2023年上海進才中學(xué)高一下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

試卷PAGE1試卷上海市進才中學(xué)2022學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級數(shù)學(xué)試題命（時間90分鐘，滿分100分）一、填空題（滿分36分，共12小題，每小題3分）1.與反向的單位向量為__________．2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．3.設(shè)，是不共線向量，與共線，則實數(shù)為__________．4.已知，，則______.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.6.已知，且，則實數(shù)______．7.已知單位向量，滿足，則______．8.已知向量，則在方向上數(shù)量投影為___________9.如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.10.如圖，中，，，CD與BE交于F，設(shè)，，，則__________．11.如圖，函數(shù)的圖象與坐標軸交于點，，，直線交的圖象于點，坐標原點為的重心三條邊中線的交點，其中，則__________．12.在斜三角形△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，的最小值為____________二、選擇題（本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個正確答案）13.設(shè)，是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A.若|＋|＝||－||，則⊥B.若⊥，則|＋|＝||－||C.若|＋|＝||－||，則存在實數(shù)λ，使得＝λD.若存在實數(shù)λ，使得＝λ，則|＋|＝||－||14.已知和都是銳角，向量，，則（）A.存在和，使得 B.存在和，使得C.存在和，使得 D.存在和，使得15.已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，且直線與函數(shù)的圖象的兩個交點之間的最短距離為，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（）A.的最小正周期為B.單調(diào)遞減區(qū)間是，C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)16.有下面兩個命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說法中正確的是（）．A.①②都正確 B.①正確②錯誤 C.①錯誤②正確 D.①②都錯誤三、解答題（本大題共5題，滿分48分，解答要有論證過程與運算步驟）17.已知A，B，C三點的坐標分別為，，，是否存在實數(shù)m，使得A，B，C三點能構(gòu)成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，請說明理由．18.已知向量，，．（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，求實數(shù)m的范圍；（2）若，且，求向量與的夾角大?。?9.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個地點送餐.已知，，，且，.（1）求的長度.（2）假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時間.20.如圖，梯形，，，，為中點，．（1）當(dāng)時，用向量表示的向量；（2）若為大于零常數(shù)），求的最小值，并指出相應(yīng)的實數(shù)的值．21.已知函數(shù)是定在上函數(shù)，且滿足關(guān)系．（1）若，若，求的值域；（2）若，存在，對任意，有恒成立，求的最小值；（3）若，要使得在內(nèi)恰有2022個零點，請求出所有滿足條件的與．

上海市進才中學(xué)2022學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級數(shù)學(xué)試題命（時間90分鐘，滿分100分）一、填空題（滿分36分，共12小題，每小題3分）1.與反向的單位向量為__________．【答案】【解析】【分析】反向單位向量即為，代入即可.【詳解】與反向的單位向量為.故答案為：.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】（）【解析】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）故答案為：（）3.設(shè)，是不共線向量，與共線，則實數(shù)為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量平行列出方程組，求出實數(shù)的值.【詳解】因為，是不共線向量，與共線，所以存實數(shù)使得，所以，解得：.故答案為：4.已知，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，即，所以，故答案為：.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為；所以由可得x∈所以函數(shù)的遞減區(qū)間為．考點：三角函數(shù)的性質(zhì).6.已知，且，則實數(shù)______．【答案】##-0.2【解析】【分析】利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：7.已知單位向量，滿足，則______．【答案】##0.2【解析】【分析】由向量垂直及向量數(shù)量積的運算律、數(shù)量積的定義列方程求夾角余弦值即可.【詳解】由題意，解得．故答案為：8.已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量投影的定義計算即可【詳解】向量，，，所以在方向上的數(shù)量投影為；故答案為：9.如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【解析】【分析】利用向量線性運算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】因為，所以，所以，即，故答案為：-310.如圖，中，，，CD與BE交于F，設(shè)，，，則為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)平面向量基本定理，將用已知向量，表示出來，列出方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)，，同理設(shè)，，根據(jù)平面向量基本定理，得，解得，，故答案為：11.如圖，函數(shù)的圖象與坐標軸交于點，，，直線交的圖象于點，坐標原點為的重心三條邊中線的交點，其中，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】因為O為的重心，且，可得，解得，所以，所以，所以，所以，解得，可得，由，即，可得，解得，又由，所以，所以，于是，所以..故答案為：.12.在斜三角形△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，的最小值為____________【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系和基本不等式即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，又因為，所以，整理可得，因為，所以，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值，故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個正確答案）13.設(shè)，是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A.若|＋|＝||－||，則⊥B.若⊥，則|＋|＝||－||C.若|＋|＝||－||，則存在實數(shù)λ，使得＝λD.若存在實數(shù)λ，使得＝λ，則|＋|＝||－||【答案】C【解析】【詳解】利用排除法可得選項C是正確的，∵|＋|＝||－||，則，共線，即存在實數(shù)λ，使得＝λ．如選項A：|＋|＝||－||時，，可為異向的共線向量；選項B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；選項D：若存在實數(shù)λ，使得＝λ，，可為同向的共線向量，此時顯然|＋|＝||－||不成立14.已知和都是銳角，向量，，則（）A.存在和，使得 B.存在和，使得C.存在和，使得 D.存在和，使得【答案】B【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及和角公式得到，即可判斷A、C，當(dāng)時可以判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷D.【詳解】因為和都是銳角，所以，又，，所以，，，因為，所以，故，因此A和C錯誤；當(dāng)時，，即，所以B正確；，所以D錯誤；故選：B.15.已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，且直線與函數(shù)的圖象的兩個交點之間的最短距離為，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間是，C.的圖象關(guān)于直線對稱D.圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項進行檢驗即可求解.【詳解】由題知直線與函數(shù)的交點之間的最短距離為，所以，故A正確；所以，所以，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，，又因為，所以當(dāng)時，，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故B正確；因為，故C錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確．故選:C．16.有下面兩個命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說法中正確的是（）．A.①②都正確 B.①正確②錯誤 C.①錯誤②正確 D.①②都錯誤【答案】B【解析】【分析】由周期函數(shù)的定義判斷兩個命題即可.【詳解】若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，則也是周期函數(shù)，故①正確；若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，不一定成立，故②錯誤.故選：B.三、解答題（本大題共5題，滿分48分，解答要有論證過程與運算步驟）17.已知A，B，C三點的坐標分別為，，，是否存在實數(shù)m，使得A，B，C三點能構(gòu)成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，請說明理由．【答案】存在；m的取值集合為．【解析】【分析】假設(shè)存在，再通過分類討論以及利用平面向量處理垂直問題進行求解.【詳解】存在實數(shù)m，理由如下：由題意，得，，．若A為直角，則，得．若B為直角，則，得．若C為直角，則，，所以方程無解．故m的取值集合為．18.已知向量，，．（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，求實數(shù)m的范圍；（2）若，且，求向量與的夾角大小．【答案】（1）且（2）【解析】分析】（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，從而可得答案；（2）由，可得，從而可求的得，再根據(jù)向量夾角的坐標公式求解即可.【小問1詳解】若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，解得且；【小問2詳解】因為，所以，即，解得，所以，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.19.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個地點送餐.已知，，，且，.（1）求的長度.（2）假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求解，進而得，由兩角和與差的余弦公式可得，進而由余弦定理求解，根據(jù)三種不同的送餐路線，計算路程的大小，即可比較求解.【小問1詳解】因為，，所以，在中，由余弦定理，得.【小問2詳解】在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，因為，所以走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，由于，所以小夏走路線，且完成送餐任務(wù)的最短時間為.20.如圖，梯形，，，，為中點，．（1）當(dāng)時，用向量表示的向量；（2）若為大于零的常數(shù)），求的最小值，并指出相應(yīng)的實數(shù)的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，先證得四邊形是平行四邊形，從而利用向量的線性運算即可得解.（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到關(guān)于的表達式，進而利用向量的數(shù)量積運算求模得到關(guān)于的二次表達式，從而可求得的最小值及相應(yīng)的值.【小問1詳解】過作交于，如圖，因為，所以，，則四邊形是平行四邊形，故，即是的中點，所以，當(dāng)時，，所以．.【小問2詳解】因為，所以，所以，因為，，，所以，所以當(dāng)，即時，取得最小值．所以的最小值為，此時．21.已知函數(shù)是定在上的函數(shù)，且滿足關(guān)系．（1）若，若，求的值域；（2）若，存在，對任意，有恒成立，求的最小值；（3）若，要使得在內(nèi)恰有2022個零點，請求出所有滿足條件的與．【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，即可得出在上的值域；（2）化簡函數(shù)，通過對應(yīng)圖像即可得出恒成立，求的最小值；（3）化簡函數(shù)，設(shè)將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，將零點問題轉(zhuǎn)化為圖像與軸的交點問題，通過討論二次函數(shù)的周期性，即可得出在內(nèi)恰有2022個零點，所有滿足條件的與．【小問1詳解】由題意，在中，，在中，，當(dāng)時，，∴的值域為：.【小問2詳解】由題意及（1）得，在中，①當(dāng)即，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，②當(dāng)即時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，③當(dāng)即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，④當(dāng)即時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，∴函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，圖像如下：在中，存在，對任意，有恒成立，∴∴當(dāng)最小時，由圖像可知，，【小問3詳解】由題意，，在中，，中，，在中，，∵，設(shè)，，∴函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在上最多與軸有1~2個交點，∵在周期內(nèi)，與有1~2個交點，∴在上有1~4個交點，