B選項(xiàng)正確；C、∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∠CAE=12∴∠BAE＝90°，∵AB＝AD＝4，∴AE＝23，∴在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得BE=AB2所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為F，∴∠EFC＝90°，∵∠ECF＝60°，設(shè)CE＝2，則BC＝4，CF＝1，EF=3∴在Rt△EBF中，BF＝BC+CF＝5，∴tan∠CBE=EF所以D選項(xiàng)正確．所以下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是C選項(xiàng)．故選：C．5．（2020?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）以點(diǎn)C為圓心，以CB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)G，B為圓心，以大于12GB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線CK（2）以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．根據(jù)以上操作過(guò)程及所作圖形，有如下結(jié)論：①CE＝CD；②BC＝BE＝BF；③S四邊形CDFB=12CF?④∠BCF＝∠BCE．所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④【分析】①由作圖過(guò)程可得，CE是BG的垂直平分線，BD是∠CBF的平分線，可以證明△BCD≌△BFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)而可以判斷；②根據(jù)BC≠BE，即可判斷；③根據(jù)S四邊形CDFB＝S△BCD+S△BFD即可判斷；④根據(jù)△BCE與△BCF不全等，∠BCE≠∠BCF，即可判斷．【解析】如圖，連接CF，交BD于點(diǎn)H，由作圖過(guò)程可知：CE是BG的垂直平分線，BD是∠CBF的平分線，設(shè)CE與AB交于點(diǎn)Q，∴∠CQA＝∠DFA＝90°，∴CQ∥DF，∴∠CED＝∠FDE，∵BD是∠CBF的平分線，∴∠CBD＝∠FBD，∵∠BCD＝∠BFD＝90°，BD＝BD，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴∠CDB＝∠FDB，∴∠CDB＝∠CED，∴CE＝CD，所以①正確；∵△BCD≌△BFD（AAS），∴BC＝BF，但是BC≠BE，∴②不正確；∵S四邊形CDFB＝S△BCD+S△BFD=12BD?CH+1=12CF?∴③正確；∵△BCE與△BCF不全等，∴∠BCE≠∠BCF，∴④不正確．所以正確結(jié)論的序號(hào)為①③．故選：B．6．（2020?北京模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．∠ADC＝60° C．點(diǎn)D在AB的中垂線上 D．S△DAC：S△ABD＝1：3【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推知∠CAD＝30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)；③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比．【解析】根據(jù)作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝60°，故②正確；∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，∴AD＝DB，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；∵∠CAD＝30°，∴CD=12∵AD＝DB，∴CD=12∴CD=13S△ACD=12CD?AC，S△ACB=12∴S△ACD：S△ACB＝1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，故④錯(cuò)誤，故選：D．7．（2020?朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，直線l1∥l2，它們之間的距離是（）A．線段PA的長(zhǎng)度 B．線段PB的長(zhǎng)度 C．線段PC的長(zhǎng) D．線段PD的長(zhǎng)度【分析】按照平行線間的距離的定義即可得出答案．【解析】平行線間的距離是指平行線上任意一點(diǎn)與另一條平行線的垂線段的長(zhǎng)度．觀察圖形可得PB為直線l1∥l2之間的垂線段．故選：B．8．（2020?順義區(qū)二模）如圖所示，l1∥l2，則平行線l1與l2間的距離是（）A．線段AB的長(zhǎng)度 B．線段BC的長(zhǎng)度 C．線段CD的長(zhǎng)度 D．線段DE的長(zhǎng)度【分析】利用平行線間距離的定義判斷即可．【解析】如圖所示，l1∥l2，則平行線l1與l2間的距離是線段BC的長(zhǎng)度．故選：B．9．（2020?石景山區(qū)一模）如圖，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AB上，EF∥AC交AD于點(diǎn)G，若∠DGF＝40°，則∠BAD的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．50° D．80°【分析】根據(jù)EF∥AC，可以得到∠DAC＝∠DGF，再根據(jù)AD平分∠BAC，可以得到∠BAD＝∠DAC，從而可以得到∠BAD的度數(shù)．【解析】∵EF∥AC，∠DGF＝40°，∴∠DAC＝∠DGF＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠BAD＝40°，故選：B．10．（2020?朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前弧交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合），連接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于點(diǎn)E．若∠ECA＝40°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC＝70° B．∠BAD＝80° C．CE＝CD D．CE＝AE【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAB＝40°，進(jìn)而利用圓的概念判斷即可．【解析】∵直線l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點(diǎn)，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°?40°2=70°∵以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前弧交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正確；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正確；故選：C．11．（2020?東城區(qū)一模）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，那么∠2的度數(shù)是（）A．48° B．78° C．92° D．102°【分析】直接利用已知角的度數(shù)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【解析】∵將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故選：D．12．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，將一張矩形紙片折疊，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不變性可知：∠2＝∠4=1故選：A．13．（2020?石景山區(qū)二模）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】根據(jù)平角的定義和角的和差即可得到結(jié)論．【解析】看內(nèi)圈的數(shù)字可得：∠AOB＝120°，故選：C．14．（2020?昌平區(qū)二模）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．135° D．140°【分析】根據(jù)角的定義即可得到結(jié)論．【解析】看內(nèi)圈的數(shù)字可得：∠AOB＝45°，故選：B．15．（2020?密云區(qū)二模）如圖，小林利用圓規(guī)在線段CE上截取線段CD，使CD＝AB．若點(diǎn)D恰好為CE的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=12CD D．CE【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．【解析】∵點(diǎn)D恰好為CE的中點(diǎn)，∴CD＝DE，∵CD＝AB，∴AB＝DE=12即CE＝2AB＝2CD，故A，B，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．16．（2020?西城區(qū)二模）如圖是某個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，該幾何體是（）A． B． C． D．【分析】側(cè)面為三個(gè)長(zhǎng)方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱．【解析】觀察圖形可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：D．17．（2020?東城區(qū)二模）如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東40°方向行走至B處，又從B處沿南偏東70°方向行走至C處．則∠ABC等于（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根據(jù)方向角的定義求出∠EBC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABE即可得出答案．【解析】如圖：∵小明從A處沿北偏東40°方向行走至點(diǎn)B處，又從點(diǎn)B處沿南偏東70°方向行走至點(diǎn)C處，∴∠DAB＝40°，∠CBE＝70°，∵向北方向線是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°．故選：C．18．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）如圖是某個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，該幾何體是（）A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐【分析】側(cè)面為三個(gè)長(zhǎng)方形，底面為三角形，故原幾何體為三棱柱．【解析】觀察圖形可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：A．二．填空題（共5小題）19．（2020?房山區(qū)二模）下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如圖，（1）作射線AB；（2）在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與⊙O交于點(diǎn)D，作射線AD．∠DAB即為所求的角．請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半．．【分析】先根據(jù)作圖得出OB＝OC＝CD，即△OCD為等邊三角形，據(jù)此可得∠COD＝60°，再根據(jù)圓周角定理知∠DAC=12∠【解析】如圖，連接OD、OC，由作圖知，OB＝OC＝CD，∴△OCD為等邊三角形，則∠COD＝60°，∴∠DAC=12∠綜上可知，該尺規(guī)作圖的依據(jù)是：三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形；圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半．20．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）如圖，將一副直角三角板按圖中所示位置擺放，保持兩條斜邊互相平行，那么∠1的度數(shù)為15°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠FDE＝45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠1的度數(shù)．【解析】如圖，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FDE＝45°，又∵∠C＝30°．∴∠1＝∠FDE﹣∠C＝45°﹣30°＝15°，故答案為：15．21．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）如圖所示，a∥b，表示直線a與b之間距離的是線段PB的長(zhǎng)度．【分析】從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離，由此可得出答案．【解析】由題可得，a∥b，PB⊥b，∴直線a與直線b之間的距離是線段PB的長(zhǎng)度，故答案為：PB．22．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，可以得到AC∥DE，依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)平行線的判定方法即可解決問(wèn)題．【解析】小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，可以得到AC∥DE，依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．故答案為：AC，DE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．23．（2020?北京模擬）將一矩形紙條按如圖所示折疊，若∠1＝110°，則∠2＝40°．【分析】依據(jù)AB∥CD，可得∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，再根據(jù)折疊可得，∠4＝∠5＝70°，進(jìn)而得出∠2＝40°．【解析】∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣110°＝70°，由折疊可得，∠4＝∠5＝70°，∴∠3＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠2＝40°，故答案為：40°．三．解答題（共27小題）24．（2020?昌平區(qū)二模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：已知：∠α，直線l和l上兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．小剛的做法如下：①以∠α的頂點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交兩邊于M，N；以A為圓心，同樣長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)P；②以P為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q，作射線AQ；③以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于E，F(xiàn)；④分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l上方交于點(diǎn)G，作射線BG⑤射線AQ與射線BG交于點(diǎn)C．Rt△ABC即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：連接PQ．在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（SSS）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（等腰三角形三線合一）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．（2）利用全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】（1）如圖所示：△ABC即為所求．（2）在△OMN和△AQP中，∵ON＝AP，NM＝PQ，OM＝AQ，∴△OMN≌△AQP（SSS），∴∠PAQ＝∠O＝α．∵CE＝CF，BE＝BF，∴CB⊥EF（等腰三角形三線合一）．故答案為：SSS，等腰三角形三線合一．25．（2020?門(mén)頭溝區(qū)二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使直線PQ∥直線l．作法：如圖2，①在直線l上任取一點(diǎn)A，作射線AP；②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)B，連接PB；③以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)C；分別以B，C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)Q④作直線PQ；所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（等邊對(duì)等角）（填依據(jù)1）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直線PQ∥直線l．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填依據(jù)2）．【分析】（1）根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定即可完成證明．【解析】（1）補(bǔ)全的圖形如圖2；（2）證明：由作圖可知：PQ平分∠CPB，∴∠CPQ＝∠BPQ=12∠又∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA．（等邊對(duì)等角）．∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB＝∠PBA=12∠∴∠CPQ＝∠PAB．∴直線PQ∥直線l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：等邊對(duì)等角；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．26．（2020?朝陽(yáng)區(qū)二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)P在直線l的兩旁；②以P為圓心，PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l于點(diǎn)A，B，連接AP；③分別以點(diǎn)P，B為圓心，以AB，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q和點(diǎn)A在直線PB的兩旁）；④作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四邊形PABQ是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）（填推理依據(jù)）．∴PQ∥l．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；（2）根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明．【解析】（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：連接BQ，∵PQ＝AB，BQ＝AP，∴四邊形PABQ是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∴PQ∥l．故答案為：AB，AP，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．27．（2020?平谷區(qū)二模）下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，直線l和直線外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P作直線l的平行線．作法：如圖，①在直線l上任取點(diǎn)O；②作直線PO；③以點(diǎn)O為圓心OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線PO于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)B；④連接AB，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交⊙O于點(diǎn)C（點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合）；⑤作直線CP；則直線CP即為所求．根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成以下任務(wù)．（1）補(bǔ)全圖形；（2）完成下面的證明：證明：連接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；（2）結(jié)合（1）根據(jù)圓周角定理即可完成證明．【解析】（1）補(bǔ)全圖形如下：（2）證明：連接BP、BC，∵AB＝BC，∴AB=∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：CPB，APB，OBP，OPB，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．28．（2020?順義區(qū)二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“以線段AB為一條對(duì)角線作一個(gè)菱形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：線段AB．求作：菱形ACBD．作法：如圖，①以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作⊙A；②以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作⊙B，交⊙A于C，D兩點(diǎn)；③連接AC，BC，BD，AD．所以四邊形ACBD就是所求作的菱形．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵點(diǎn)B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（圓的半徑）（填推理的依據(jù)）．同理∵點(diǎn)A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴AD═AC＝BC＝BD．∴四邊形ACBD是菱形．（四邊相等的四邊形為菱形）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)作法畫(huà)出幾何圖形；（2）利用圓的半徑相等得到四邊形ACBD的邊長(zhǎng)都等于AB，然后根據(jù)菱形的判定可判斷四邊形ACBD就是所求作的菱形．【解析】（1）如圖，四邊形ACBD為所作；（2）完成下面的證明．證明：∵點(diǎn)B，C，D在⊙A上，∴AB＝AC＝AD（圓的半徑相等），同理∵點(diǎn)A，C，D在⊙B上，∴AB＝BC＝BD．∴AD＝AC＝BC＝AD，∴四邊形ACBD是菱形．（四邊相等的四邊形為菱形）．故答案為：圓的半徑相等；AD、AC、BC、AD；四邊相等的四邊形為菱形．29．（2020?西城區(qū)二模）下面是小明設(shè)計(jì)的“在已知三角形的一邊上取一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到這個(gè)三角形的另外兩邊的距離相等”的尺規(guī)作圖過(guò)程：已知：△ABC．求作：點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在BC邊上，且到AB，AC邊的距離相等．作法：如圖，作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D．則點(diǎn)D即為所求．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF（角平分線的性質(zhì)）（括號(hào)里填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；（2）證明：作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF（角平分線的性質(zhì)），故答案為：DE，DF，角平分線的性質(zhì)．30．（2020?北京二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）求證：∠BCD＝∠CAE．【分析】（1）作∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E即可．（2）根據(jù)等角的余角相等，即可得到∠BCD＝∠CAE．【解析】（1）補(bǔ)全的圖形如下圖：（2）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE是∠BAC的平分線，∴AE⊥BC，∴∠ACB+∠CAE＝90°．∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAE．31．（2020?東城區(qū)二模）下面是“作一個(gè)45°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A．求作：∠A，使得∠A＝45°．作法：如圖，①作射線AB；②在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；③分別以A，C為圓心，大于12AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線OD交⊙O于點(diǎn)E④作射線AE．則∠EAB即為所求作的角．（1）使用直尺和圓規(guī)．補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠COE＝90°．∴∠EAB＝45°．（一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）【分析】（1）在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；分別以A，C為圓心，大于12AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線OD交⊙O于點(diǎn)E；作射線AE，則∠EAB（2）依據(jù)AD＝CD，AO＝CO，即可得到∠AOE＝∠COE＝90°，再根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半，即可得到∠EAB＝45°．【解析】（1）如圖所示，（2）證明：∵AD＝CD，AO＝CO，∴∠AOE＝∠COE＝90°，∴∠EAB＝45°（一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半）．故答案為：COE；90；45；一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半．32．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，將CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接AD交直線CP于點(diǎn)E，連接CD．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷△ACD的形狀，并證明；（3）連接BE，用等式表示線段AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．溫馨提示：在解決第（3）問(wèn)的過(guò)程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．解法1的主要思路：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝AB，連接EF，可證△ABE≌△CFE，再證△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，可證△ABM是等腰直角三角形，再證△ABC∽△AME．解法3的主要思路：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BE于點(diǎn)N，設(shè)BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．（2）結(jié)論：△ACD是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可．（3）結(jié)論：BC+BA=2BE．延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝AB，連接EF．證明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF【解析】（1）圖形如圖所示：（2）結(jié)論：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D關(guān)于CP對(duì)稱(chēng)，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）結(jié)論：BC+BA=2BE理由：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝AB，連接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=2BE∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA=2BE33．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過(guò)程．已知：⊙O和圓外一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線．作法：①連接OP；②以O(shè)P為直徑作OM，交⊙O于點(diǎn)A，B；③作直線PA，PB；所以直線PA，PB為⊙O的切線．根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程，完成下面的證明．證明：連接OA，OB．∵OP為OM的直徑，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB為⊙O的切線（過(guò)半徑的外端垂直半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角解決問(wèn)題即可．【解答】證明：連接OA，OB．∵OP為OM的直徑，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB為⊙O的切線（過(guò)半徑的外端垂直半徑的直線是圓的切線）．故答案為：OBP，90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，OB，過(guò)半徑的外端垂直半徑的直線是圓的切線．34．（2020?海淀區(qū)二模）下面是小王同學(xué)“過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l外取一點(diǎn)A，作射線AP與直線l交于點(diǎn)B，②以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧與直線l交于點(diǎn)C，連接AC，③以A為圓心，AP為半徑畫(huà)弧與線段AC交于點(diǎn)Q，則直線PQ即為所求．根據(jù)小王設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，（等邊對(duì)等角）（填推理的依據(jù)）．∵AP＝PQ，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）．即PQ∥l．【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；（2）分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定求解可得．【解析】（1）如圖所示，直線PQ即為所求．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等邊對(duì)等角），∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行），即PQ∥l．故答案為：等邊對(duì)等角；AQ；同位角相等，兩直線平行．35．（2020?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法作出這兩條直線所成角的角平分線？小明的做法是：（1）如圖2，畫(huà)PC∥a；（2）以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；（3）連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B；請(qǐng)你先完成下面的證明，然后完成第（4）步作圖：∵PC∥a，∴∠1