2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí) 計(jì)數(shù)原理與排列、組合

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理與排列、組合01知識(shí)體系02考情回顧03課前自學(xué)目錄04課堂導(dǎo)學(xué)【單元概述】本單元學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算、概率的基本性

質(zhì)、事件的相互獨(dú)立性、條件概率及全概率公式，還學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的

分布列和數(shù)字特征，并重點(diǎn)研究了三種概率分布，解決了一些簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)

測(cè)2023第13題排列組合第21題全概率公式與數(shù)學(xué)期望第3題排列組合第12題獨(dú)立事件及互斥事件的概率第19題概率應(yīng)用四

省第3題古典概型第13題正態(tài)分布第20題

超幾何分布1.重點(diǎn)：計(jì)

數(shù)原理與隨機(jī)事件的概率.2.熱點(diǎn)：概

率分布列與數(shù)學(xué)期望.3.關(guān)注點(diǎn)：應(yīng)用概率

解決實(shí)際問(wèn)題.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)

測(cè)2022第5題古典概型第13題二項(xiàng)式定理第20題條件概率第5題排列組合第13題正態(tài)分布第19題互斥事件的概率與條件概率1.重點(diǎn)：計(jì)

數(shù)原理與隨機(jī)事件的概率.2.熱點(diǎn)：概

率分布列與數(shù)學(xué)期望.3.關(guān)注點(diǎn)：應(yīng)用概率解決實(shí)際問(wèn)題.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)

測(cè)年份2021第8題事件的獨(dú)立性第18題離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與決策第6題正態(tài)分布第21題概率分布列與數(shù)學(xué)期望八

省第2題古典概型第6題二項(xiàng)式定理第16題正態(tài)分布第19題概率分布與數(shù)學(xué)期望1.重點(diǎn)：計(jì)

數(shù)原理與隨機(jī)事件的概率.2.熱點(diǎn)：概

率分布列與數(shù)學(xué)期望.3.關(guān)注點(diǎn)：應(yīng)用概率解決實(shí)際問(wèn)題.2020第3題排列組合第19題古典概型第6題排列組合第19題古典概型山

東第4題二項(xiàng)式定理第13題排列組合【課時(shí)目標(biāo)】理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能正確區(qū)

分“分類(lèi)”和“分步”，并能利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

題；理解排列、組合的概念，掌握排列數(shù)、組合數(shù)公式，并能利用公式

解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【考情概述】計(jì)數(shù)原理與排列、組合是新高考考查的內(nèi)容之一，常以

選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中頻考點(diǎn)，難度中等偏下.

知識(shí)梳理1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案

中有

m

種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有

n

種不同的方法，那么完成這

件事共有

N

＝

種不同的方法.（2）

分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有

m

種不

同的方法，做第2步有

n

種不同的方法，那么完成這件事共有

N

＝

?

種不同的方法.m

＋

n

m

×

n

2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類(lèi)完成，類(lèi)類(lèi)相加分步完成，步步相乘每類(lèi)方案中的每一種方法都

能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件

事（每步中的一種方法不能

獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類(lèi)類(lèi)獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可3.排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從

n

個(gè)不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）個(gè)元素按照

?排成一

列組合作為一組一定的順序4.排列數(shù)與組合數(shù)（1）

排列數(shù)：從

n

個(gè)不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）個(gè)元素的所有

?

的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.

（2）

組合數(shù)：從

n

個(gè)不同元素中取出

m

（

m

≤

n

）個(gè)元素的所有

?

的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.5.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式性質(zhì)不

同排列

不

同組合

n

（

n

－1）（

n

－2）…（

n

－

m

＋1）

1

n

！

常用結(jié)論1.解決排列、組合問(wèn)題的十種技巧：（1）

特殊元素優(yōu)先安排；（2）

合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步；（3）

排列、組合混合問(wèn)題要先選后排；（4）

相鄰問(wèn)題捆綁處理；（5）

不相鄰問(wèn)題插空處理；（6）

定序問(wèn)題倍縮法處理；（7）

分排問(wèn)題直排處理；（8）

“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；（9）

相同元素的問(wèn)題用隔板法；（10）

正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

?√??2.（RA選三P5例3改編）某同學(xué)逛書(shū)店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書(shū)，決定至少

購(gòu)買(mǎi)其中的1本，則不同的購(gòu)買(mǎi)方案共有（

C

）A.3種B.6種C.7種D.9種3.（多選）（RA選三P27習(xí)題6.2第13題改編）甲、乙、丙、丁、戊五人

并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（

ABC

）A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B.若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法共有72種D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有30種CABC

5

考點(diǎn)一

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考向1

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例1（1）

個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有

個(gè).解：由題意知，十位上的數(shù)字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8

類(lèi)，在每一類(lèi)中符合題意的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3

個(gè)，2個(gè)，1個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6

＋5＋4＋3＋2＋1＝36（個(gè)）.36

（2）

如圖，一只螞蟻從點(diǎn)

A

到點(diǎn)

O

有

?種不同的走法（不重復(fù)過(guò)任

何一點(diǎn)）.5

解：分3類(lèi)：第一類(lèi)，由點(diǎn)

A

直接到點(diǎn)

O

，有1種走法；第二類(lèi)，中間經(jīng)

過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有

A

→

B

→

O

，

A

→

C

→

O

，共2種走法；第三類(lèi)，中間經(jīng)

過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有

A

→

B

→

C

→

O

，

A

→

C

→

B

→

O

，共2種走法.由分類(lèi)加

法計(jì)數(shù)原理可知，共有1＋2＋2＝5（種）不同的走法.1.個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)且小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有

個(gè).解：由題意知，個(gè)位上的數(shù)字可以是0，2，4，6，8，共5類(lèi)，在每一類(lèi)

中符合題意的兩位數(shù)分別有9個(gè)，7個(gè)，5個(gè)，3個(gè)，1個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)

原理可知，符合題意的兩位數(shù)共有9＋7＋5＋3＋1＝25（個(gè)）.

25

[變式演練]總結(jié)提煉

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）

應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置，根據(jù)題目特點(diǎn)

恰當(dāng)選擇一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).（2）

分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并

且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，也不能遺

漏.1.某班級(jí)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，在不透明的卡箱中有

“?！薄坝薄按骸笨ǜ?張，“龍”卡3張，這些卡片除卡片內(nèi)容外都

相同.每位學(xué)生從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡，其中抽到“龍”卡獲得2分，

抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“龍”“迎”“春”4張卡，則額

外獲得2分.（1）

學(xué)生甲最終獲得5分的不同的抽法種數(shù)是

?；

36

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]（2）

學(xué)生乙最終獲得7分的不同的抽法種數(shù)是

?.

30

考向2

分步乘法計(jì)數(shù)原理例2（1）

某學(xué)校的3個(gè)班級(jí)將要去甲、乙、丙、丁4個(gè)工廠參觀學(xué)

習(xí)，要求每個(gè)班只能去1個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，且甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)

習(xí)，則不同的參觀方案有

種.解：每個(gè)班級(jí)都可以從這4個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有4種情況，根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有43＝64（種）情況.若甲工廠沒(méi)有班級(jí)參

觀學(xué)習(xí)，此時(shí)每個(gè)班級(jí)都可以從其余3個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有3

種情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有33＝27（種）情況.因?yàn)榧坠?/p>

廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，所以不同的參觀方案有64－27＝37（種）.37

（2）

人們習(xí)慣把最后一位是6的多位數(shù)叫做“吉祥數(shù)”，則無(wú)重復(fù)數(shù)

字的四位“吉祥數(shù)”（首位不能是零）共有

個(gè).解：第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的情況；第二步，確定

百位，除去6和千位數(shù)字，有8種不同的情況；第三步，確定十位，除去

6和千位、百位上的數(shù)字，有7種不同的情況.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可

知，無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位“吉祥數(shù)”（首位不能是零）共有8×8×7＝448

（個(gè)）.

448

總結(jié)提煉

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）

明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾

個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.（2）

將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，每個(gè)步驟之間有一定的連續(xù)

性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整件事才算完成.2.正整數(shù)240的正約數(shù)有

個(gè).解：因?yàn)?40＝24×3×5，所以240的正約數(shù)為2

i

3

j

5

k

，

i

＝0，1，2，3，

4；

j

＝0，1；

k

＝0，1.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，240的正約數(shù)有

5×2×2＝20（個(gè)）.3.回文是一種修辭手法，數(shù)學(xué)中的回文數(shù)是指從左到右讀和從右到左讀

都一樣的正整數(shù)，例如132231，則五位數(shù)中的回文數(shù)共有

個(gè).解：萬(wàn)位有9種選擇，千位和百位各有10種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理

可知，五位數(shù)中的回文數(shù)共有9×10×10＝900（個(gè)）.20

900

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]考向3

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3

（1）

現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖所示的A，B，C，D四個(gè)不同

區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的

涂法的種數(shù)是（

D

）A.120B.140C.240D.260D解：由題意，先涂A區(qū)域，共有5種涂法，再涂B區(qū)域，有4種涂法，然

后涂C區(qū)域.若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色相同，則C區(qū)域共有1種涂法，D

區(qū)域有4種涂法；若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色不同，則C區(qū)域有3種涂

法，D區(qū)域有3種涂法.所以不同的涂法種數(shù)是5×4×（1×4＋3×3）＝

260.（2）

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱(chēng)這條直線與這個(gè)平面構(gòu)成

一個(gè)“平行線面組”.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與由四

個(gè)頂點(diǎn)確定的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是（

B

）A.60B.48C.36D.24B（3）

用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字可以組成

?個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)

字的四位偶數(shù)（用數(shù)字作答）.420

總結(jié)提煉

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的一般思路（1）

弄清完成一件事需要做什么.（2）

確定是先分類(lèi)后分步，還是先分步后分類(lèi).（3）

弄清分類(lèi)、分步的標(biāo)準(zhǔn)是什么.（4）

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]4.如圖，準(zhǔn)備用4種不同的顏色給A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求每個(gè)區(qū)域用一種顏色涂色，且相鄰區(qū)域（有公共邊的）所涂顏色不能相同，則不同的涂色方法共有（

C

）CA.96種B.114種C.168種D.240種解：先涂E區(qū)域，有4種涂色方法，再涂C區(qū)域，有3種涂色方法，然后

涂D區(qū)域，有2種涂色方法.若A區(qū)域與D區(qū)域所涂顏色相同，則A區(qū)域有

1種涂色方法，B區(qū)域有3種涂色方法；若A區(qū)域與D區(qū)域所涂顏色不相

同，則A區(qū)域有2種涂色方法，B區(qū)域有2種涂色方法.所以不同的涂色方

法共有4×3×2×（1×3＋2×2）＝168（種）.5.某校安排高三年級(jí)5個(gè)班[包括高三（1）班]去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)

教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)

班，則高三（1）班被安排到A基地的排法共有

種.

60

考點(diǎn)二

排列與組合問(wèn)題考向1

排列問(wèn)題例4（1）

（多選）17名同學(xué)站成兩排，前排7人，后排10人，則不同

站法的種數(shù)為（

BD

）BD

（2）

用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，共可以組成

個(gè)比20000大，

且百位數(shù)字不是3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

78

總結(jié)提煉

對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法和元素分

析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有

限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題可以采用

間接法.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]6.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬于9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，此次火炬?zhèn)鬟f以

“和合臺(tái)州，活力城市”為主題，路線全程約8公里.從和合公園出發(fā)，

途經(jīng)臺(tái)州市圖書(shū)館、臺(tái)州市文化館、臺(tái)州市體育中心等地標(biāo)建筑.某段

線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不

從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

C

）A.288種B.360種C.480種D.504種

C7.用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足以下條件的沒(méi)有

重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（1）

比21034大的偶數(shù)；

（2）

千位、十位上的數(shù)是奇數(shù)的偶數(shù).

考向2

組合問(wèn)題例5（1）

某公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙

二人不能全部裁去，則不同的裁員方案共有

種.

182

（2）

從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入

選，則共有

種不同的選法.

16

2.從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng).（1）

共有多少種不同的選擇方法？

（2）

如果至少有1位女生入選，且選出的這3位學(xué)生，分別去3個(gè)不同

地方進(jìn)行宣傳，共有多少種不同的安排方法？

[變式演練]總結(jié)提煉

求解含有附加條件的組合問(wèn)題的方法（1）

“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含有”，則

先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含有”，則先將這些

元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.（2）

“最少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必

須十分重視“最少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)或漏

解.用直接法或間接法都可以求解，用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，可用間接法

求解.8.（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修

課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，

則不同的選課方案共有

種（用數(shù)字作答）.

64

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]考向3

分組、分配問(wèn)題例6（1）

現(xiàn)有6名師范生要平均分到3所學(xué)校去實(shí)習(xí)，共有

?種

不同的分派方法.

90

（2）

有4名本科生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所大學(xué)讀

研，若每所大學(xué)至少去一名本科生，則不同的保送方案共有

種.

36

（3）

將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑和冰壺3個(gè)項(xiàng)

目上進(jìn)行培訓(xùn).若每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目上，且每個(gè)項(xiàng)目上至少分

配1名志愿者，則不同的分配方案共有

種.150

3.某學(xué)校的甲、乙、丙、丁四名優(yōu)秀的同學(xué)獲得了保送到A，B，C這3

所大學(xué)的機(jī)會(huì).若每所大學(xué)至少保送1人，且甲同學(xué)要求不去A大學(xué)，則

不同的保送方案共有（

A

）A.24種B.36種C.48種D.64種

A[變式演練]9.將6名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)

項(xiàng)目上進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目上，每個(gè)項(xiàng)目上至少分

配1名志愿者，且志愿者甲不分配到冰球項(xiàng)目上，則不同的分配方案共

有（

C

）A.360種B.810種C.1170種