高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊第二章平面向量及其應(yīng)用綜合強(qiáng)化5

高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊第二章平面向量及其

應(yīng)用綜合強(qiáng)化5

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.吊,均為單位向量,且它們的夾角為45。,設(shè)2?滿足|￡+,|=￥石=不+盛&：￡1）,

則12-'的最小值為（）

A.夜B.也C.立D.逑

244

2.已知平面向量2,5滿足|吊=2,|5|=石,且因+（1-2”歷|（xwR）的最小值走,則

2

|￡+y5|（ywH）的最小值為（）

n

A.牛B.1C.2D.1或2

2

3.已知點(diǎn)P為圓（x-l『+（y-2『=1上動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量0%在向量W=（2,l）

方向上投影的最大值為（）

A.y[5B.逑+1C.正一1D.尤

555

4.已知平面向量￡石,工滿足：W=p|=l,b.e=0>p+e|+p-e|=4,則歸一囚+口的

最小值為（）

A.4—y/2B.4+-^2C.5+--D.5+>/3

2

__1_1—

5.已知點(diǎn)又是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^AM=-AB+-AC,則MBAf與小CM的

面積之比為（）

6.在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且|而|=1,|詼|=2,若

ABDC>0,貝麗的取值范圍是()

A.卓|]B.(1,|]C.(l+oo)D.[亭,+8)

二、多選題

7.下列命題中正確的是（）

A.不存在4個平面向量，兩兩不共線，其中任意兩個向量之和與其余兩個向量之和垂

直

B.設(shè)4、p2....匕是單位圓。上的任意"點(diǎn)，則在圓。上至少可以找到一點(diǎn)M,使

得阿卜幽+…+|阿2〃

C.任意四邊形ABC。中，M、N分別為A。、BC的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，0為平面

內(nèi)任意一點(diǎn)，則礪=!（歷i+而+反+而）

D.AABC中，點(diǎn)。為外心，以為垂心，則麗=3+而+。心

8.已知點(diǎn)。為“ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且“礪+3麗+c灰4c＞。），則下列選

項正確的是（）

A.若a=l,b=2,c=3,則4。=,4月+，4。

32

B.若〃=3,b=2,c=4,且|礪卜|礪|=|因=1,則O/A方=得

C.若直線A。過8c的中點(diǎn)，則a=b=c

D.S,AOB：S,AOC=b：C

第H卷（非選擇題）

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三、填空題

9.在AA8C中，ZBAC=60°,BC=3,。是BC上的點(diǎn)，A。平分Z&4C,若4）=2,

則AABC的面積為.

10.如圖，在AABC中，BD=DE=EC'AF=2FB'2AM=MD）直線正〃交AE于

點(diǎn)G,直線MC交AE于點(diǎn)、N,若△MNG是邊長為1的等邊三角形，則忌.而=

11.如圖，已知正方形A8C￡＞的邊長為1,￡在C。延長線上，S.DE=CD.動點(diǎn)尸從點(diǎn)

A出發(fā)沿正方形ABCD的邊按逆時針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，其中〃=2而+〃亞，

則下列命題正確的是.（填上所有正確命題的序號）

試卷第2頁，共4頁

D

E

@2>0，A>0；

②當(dāng)點(diǎn)尸為4。中點(diǎn)時，/l+〃=l；

③若義+〃=2,則點(diǎn)P有且只有一個；

④彳+〃的最大值為3；

⑤麗?屈的最大值為1.

12.已知邊長為2的正方形A8Q)邊上有兩點(diǎn)P、Q,滿足|PQ|N1,設(shè)。是正方形的中

心，則而?麗的取值范圍是.

四、解答題

cos8b—sinAb+c—廠-------人.八」?

13.在①一-=——，②一^——=——，③2s=-6B4.BC二個條件中任選

cosC2a+csinB-sinCa+c

一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且,作鉆_L4>,使得四邊形

AB8滿足NAC￡>=。，AD=g,求8c的取值范圍.

14.如圖，數(shù)軸工，卜的交點(diǎn)為。，夾角為。，與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是

由平面向量基本定理，對于平面內(nèi)的任一向量而，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得

OP=x^+y^,我們把(x,y)叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)(以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在

斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)).

y.

/ox

⑴若6=90。，而為單位向量，且而與1的夾角為120。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵若6=45。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,夜），求向量而與I的夾角.

15.如圖，等腰直角三角形地塊ABC,AB=AC=2km,為了美化環(huán)境，現(xiàn)對該地塊

進(jìn)行改造，計劃從BC的中點(diǎn)。引出兩條成45。角的射線，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,

將四邊形AED尸區(qū)域改造為人工湖，其余區(qū)域?yàn)椴莸?，設(shè)=

（2）求人工湖血尸的面積5（。）的取值范圍.

16.在平行四邊形ABCO中，AB=2,AD=\,ZDAB=^.若E、尸分別是邊8C、CD

上的點(diǎn).

（1）若E、/分別是邊BC、8的中點(diǎn)，AE與交于點(diǎn)0,用藍(lán)和晶）表示品）；

BFCF

（2）若E、/滿足奈=￡，求能.京的取值范圍.

oCCD

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.C

【分析】

建立直角坐標(biāo)系，求得向量入B的終點(diǎn)軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半

徑得到最小值得解

【詳解】

設(shè)OA=a，OB=b

以1的方向?yàn)檎较?，所在直線為*軸，垂直于1所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

?均為單位向量,且它們的夾角為45。，則［=(1,0),

,，ia+e21=>設(shè)A=(x,y)

滿足(x+J

8

b-et+ke2(keR),設(shè)8=(%>,%)

(x(),%)=(1A),故=1，

則函-而1=1麗I，則|￡-刈的最小值為圓。+孝)2+()，+￥)2="上的點(diǎn)到直線

%-%=1距離的最小值

,N/2

其最小值為F?_顯=顯

V1+T44

故選:C.

【點(diǎn)睛】

向量模長最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

2.D

【分析】

設(shè)/(x)=|xa+(\-2x)5F,a0=f，則/(%)=(16-旬/+(2r-12)x+3,由fix)的最小值為1,

4

得4x(16二旬：3二⑵-⑵-=[,且16-4f>0,解得f=0或f=3,然后分2種情況考慮

4x(16-旬4

|￡+防|(yeR)的最小值,即可得到本題答案.

【詳解】

答案第1頁，共19頁

設(shè)f(x)=|xa+(l-2x)b|2,a?B=t，

則/(x)=/?d+2x(1-2x)a?&+(1-2x)2b~

=4x2+2x(1-2x)t+3(1-4x+4x2)

=(16-40x2+(2r-12)x+3

因?yàn)閨+(1-2x)b\(xeR)的最小值B,

2

所以f(x)的最小值為二,

4

4x(16-4r)x3-(2r-12)23口，八

則一'一,，、/]、——-=-)且16-4>0,

4x(16-4Z)4

解得，=0或f=3,

當(dāng)，=0,即￡石=0時,

\a+yb\=y]4+2ya-b+3y2=也+3/>2,

所以|a+）石|（yeR）的最小值為2；

當(dāng)，=3,即a?力=3時,

a+yb[=^4+2ya-b+3y2=J3y」+6y+4=^3(y+1)2+1>1，

所以|￡+防|（丁￡氏）的最小值為1,

綜上，|￡+防|（yeR）的最小值為1或2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的模的計算與二次函數(shù)值域的綜合問題，考查學(xué)生的推理分析能力和計算

能力.

3.B

【分析】

設(shè)向量:所在直線為OA（A為向量的終點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)尸位于與直線OA垂直且與圓相切的直線

上時，投影取得最值，進(jìn)而求出最大值.

【詳解】

如圖所示，向量:所在直線為04（A為向量的終點(diǎn)），則心,=（，則設(shè)與直線OA垂直且與

u2

答案第2頁，共19頁

圓相切的直線為/：y=-2x+r,所以圓心到直線的距離d="^=lnf=4土石，

根據(jù)圖形可知，當(dāng)"4+追時投影最大，設(shè)此時/:y=-2x+4+有與直線0A交于8,

y=-2x+4+\[5

易得，直線04y=gx,聯(lián)立：，

1，解得：B

y=-x

2

所以|。例=(4+石)，|J+6J=竽+1,則向量協(xié)在向量1(2,1)方向上投影的最大值

為4石,

為+1.

5

故選：B.

4.A

【分析】

由歸+0+B-4=4可得問=2,由忖=忖=1,標(biāo)=0,可得忸-4=四，設(shè)5=歸-'+忖-@,

貝I」卜愀_6卜血，S2=2a+2-2a-(b+e)+2a-a-(b+e),從而可求出

其最小值

【詳解】

解：因?yàn)閗+0+,一4=4,

所以忖+31+2歸+而-4+卜：-"[=16,

所以2^+2+27-1=16,所以片=4，

所以同=2,

因?yàn)閃=R=I,b.e=o,所以BT=二,

答案第3頁，共19頁

i§S=|a-5|+|a-e|,則S>=>/2,

S2=2a+2-2a-(b+e)+2a'-a-(b+e),

當(dāng)￡-ZG+工）40時，S2=2（舍去）,

當(dāng)/_￡.G+工)>0時，52=18-4?.(h+^)>18-4|?||/；+e|=18-8>/2=(4-^)2,

所以口-閘+根-[的最小值為4-垃,

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用，考查向量的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

由已知條件得問=2,忸-4=后，令5=*q+歸一4,則

52=27+2-27⑦+工）+2,2-7G+3，然后化簡可求得結(jié)果，考查計算能力，屬于較難

題

5.C

【分析】

作出圖形，結(jié)合三點(diǎn)共線性質(zhì)可得，而=2通+（1-幾）/，同時設(shè)AG=fAM,聯(lián)立解出Zf,

進(jìn)而確定襄關(guān)系，同時滿足面=2而，進(jìn)而求出段關(guān)系，即可求解兩三角形面積之比.

GAGC

【詳解】

如圖，延長A"交BC于G,則而=之而+（1-4/，因?yàn)锳,M,G三點(diǎn)共線，所以

AG=tAM，即2通+（1-/1）撫而+：/],所以4=?,則故2=4且

\2J）1—Z￡1—X25

3

6―-.—,,—?3已士t、iBG2GM1..

t=7，又CG=>IC3，故CG=1C8,所以7^7:=彳，7^~=工，所以

r

j5GCJ0Ao

S--S-—x-S--S所以,SfBAM.=2

/Z,Z°^BMC

故答案為：C

答案第4頁，共19頁

6.A

【分析】

根據(jù)向量的加法可得2E戶=南+加，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得4|E5|2=AB+DC2+2ABDC，

由0〈通.覺力x2=2可得選項.

【詳解】

因?yàn)槎?=函+而+而，EF=El5+DC+CF>

又點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8C的中點(diǎn)，所以2￡/=油+”:,

又因?yàn)?<麗衣41x2=2,

所以4|西2=42+第+2福覺>4+]=5，

K41EF|2=AB2+DC2+2ABDC<4+l+2|AB||DC|=5+2xlx2=9，

所以4|而陛（5,9],即|函

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，求線段的長度的范圍，關(guān)鍵在于待求向量用已知向

量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決.

7.BCD

【分析】

對A：設(shè)0為正三角形ABC的內(nèi)心，P為內(nèi)切圓圓周上一點(diǎn)，（丙+麗）?（定+所）=0,

所以肉+而與1+所垂直，所以選項4錯誤；

對以取所+。月+…+Og.的反向延長線與單位圓的交點(diǎn)為M,貝IJ碗與

*+og+…+og共線同向時，有|西|+|麗卜…+忸凰

>n\Md\+\b^+OP：+---+dP^>n,所以選項B正確；

對C：因?yàn)榈Z+而+反+d=4礪+2帝+元后=4而，所以選項C正確：

對Q：作直徑BQ,連接AO,可得四邊形A”CQ為平行四邊形，所以

OH=OA+AH=OA+DC=OA+OC-OD=OA+OB+OC所以選項D正確.

【詳解】

解：對4如圖所示,O為正三角形ABC的內(nèi)心，P為內(nèi)切圓圓周上一點(diǎn)，滿足麗，麗，無，的

答案第5頁，共19頁

兩兩不共線，而（而+麗）.（定+而）=（而+方+所+而）（所+無+所）

=［2Pd+OA+OB］（2Pd+OC^=［2PO-OC^（2Pd+OC^=APO-OC=0,

所以麗+而與正+所垂直，所以選項A錯誤；

對B：如圖，當(dāng)〃=1時，|麗］=|而+西當(dāng)麗與0g共線同向時，

畫=函+網(wǎng)>|MO|=1；

當(dāng)“=2時，畫+|阿=麗+西卜甌+西卜卜被+（西+西］,

當(dāng)麗與西+圾共線同向時，有12而+（西+西）卜斗而|+|西+阿22；

同理，可取oR+0g+…+函的反向延長線與單位圓的交點(diǎn)為例，則該與

。升+怩+…+明共線同向時，有I礪］+|阿卜…+|麗I

=1麗+西卜函+西+…+即+阿卜,而+西+西+?.?+函I

="前可+|西+西+…+西卜〃，所以選項B正確；

對C：因?yàn)槲?礪+反+歷=（而+宓）+（礪+麗）+（礪+比）+（而+班）

=4OG+［GA+GB+GC+GD）=4OG+（GA++GD^+（GB+GC）

=4OG+2GM+2GN=4OG>

所以礪=L（礪+礪+反+。方），所以選項C正確；

4

答案第6頁，共19頁

D

對。：如圖，作直徑BD,連接AD,則A。，AB,又因?yàn)镠為三角形ABC的垂心，

所以C/714B,所以CH//4。，同理4“〃C￡）,所以四邊形A"C￡>為平行四邊形，

所以兩=西+就=8+配=礪+歷-礪=礪+而+云，所以選項D正確.

故選：BCD.

8.AB

【分析】

由3+2麗+3前=6，OB=OA+AB,反^^十衣即可判斷A；

將4詼=-6麗+2萬）兩邊平方可得冰麗的值，再結(jié)合而=而一次即可判斷B；

設(shè)BC的中點(diǎn)為Q,則亞=；（而+/）=-次+g而+g反再結(jié)合荷而即可得a,6,c

之間的關(guān)系可判斷C；取點(diǎn)A',8',C'使得麗=〃甌，OB,=hOB，OC=cOC，則點(diǎn)。為

ss

VAFC的重心，可得50雙，=S“A，OC，=S,A3,再利用三角形面積公式即可求不皿，產(chǎn)。

即可求得S,A08：S,AOC，即可判斷D,進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】

對于A：若a=l,b=2,C=3則7+2而+3反=6，因?yàn)榈Z=礪+而，

OC=OA+AC，代入可得3+2（礪+而）+3（方+砌=0即

6OA+2AB+3AC=0>所以6同=2通+3而可得A0=gA8+g/,

故選項A正確；

答案第7頁，共19頁

對于B：若。=3,b=2,c=4貝1」33+2而+4反=6，所以43c=-（3次+29）

所以16斤2=0麗+2。町，即16瓦2=9次+4而?+]2函.麗，

_.------1

所以16=9+4+120408，可得。4?。8=:，

4

所以反.A/j=~（3<9A+20B）（0B-bA）=卜3。/+2OB+OA.O月）

=-1-3+2+:=5,故選項B正確；

414）16

對于C：設(shè)8c的中點(diǎn)為D,則A￡j=g（A月+A6）=J（0分一。4+0乙一。4）

=-。4+3。4+：。3若直線40過8（：的中點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)女滿足而=人而，

^'AO=kx^-OA+^OB+^OC^=-kdA+^OB+^bC,

所以（1+4）。4一50月-1oC=6,所以a=Z+l,b=c=—5,所以不一定a=b=c,故選項

C不正確；

對于D：取點(diǎn)A,9,C使得冰=。詼，OB'=bOB，0C=c0C>則

OA+OB>+OC=6^所以點(diǎn)。為VA9C的重心，

因?yàn)橹匦?。到BC'中點(diǎn)的距離等于中線的g,所以重心。到8'C'的距離等于高線的g,可得

Sgc~§S&A方同理可得S/0C=§^^A,B'C?S/0g="S.AEC，

所以SAB,OC=S/oc，=SAAO*，

-OBOCsinZBOC

sOBOC」，同理可得:q1

所以pg2LA。。

OB：OCac

-0BfOCsinZBVCA'OC'

2

±S1

q

益,所以S“08：S4AOC=半-----=?=c：b,故選項D不正確;

SAA，OB，_Ls-

acc

故選：AB.

答案第8頁，共19頁

H

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)。為△A5C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且々西+2礪+c覺=6（〃/。＞0），則

S.BOC-SQAOC*SSOB=a：b:c.

9.延

2

【分析】

由正弦定理可得8。=一1、DC=—二，即有―二+一1=3,而%=冬=2&,

sinBsmCsm3smCsinesinB

nTWAB+AC=—ACAB,結(jié)合余弦定理求ACAB,再應(yīng)用三角形面積公式求AABC的

2

面積即可.

【詳解】

A

D

BDADDCAD5

???由正弦定理，si-sin8,sin?■sinC，即8￡>-.sin

sinB

66?

-AD.11一八八.

DC=-----sin--=-——,而3C=3

sinC6sinC

=3,

sinBsinC

?.?*="=J-=26,Hn12月12G

sinCsinBsinZBACsinCABsinBAC

.11G日n人D6

ACAB,

ACAB22

又由余弦定理知：AC2+AB2-2ACAB-cosZBAC=BC',

答案第9頁，共19頁

AAC2+AB2-ACAB^9,即(AC+AB)2-3ACAB=9,^X=ACAB,

-,.X2-4X-\2=0,即X=6(x=-2舍去)，

/.SAl!r=-AC-AB-sinZBAC=—.

we22

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正余弦定理，列方程求ACAB,根據(jù)三角形面積公式求面積.

10.-

5

【分析】

假設(shè)xb=/i京，首先根據(jù)向量共線求得AG=2AE，同理得AN=：AE，AG=2GN,最

—>—>4TTT2

后由于送=4而，MA=MG+wNG,從而計算MAMC=w即可.

【詳解】

ff271-

解：]^AG=AAE=-AAC+-AAB,

33

->1->1-2f-2T

^\AM=-AD=-AC+-AB,AF=-ABi

->->—>1T4T

所以FM=AM-AF=§AC-§A3,

FG=AG-AF=-^AC^\-A--\AB,

3U3)

因?yàn)榍皘|亦，所以=

2

得『，

f2T

所以AG=§AE.

->]fT4f

同理AN=—AE,所以AG=—GN.

25

T—TI'1—(1—2-12TI->

MN=AN-AM=-AC^--AB-\-AC+-AB\=-AC——AB9

36(99J918

->->->8f2f.

MC=AC-AM=-AC——AB=4MN,

99

-?->->->4

MA=MG+GA=MG+《NG,

->tt16ft82

所以MAA/C=MG+—NG\-4MN=4MN,MG+-MN-NG=2一―=-.

【點(diǎn)睛】

答案第10頁，共19頁

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的

加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論

表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

11.(D@④⑤

【分析】

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的有關(guān)問題，

即可逐一作出判斷.

【詳解】

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則見1,0),E(-l，l),

故而=(1,0),AE=(-1,1),市=2而+

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(x,y),則易得幾+〃=(/1-〃)+2〃=x+2y.

x=2-z/>0三

①由尸的運(yùn)行軌跡可知安…,所以.…，故①正確:

②當(dāng)點(diǎn)P為AO中點(diǎn)時，尸(0，；),%+〃=x+2y=l,,故②正確;

③由2+〃=2時x+2y=2,直線/：x+2y=2經(jīng)過。(0,1),與線段BC交于點(diǎn)］,萬

使得幾+〃=2的點(diǎn)有兩個，故③錯誤;

④4+〃=冗一〃+2〃=x+2y,顯然當(dāng)直線x+2y=2+〃平行移動,

經(jīng)過C(l,l)點(diǎn)時2+〃取得最大值3,故④正確.

答案第11頁，共19頁

(5)由于麗在正的方向上的投影在尸與。重合時取得最大值，

UUUlIILU/

此時福?通取得最大值，A￡>A￡-(O,1)?(-1,1)=1.故⑤正確.

12.[-2,1]

【分析】

先建立平面直角坐標(biāo)系，再分類討論求出各種情況下的麗?麗的范圍即可得到答案.

【詳解】

建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)P,。兩點(diǎn)在正方形的同一邊上時(含正方形的頂點(diǎn)).

0<x<l

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)Q(x1),P(y,D,由于IPQR1,所以滿足一14y40,

x-y>\

可得-14個40,

所以9?麗=孫+1引0,1]；

②當(dāng)P，。兩點(diǎn)在正方形的相鄰邊上時(含正方形的頂點(diǎn)).

根據(jù)對稱性,不妨設(shè)。(x,l),P(l,y),

所以。戶?OQ=x+y,

答案第12頁，共19頁

由于IPQI21,所以x,y滿足，-IWySl

(x-l)2+(y-l)2>l

當(dāng)2=》+丫與圓（％-1）2+（丫-1）2=1相切時，z有最大值22=（血-1）*忘=2-0,

所以這種情況下麗?麗=x+ye[-2,2->/^；

③當(dāng)P,。兩點(diǎn)在正方形的對邊上時（含正方形的頂點(diǎn)）.

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)。區(qū)

所以麗?詼=%七一1,由圖可知，-IS為SL-lAwSln-lWXiWSl，

所以麗衣—2,1].

答案第13頁，共19頁

綜上可知：[-2,1].

故答案為：[-2,1].

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是要分類討論，二是在每一種情況下要準(zhǔn)確地寫出變量的范圍

并求出每種情況下麗?麗取值范圍.

13.(0,2).

【分析】

根據(jù)題意，選擇①②③求得8==,設(shè)N8AC=。，則=在

326

△ACO中，由正弦定理求得AC=2sin(e+mTT),在△ABC中，由正弦定理求得可得

BC=-^sin(^+-)-sin0=—sin(2^--)+l,結(jié)合0<0<個和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

《36333

【詳解】

若選①：由學(xué)=-4一，根據(jù)正弦定理可得上空sinB

cosC2a+ccosC2sinA+sinC

即2sinAcosB+sinCeosB=—sinBcosC,

即2sinAcosB=-sinBcosC-sinCeosB=-sin(B+C)=-sinA,

可得cos3=—《，因?yàn)锳￡(0,〃)，所以5=4,

23

TT7T

設(shè)ZBAC=?,則NC4O=/—e,NCZM=e+e,

26

ACAD

在ZvlC。中，由正弦定理得

sinZADCsinZAC￡)

5/3-sin(^+^)

A。sin/ADCTT

可得AC==2sin(^+—),

sinZ.ACD

答案第14頁，共19頁

BC

在，蛇中，由正弦定理得布

sin19

7T

2sin(6+—)?sin。.

可得BC=A￡I誓-----------9---------=—r=sin(。+為?sin0

sinBsin軍66

3

sin8+gcos6)sin夕=sin26+/sinOcosff)

1-cos20.“、

-7=(2\/3sin2夕+2sin0cos0)=-----------+sm20)

v3

=-y=-(sin2^-\/3cos2^)+l=-^^sin(2<9-y)4-l,

因?yàn)閛veg可得—5<28-

當(dāng)=f時，即。=】，可得過"in工+1=2,

33333

當(dāng)2。-(=-5時，即6=0,可得竿sin(-f+1=0,

所以8c的取值范圍是(0,2).

3尸\.sinAh+c皿3ab+c

選②：由r.==?一，根據(jù)正弦定理可得'；一=--

sinn-sinCa+cb-ca+c

可得。2+。。=從,即+才一從二一4。，

人

z/22-ac

又由余弦定理，可得cosB;3二-

lac2ac2

因?yàn)锳e(0,萬)，所以B=,，

TTTT

設(shè)ZBAC=，，則NC4D=——a4CDA=9+一,

26

ACAD

在AC。中,由正弦定理得

sinZACZ)

［勾”ADsinZADC"sin(9+：)

可得AC=—.=-------------=2sm(9+-),

sinZACDsin—6

3

RC

在△ABC中，由正弦定理得「=一下

smBsin，

2sin(^+—)-sin0

ACsin。4

可得3C二~~-=^in(0+.sin'

sinB

sin—

3

答案第15頁，共19頁

sinO+gcos6)sin0=sin2g+；sin6cos0)

21-cos20.”、

-4=(2>/3sin9+2sin0cos0)=-----------+sin20)

v3

=-^-(sin2^-\/3cos2^)+l=-^y^sin(2^-y)4-l,

因?yàn)榭傻靡?<2。一?<5，

當(dāng)2。-￡=￡時，即。=1，可得氈sin工+1=2,

33333

當(dāng)2O-g=-g時，即6=0,可得述sin(-馬+1=0,

3333

所以3C的取值范圍是(0,2).

若選③：由2s=-6胡?灰;，可得2xgacsin3=-GaccosB,

即sinB=-\/3cosB,可得tanB=一百,

因?yàn)锳￡(04),所以

IT7T

設(shè)ZBAC=e,則NCAD=/一"/。。4=。+乙,

26

ACAD

在八4。。中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

y/3-sin(0+—)

—r/nA￡>sin/A℃

可得AC二---------------------------=2sin(6?+-),

sinNACOsi—6

3

ACBC

在△AHC中，由正弦定理得

sin8-sin。

美(sin2。-6cos26)+1=^^sin(2?-?)+l,

答案第16頁，共19頁

因?yàn)?<0<]，可得一(<2夕_?<?,

當(dāng)2，-￡=1時，即。=￡,可得與gsin^+l=2,

33333

當(dāng)2。一1=-1時，即6=0,可得型sin(-馬+1=0,

3333

所以BC的取值范圍是(0,2).

14.(1)(-1±^);(2)arccos^.

【分析】

(1)利用而與I的數(shù)量積及所為單位向量列出方程組，求解即得；

(2)類比平面向量的長度及夾角公式，計算向量而與I的夾角的余弦得解.

【詳解】

(1)6=90。時，坐標(biāo)系xO)，為平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則有O戶=(x,y),而[=(1,0),OPe[=x,

又加石=|。向?國<0$120，=一：，所以x=_J,又因|而|=Jf+y2=i,

解得y=±*，故點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(-；,土日)；

(2)依題意￡公夾角為45。，MG=|1|.|Wlcos45'=孝，O戶=1+&￡,

/.|OP1=1G+>/2.e21=J(%+?g)?=Jq+26.e、-e2+2e2=^/5，

OPq=10^1-1^|-cos?=75coscr,麗?冢=(1+&4)5=,"+&??；?2,

所以\/^cosa=2,cosa=2、叵，而二￡[0,4],故a=