橢圓的常見(jiàn)題型及解法(一)

橢圓的常見(jiàn)題型及其解法(一)橢圓是圓錐曲線的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，橢圓學(xué)習(xí)的好壞還直接影響后面的雙曲線與拋物線的學(xué)習(xí)，筆者在這里就橢圓常見(jiàn)題型作簡(jiǎn)要的探討，希望對(duì)學(xué)習(xí)橢圓的同學(xué)有所幫助.一、橢圓的焦半徑橢圓上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的長(zhǎng)稱為此曲線上該點(diǎn)的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的一些問(wèn)題時(shí)，用焦半徑公式解題可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。1.公式的推導(dǎo)設(shè)P〔，〕是橢圓上的任意一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓，求證，。證法1：。因?yàn)?，所以∴又因?yàn)?，所以∴，證法2：設(shè)P到左、右準(zhǔn)線的距離分別為，由橢圓的第二定義知，又，所以，而?！?，。2.公式的應(yīng)用例1橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)A〔〕、B〔〕、C〔〕到焦點(diǎn)F〔4，0〕的距離成等差數(shù)列，那么.解：在橢圓中，右準(zhǔn)線方程為，設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離為，那么、、。∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列。∴，即，。例2.是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值。解：設(shè)，那么在橢圓上，，的最大值為4，最小值為1.變式練習(xí)1：.求過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，傾斜角為的弦AB的長(zhǎng)度。解：由可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，那么，從而變式練習(xí)2.設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，求證：以〔或〕為直徑的圓C與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切。證明：設(shè)，圓C的半徑為r即也就是說(shuō)：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內(nèi)切同理可證以為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切。3.橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左、右焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是上、下焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔3〕；〔4〕。證明：〔1〕設(shè)P在x軸上的射影為Q，當(dāng)不大于90°時(shí)，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式〔1〕得。消去后，化簡(jiǎn)即得〔1〕。而當(dāng)大于90°時(shí)，在三角形PEQ中，有，以下與上述相同?！?〕、〔3〕、〔4〕的證明與〔1〕相仿，從略。4.變式的應(yīng)用對(duì)于橢圓的一些問(wèn)題，應(yīng)用這幾個(gè)推論便可容易求解。例1.〔2005年全國(guó)高考題〕P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左右焦點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線恰好通過(guò)焦點(diǎn)F，假設(shè)三角形PEF是等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是___________。解：因?yàn)镻F⊥EF，所以由〔2〕式得。再由題意得＋。注意到。例2.P是橢圓上且位于x軸上方的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是左右焦點(diǎn)，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設(shè)PF的傾斜角為，那么：。因?yàn)閍＝10，b＝8，c＝6，由變式〔2〕得所以三角形PEF的面積變式訓(xùn)練1.經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)，求橢圓的離心率。解：由題意及變式〔2〕得化簡(jiǎn)得。變式訓(xùn)練2.設(shè)F是橢圓的上焦點(diǎn)，共線，共線，且＝0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設(shè)PF傾斜角為，那么由題意知PF⊥MF，所以MF傾斜角為90°＋α，而，由題意及〔3〕式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，＝。二橢圓的焦點(diǎn)弦設(shè)橢圓方程為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，此直線交橢圓于兩點(diǎn)，求焦點(diǎn)弦的長(zhǎng).例1、橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)作一直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)取什么值時(shí)，等于橢圓的短軸長(zhǎng)？分析：由題意可知是橢圓的焦點(diǎn)弦，且，，從而，故由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式及題設(shè)可得：，解得，即或。例2、在直角坐標(biāo)系中，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為F〔3，1〕，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為Y軸，直線通過(guò)點(diǎn)F，且傾斜角為，又直線被橢圓E截得的線段的長(zhǎng)度為，求橢圓E的方程。分析：由題意可設(shè)橢圓E的方程為，又橢圓E相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為Y軸，故有〔1〕，又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式有〔2〕又〔3〕。解由〔1〕、〔2〕、〔3〕聯(lián)列的方程組得：，，，從而所求橢圓E的方程為。變式訓(xùn)練1、橢圓C：〔〕，直線：被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的，求橢圓C的方程。分析：由題意可知直線過(guò)橢圓C的長(zhǎng)、短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，故有，〔1〕又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得=，〔2〕因=，得，〔3〕又