初中人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《17.1勾股定理》

《17.1勾股定理》

?教材分析

IJ

本課從觀察網(wǎng)格中的正方形面積關(guān)系出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,

再通過(guò)觀察網(wǎng)格中以一般直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格中的一般直

角三角形也具有這種三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，從而提出猜想，直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊平方，介紹了趙爽的證明方法.學(xué)習(xí)應(yīng)用勾股定理進(jìn)行直角三角形的邊長(zhǎng)計(jì)算，解決一

些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.運(yùn)用勾股定理證明了直角三角形全等的HL判定定理,從中進(jìn)一步確認(rèn)，

一個(gè)直角三角形中，只要兩邊的大小確定，則這個(gè)三角形就形狀大小就確定了.運(yùn)用勾股定

理，通過(guò)作直角三角形，畫出了長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段，并學(xué)習(xí)在數(shù)軸上畫出無(wú)理數(shù)表示的點(diǎn)

的方法.

?教學(xué)目標(biāo)

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。

2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)與推理。

3.介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。

4.能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊之

間長(zhǎng)度的聯(lián)系，進(jìn)而求出未知邊長(zhǎng)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想.

5.通過(guò)勾股定理建立已知邊和未知邊之間的關(guān)系列出方程解決實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的方程

思想.

6.能用勾股定理證明直角三角形全等的“斜邊、直角邊”判定定理；

7.能應(yīng)用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)；

8.體會(huì)勾股定理在數(shù)學(xué)中的地位和作用.

?教學(xué)重難點(diǎn)

1.探索并證明勾股定理

2.如何利用或構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問(wèn)題

3.用勾股定理作出長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段

?課前準(zhǔn)備

課件，收集關(guān)于勾股定理的有關(guān)史料、趣事及其證明方法.

?教學(xué)過(guò)程

第一課時(shí)

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

1.國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議.2002年在北京召開了第24

屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),如圖就是大會(huì)的會(huì)徽的圖案.它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系.

本章我們將探索并證明勾股定理及其逆定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理去解決有關(guān)問(wèn)題.由此

可以加深對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí).

6

2.相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地

面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，我們也來(lái)觀察一下地面的圖案，看看能從中

發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？

二、新課講解：

1.探究勾股定理：

問(wèn)題1：下圖中三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？三個(gè)正方形中間的等腰直角三角形三邊

之間有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察組成小正方形和大正方形中等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)以等腰

直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形的面積.

即等腰直角三角形三邊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

【設(shè)計(jì)意圖】從等腰直角三角形入手，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系.結(jié)合畢達(dá)哥拉斯的傳說(shuō)故事，可

以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另外其中的圖案對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律也有一定的提示作用.

問(wèn)題2：下圖中，每個(gè)小方格的面積均為1,請(qǐng)分別算出圖中正方形A,B,C,A',B',C'

的面積，看看能得出什么結(jié)論.

學(xué)生求C和C'面積遇到困難時(shí)，可提示用某個(gè)正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面

積.

由SA=,SB=?Sc-,故SA+SIISC;

由S#—,SB'—,Sc"-,故SA'+SB-Sc'.

直角三角形三邊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)一般直角三角形的探究，也得到了相同的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)了勾股

定理.

問(wèn)題3：根據(jù)前面的例子，請(qǐng)對(duì)直角三角形的三邊關(guān)系，做出你的猜想：

命題1如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么￡+3=/

A

我國(guó)古人趙爽證法（趙爽弦圖），四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個(gè)大

正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形（黃色）.

B

趙爽證法：把邊長(zhǎng)為a,b的兩個(gè)正方形連在一起（圖1）,它的面積是a?+b2；另一方

面，這個(gè)圖形可分割成四個(gè)全等的直角三角形（紅色）和一個(gè)正方形（黃色）.把圖（1）中

左、右兩個(gè)三角形移到圖（2）所示的位置，它就形成了一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形，因?yàn)閳D

（1）與圖（2）都由四個(gè)全等的直角三角形（紅色）和一個(gè)正方形（黃色）組成，所以它們

的面積相等.因此，a2+b2=c2.

證明方法2：趙爽弦圖還可用面積法來(lái)證明勾股定理，首先以AB為邊的大正方形的面積

是C?,而這個(gè)大正方形又由直角邊為a,b的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為（b-a）的

小正方形組成，即面積為4X—ab+（b-a）2=a2+b2,故a?+b2=c2.

2

2.勾股定理的應(yīng)用:

練習(xí)1.求出圖中字母所代表的正方形的面積.

80

225

A24

144

練習(xí)2.如圖，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的

邊長(zhǎng)分別是12,16,9,12.

練習(xí)3.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.

三、課堂小結(jié):

1.如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩

直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方.

2.注意事項(xiàng):

(D注意勾股定理的使用條件：只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.

(2)注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯(cuò).

(3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中，已知任意兩邊長(zhǎng),可求第三邊長(zhǎng),即

c—y/a2+b~,b—V?-a2,a-Vc2-b2.

四、課堂擴(kuò)展：勾股定理的證明

2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣.不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本，還因?yàn)?/p>

這個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)踐.以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總裁都愿意探討、

研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).下面介紹幾種用來(lái)證明勾股定理的圖形，你能根據(jù)這些

圖形及提示證明勾股定理嗎？

1.傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法：

提示：兩個(gè)圖形中的正方形面積相等.

2.總統(tǒng)政法：

提示：3個(gè)三角形的面積之和=梯形的面積.

第二課時(shí)

一、知識(shí)回顧：

1.直角三角形性質(zhì):

如圖，在AABC中，已知NC=90°,則NA和NB的關(guān)系為：；a,b為

直角邊，c為斜邊，三邊關(guān)系為；a,b,c,h之間的關(guān)系式為。

A

2.已知在Rtz\ABC中，ZC=90",a、b、c是AABC的三邊，則

c=(已知a、b,求c)；a=(已知b、c,求a)；

b=(已知a、c,求b)

3.(1)在RtaABC,ZC=90°,a=3,b=4,則c=。

(2)在RtZkABC,ZC=90°,a=6,c=8,則b=。

(3)在RtZ\ABC,ZC=90°,b=12,c=13,貝Ua=。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)勾股定理，進(jìn)一步復(fù)習(xí)直角三角形中三邊關(guān)系，從而為后面研究

實(shí)際問(wèn)題提供知識(shí)保證。

二、新課講解：

問(wèn)題1：

例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為

什么？

分析：此題可看出，木板橫著或豎著都不能通過(guò)門框，只能試試斜著能否通過(guò).而門框

對(duì)角線AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，所以求出AC,再與木板的寬進(jìn)行比較，就將此

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知直角三角形的兩直角邊，求斜邊的問(wèn)題，利用勾股定理輕松求解.

實(shí)際問(wèn)題匚＞數(shù)學(xué)模型

解：在RtZ\ABC中，根據(jù)勾股定理,

AC2=AB2+BC2=l2+22=5.

AAC=V5?2.24.

???AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過(guò).

【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立幾何模型，畫出幾何圖形，分析已知量、待

求量，讓學(xué)生掌握解決實(shí)際問(wèn)題的一般套路.

練習(xí)1：如圖，一架2.6米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻A0上，這時(shí)A0為2.4米.

(1)求梯子的底端B距墻角0多少米？

(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？

解：可以看出，BD=0D-0B.

在RtZXAOB中，根據(jù)勾股定理，08=彳萬(wàn)二萬(wàn)不=收萍與不=1；

在RtZXCOD中，根據(jù)勾股定理，0D=J。］-OC?=J26—(2.4—0.5)2=13.15=1.77；

BD=OD-OB^1.77-1=0.77.

答：梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端外移約0.77m.

問(wèn)題2：

例2池塘中有一株荷花的莖長(zhǎng)為0A,無(wú)風(fēng)時(shí)露出水面部分CA=O.4米，如果把這株荷花旁邊

拉至使它的頂端A恰好到達(dá)池塘的水面B處，此時(shí)荷花頂端離原來(lái)位置的距離BC=1.2米，

求這顆荷花的莖長(zhǎng)0A.

解：如圖，已知AC=0.4m,BC=1.2m,Z0CB=90°

設(shè)OA=OB=x,則OC=OA-AC=(x-0.4)m

在RtAOBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=0B2

A(x-0.4)2+1.22=x2

解得，x=2

答：荷花的莖長(zhǎng)OA等于2m.

【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果不能直接用已知線段求待求線段時(shí)，應(yīng)想到

設(shè)未知數(shù)列方程，這里勾股定理是常用列方程的方法.

練習(xí)2：如圖，一棵樹被臺(tái)風(fēng)吹折斷后，樹頂端落在離底端3米處，測(cè)得折斷后長(zhǎng)的一截比

短的一截長(zhǎng)1米，你能計(jì)算樹折斷前的高度嗎？

根據(jù)題意畫出圖形，已知/ACB=90°,AC=3,AB-BC=1.

設(shè)BC=x,則AB=BC+l=x+l.

在RtZXABC中，根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2

A32+x2=(x+l)2

解得，x=4.

AB+BC=3+5=8m.

答：樹折斷前的高度為8m.

【點(diǎn)撥】此題中能將實(shí)際問(wèn)題的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

問(wèn)題3：

例3科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，

到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60。方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向

行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C,小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B,C兩地的距離.

在RtZiABD中，VZBAD=60°,

/.ZABD=90°-ZBAD=30°,

1

AD=—AB=2km.

2

BD=JAB2-AD2=2V3km.

在RtZ\BCD中，VZDBC=45",

.,.CD=BD=2-V3km.

BC=V-CD2-2A/6km.

答：B,C兩地的距離為2j^km.

練習(xí)3：如圖所示，兩艘貨船分別從點(diǎn)A出發(fā)離開碼頭，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東

60。的方向行駛，乙船以12海里/時(shí)的速度向南偏東30。的方向行駛，若兩船同時(shí)出發(fā)，2

小時(shí)后兩船相距多遠(yuǎn)？

解：

根據(jù)題意可得NBAC=90o,根=16x2=32海里,AC=12x2=24海里,

根據(jù)勾股定理可得

BC=ylABP+AC2=A/322+242=40.

...2小時(shí)后兩船相距40海里.

問(wèn)題4：如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計(jì)劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即

線段AC）,經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)的中心P在A城市的北偏東60°方向上，在線段AC上距A

城市120km的B處測(cè)得P在北偏東30°方向上，已知森林保護(hù)區(qū)是以點(diǎn)P為圓心，100km

為半徑的圓形區(qū)域，請(qǐng)問(wèn)計(jì)劃修建的這條高速公路是否穿越保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)6

31.73）

【分析】此題中，過(guò)P點(diǎn)作AB的垂線，由垂線段最短可知，P點(diǎn)是直線AB上所有點(diǎn)的連線

中DP最短，也就是公路上D點(diǎn)離P最近，如果此時(shí)DP<100km,則D點(diǎn)在保護(hù)區(qū)內(nèi)，即公

路穿越了保護(hù)區(qū)；反之，則不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).

解：公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)，理由如下：

過(guò)P作PD1AC于D,

在RtaBDP中,VZPBD=60°,

AZBPD=900-ZPBD=30°,

.,.PB=2BD,

設(shè)BD=x,則PB=2x,

PD=dBP?-BD?=73x.

VZPBD=ZA+ZAPB,

AZAPB=ZPBD-ZA=30°,

.*.ZA=ZAPB,

；.PB=AB=120km,

.*.2x=120

解得，x=60.

PD=V3x=6073^103.8km>100km.

，這條公路不會(huì)穿過(guò)保護(hù)區(qū).

練習(xí)4：如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車41米處（圖中B點(diǎn)位

置）就會(huì)受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車，給這幢居民樓帶來(lái)

多長(zhǎng)時(shí)間的噪音影響？若影響時(shí)間超過(guò)25秒，則此路禁止該車通行，那么載重汽車可以在

這條路上通行嗎？

過(guò)點(diǎn)A作AC±BD于點(diǎn)C,

???由題意得AC=9,AB=AD=41,AC±BD,

RtAACB中，BC=,412一92=4()01,

VAB=AD,AC1BI),

；.BD=2BC=80m,

.*.804-4=20(s),

受影響時(shí)間為20s；

V20<25,

；?可以通行.

三、課堂小結(jié)：

1.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即畫出幾何圖形，明確已知

和未知，借助直角三角形勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.

2.有時(shí)需要先構(gòu)造直角三角形，通過(guò)作垂線化非直角三角形為直角三角形來(lái)解決問(wèn)

題.

第三課時(shí)

一、利用勾股定理證明“斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”？

問(wèn)題1:在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過(guò)畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等

的兩個(gè)直角三角形全等.學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？

已知：如圖，在RtZ\ABC和RtZkA'8'C'中，NC=/C'=90°,AB=A'B',AC=AC'.

求證：AABC絲△A'3'C'.

證明：在RtaABC和m△A'B'C'中，NC=NC'=90°,根據(jù)勾股定理，得

BCujG-AC5,B'C'^yjAB,2-AC'2.

又；AB=A⑻，AC=A'C',

：.BC=B'C'.

.,.△ABC絲△A'B'C'(SSS).

【反思】勾股定理是直角三角形三邊的一種特殊的數(shù)量關(guān)系，利用這一關(guān)系確定任意兩邊，

第三邊的長(zhǎng)度也隨之確定.

二、利用勾股定理畫出一條線段等于已知長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段？

問(wèn)題2：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表

示"5的點(diǎn)嗎？

【分析】我們知道長(zhǎng)為血的線段是兩條直角邊的長(zhǎng)都為1的直角三角形的斜邊，類似的長(zhǎng)

為小的線段能夠也構(gòu)造一個(gè)直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？

解：以直角邊長(zhǎng)為2,3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為"5,由此在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A,過(guò)

A點(diǎn)作直線垂直于0A,并在垂線上截取AB=2,以原點(diǎn)0為圓心，0B為半徑作弧，弧與數(shù)軸

交在原點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)C處，點(diǎn)C即為表示舊的點(diǎn).如下圖所示：

\加

/小

/:\

/11

0123

【拓展】

(1)類似地，利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為“，72,、回，"，石???的點(diǎn),

如下圖：

/：、???：*/.：'：：\

/孝肝胃\%

：\：：：?：；

??????:?：：??：：：：：：.

而獷/ijjTj/iiQjGi■J---->

0123

(2)我們也可以用下圖中的方式構(gòu)造線段J5,V3,V4,亞…,如下圖:

練習(xí)1:在數(shù)軸上畫出表示壞的點(diǎn).

【點(diǎn)撥】作一條長(zhǎng)度等于無(wú)理數(shù)的線段的方法不唯一，如石，除了上題中構(gòu)造直角邊為1,2

的直角三角形，也可以借助直角邊為拉，、回的直角三角形得到，我們一般盡量利用直角

邊為整數(shù)的直角三角形作出.

練習(xí)2：在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)皆為1.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格上畫出長(zhǎng)度分

別為V