正弦定理高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

6.2

正弦定理第二章平面向量及其應(yīng)用考古專家發(fā)現(xiàn)一塊類似三角形刀狀玉佩，其一角已破損.為了復(fù)原，請(qǐng)計(jì)算原玉佩兩邊的長(zhǎng)（精確到0.01cm）.

創(chuàng)設(shè)情境回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎？思考:對(duì)一般的三角形,這個(gè)結(jié)論還能成立嗎?1.定理的推導(dǎo)(1)當(dāng)

是銳角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢?D如圖:作AB上的高是CD,根椐三角形的定義,得到BACabcE(2)當(dāng)

是鈍角三角形時(shí),以上等式是否仍然成立?CBAcabD且同理可得此時(shí)也有交BC延長(zhǎng)線于D,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，AD=csinB=bsinC1、A+B+C=π2、在同一個(gè)三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角正弦定理可以解決：（1）已知兩角和一邊，解三角形；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形.正弦定理

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在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,問(wèn)題2如圖①所示，在Rt△ABC中，斜邊AB是△ABC外接圓的直徑（設(shè)Rt△ABC外接圓的半徑為R），因此這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意三角形(圖②，圖③)是否成立？①②③?

正弦定理的變形：例題1:在ΔABC中，c=4,a=2,C=45°，則sinA=已知兩邊一角，求對(duì)角變式1:在ΔABC中，c=4，A=30°,C=30°，解三角形已知兩角一邊，解三角形解

將BD，CE分別延長(zhǎng)相交于點(diǎn)A如圖.在ΔABC中，BC=2.57,B=45°，C=120°,A=180°-（B+C）=180°-（45°+120°）=15°由正弦定理，得所以

同理AB≈8.60（cm）

問(wèn)題:你能用正弦定理計(jì)算出原玉佩另外兩邊的長(zhǎng)呢？（BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm,B=45°，C=120°）解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當(dāng)

時(shí)Ｂ＝60°C=90°C=30°例2

已知a=16，b=，A=30°

.求角B，C和邊c當(dāng)Ｂ＝120°時(shí)B16300ABC16316由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間(0，π)內(nèi)，余弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以利用正弦定理求角，可能有兩解.問(wèn)題:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角時(shí),三角形什么情況下有一解,二解,無(wú)解?1.Ａ為銳角a<bsinA無(wú)解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡＢＣabB1ＡB2ＣabＡＣabＡＢＣab2.Ａ為鈍角a>b一解a≤b無(wú)解ＡＢＣbaＡＣba3.Ａ為直角時(shí)，與Ａ為鈍角相同，

a>b時(shí)，一解；a≤b時(shí)，無(wú)解.若A為銳角時(shí):·若A為直角或鈍角時(shí):>一、三角形解的個(gè)數(shù)二、判斷三角形的形狀:等腰直角三角形．

二、判斷三角形的形狀:

證明：∵BACDabc而∴同理∴ha知識(shí)點(diǎn)2:

三、面積問(wèn)題

四求最值或取值范圍例4在△ABC中，A＝

，BC＝3，求△ABC面積的最大值.變式：求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.五

中線、角平分