五年級奧數(shù)基礎教程-邏輯問題小學

邏輯問題(一)

四年級已經(jīng)學習過用列表法和假設法解答邏輯推理問題。從廣義上說，任何一道數(shù)學題，任何一個思

維過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計算，而是通

過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結論的問題。

邏輯推理必須遵守四條基本規(guī)律：

(1)同一律，在同一推理過程中，每個概念的含義，每個判斷都應從始至終保持一致，不能改變.

(2)矛盾律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷，至少有一個是錯誤的。例如，

“這個數(shù)大于8”和“這個數(shù)小于5”是兩個互相矛盾的判斷，其中至少有一個是錯的，甚至兩個都是錯的。

(3)排中律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個恰好相反的判斷必有一個是對的，它們不能同時

都錯。例如“這個數(shù)大于8”和“這個數(shù)不大于8”是兩個恰好相反的判斷，其中必有一個是對的，一個是

錯的。

(4)理由充足律“在一個推理過程中，要確認某一判斷是對的或不對的，必須有充足的理由。

我們在日常生活和學習中，在思考、分析問題時，都自覺或不自覺地使用著上面的規(guī)則，只是沒有加

以總結。例如假設法，根據(jù)假設推出與已知條件矛盾，從而否定假設，就是利用了矛盾律。在列表法中，

對同一事件“J”與“X”只有一個成立，就是利用了排中律。

例1張聰、王仁、陳來三位老師擔任五(2)班的語文、數(shù)學、英語、音樂、美術、體育六門課的教

學，每人教兩門?，F(xiàn)知道：

(1)英語老師和數(shù)學老師是鄰居；

王仁年紀最?。?/p>

(3)張聰喜歡和體育老師、數(shù)學老師來往；

(4)體育老師比語文老師年齡大；

(5)王仁、語文老師、音樂老師三人經(jīng)常一起做操。

請判斷各人分別教的是哪兩門課程。

分析與解：題中給出的已知條件較復雜，我們用列表法求解。先設計出右圖的表格，表內(nèi)用表

示肯定，用“X”表示否定。因為題目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應有2個“J”；因為每門課

只有一人教，所以每一豎列都只有1個“J”，其余均為“X”。

語數(shù)英音美體

張XX

王XXX

除

是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下衣

立

悟數(shù)英S美體

張XXX

王XXXJX

除XX

由（3）知，體育老師與數(shù)學老師不是一個人，即陳來不是數(shù)學老師，推知王仁是數(shù)學老師；由（1）

知，數(shù)學老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術老師。至此，得到右上表。

由（4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（5）

知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。

以上推理過程中，除充分利用已知條件外，還將前面已經(jīng)推出的正確結果作為后面推理的已知條件，

充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個“，每列只有一個“，其余都是“X”

這個隱含條件。

例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結論，這種方法叫做排他法。

例2小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在一小、二小、三小中的一所

小學上學?，F(xiàn)知道：

（1）小明不在一?。?/p>

（2）小芳不在二??；

（3）愛好乒乓球的不在三?。?/p>

（4）愛好游泳的在一??；

（5）愛好游泳的不是小芳。

問：三人上各愛好什么運動？各上哪所小學？

分析與解：這道題比例1復雜，因為要判斷人、學校和愛好三個內(nèi)容。與四年級第26講例4類似，先

將題目條件中給出的關系用下面的表1、表2、表3表示：

表3

表4

一小二小孫1小二小孫

XX神XX

XX情XX

X悔XX

由表4、表2知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不在一小。于是可將表1補全為表5。對

照表5和表4,得到：小明在二小上學，愛好打乒乓球；小芳在三小上學，愛好打羽毛球；小花在一小上

學，愛好游泳。

例1、例2用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例4。

例3小說《鏡花緣》中有一段林之祥與多久公飄洋過海的故事。有一天他們來到了“兩面國”，卻忘

記了這一天是星期幾。迎面見了“兩面國”里的牛頭和馬面。他們知道，牛頭在星期一、二、三說假話，

在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、日說真話。牛頭說：

“昨天是我說假話的日子。”馬面說：“真巧，昨天也是我說假話的日子?！?/p>

請判斷這一天是星期幾。

分析與解：因為牛頭、馬面只有星期日都說真話，其它時間總是一個說真話，另一個說假話，所以這

一天不是星期日，否則星期六都說假話，與題意不符。

由題意知，這一天說真話的，前一天必說假話；這一天說假話的，前一天必說真話。推知這一天同時

是牛頭、馬面說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子。因為星期二、三、五、六都不是說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子，

所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變?yōu)檎f假話的日子，但不是馬面由說假話變

為說真話的日子，所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變?yōu)檎f真話的日子，也是馬面由說真

話變?yōu)檎f假話的日子，所以這天是星期四。

例4A,B,C,D四個同學中有兩個同學在假日為街道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分

別回答如下。

A：“C,D兩人中有人做了好事?！?/p>

B：“C做了好事，我沒做?！?/p>

C：“A,D中只有一人做了好事。”

D：“B說的是事實,”

最后通過仔細分析調(diào)查，發(fā)現(xiàn)四人中有兩人說的是事實，另兩人說的與事實有出入。到底是誰做了好

事？

分析與解：我們用假設法來解決。題目說四人中有兩人說的是事實，另兩人說的與事實有出入。注意，

此處的“與事實有出入”表示不完全與事實相符，比如，當B,C都做了好事，或B,C都沒做好事，或B

做了好事而C沒做好事時，B說的話都與事實有出入。

因為B與D說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么B與D正確，A與C錯；要么B與D錯，A與C正

確。(1)假設B與D說的話正確。這時C做了好事，A說C,D兩人中有人做了好事，A說的話也正確，這

與題目條件只有“兩人說的是事實”相矛盾。所以假設不對。

(2)假設A與C說的話正確。那么做好事的是A與C,或B與D,或C與D。若做好事的是A與C,或

C與D,則B說的話也正確，與題意不符；若做好事的是B與D,則B說的話與事實不符，符合題意。

綜上所述，做好事的是B與D。

練習27

l.A,B,C,D,E五個好朋友曾在一張圓桌上討論過一個復雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶

當時的情景。

A說：“我坐在B的旁邊?！?/p>

B說：“坐在我左邊的不是C就是I)?！?/p>

C說：“我挨著D?！?/p>

D說：“C坐在B的右邊,”

實際上他們都記錯了。你能說出當時他們是怎樣坐的嗎？沒有發(fā)言的E的左邊是誰？

2.從A,B,C,I),E,F六種產(chǎn)品中挑選出部分產(chǎn)品去參加博覽會。根據(jù)挑選規(guī)則，參展產(chǎn)品滿足下列

要求：

(1)A,B兩種產(chǎn)品中至少選一種；

(2)A,D兩種產(chǎn)品不能同時入選；

(3)A,E,F三種產(chǎn)品中要選兩種；

(4)B,C兩種產(chǎn)品都入選或都不能入選：

(5)C,D兩種產(chǎn)品中選一一種；

(6)若D種產(chǎn)品不入選，則E種也不能入選。

問：哪幾種產(chǎn)品被選中參展？

3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平(女)、小紅(女)和小虎(男)，孩子的爸爸是老王、老

張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。

(1)老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊；

(2)老張的女兒不是小紅；

(3)老陳和方麗不是一家人。

請你將三戶人家區(qū)分開。

4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業(yè)分別是教師、工人、演員。己

知：

(1)甲不是遼寧人，乙不是廣西人；

(2)遼寧人不是演員，廣西人是教師；

(3)乙不是工人。

求這三人各自的籍貫和職業(yè)。

5.甲說：“乙和丙都說謊?！币艺f：“甲和丙都說謊?！北f：“甲和乙都說謊?！备鶕?jù)三人所說，

你判斷一下，下面的結論哪一個正確：

(1)三人都說謊；

(2)三人都不說謊；

(3)三人中只有一人說謊；

(4)三人中只有一人不說謊。

6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比

最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù)。

邏輯問題(二)

例1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個聰明的同學甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排

成一路縱隊，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時把余下的帽子藏起來。當他們睜開眼后，

乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色，而站在最前面的甲卻根據(jù)此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。

甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？

分析與解：這是一個典型的邏輯推理問題。甲站在最前面，雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到:

如果我和乙戴的都是紅帽子，因為一共只有兩頂紅帽子，那么丙就會判斷出自己戴的是白帽子。丙判斷不

出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。

甲接著想：乙也很聰明，當他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽

子是兩白或一白一紅。此時，如果他看到我戴是紅帽子，那么他就會知道自己戴的是白帽子，只有我戴的

是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。

例1中，甲的分析非常精采，嚴密而無懈可擊。

例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個盒子

的標簽全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把標簽全部糾正過來嗎？

分析與解：因為“三個盒子的標簽全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖(。表示白球，?表示黑球)：

標簽翻兩黑兩白一黑一白

實際情況100

實際就2Ot??00

如果從標簽是兩黑的盒子中拿一個球，那么最不利的情況是拿出一個白球，此時無法判定是實際情況

1,還是實際情況2,也就無法把標簽全部糾正過來：

同理，從標簽是兩白的盒子中拿?個球，若拿的是黑球，則也無法把標簽全部糾正過來；

從標簽是一黑一白的盒子中拿出一個球，若拿出的是黑球，則能確定出是實際情況1,若拿出的是白

球，則能確定出是實際情況2,因此能把標簽全部糾正過來。

所以，只要從標簽是一黑一白的盒子中拿一個球，就能糾正全部標簽。

例3A,B,C三名同學參加了一次標準化考試，試題共10道，都是正誤題，每道題10分，滿分為100

分。正確畫“，錯誤畫“X”。他們的答卷如下表：

考試成績公布后，三人都得70分。請你給出各題的正確答案。

分析與解：我們先分析一下三人的得分情況。因為三人都得70分，所以每人都錯了3道題。比較A,

B的答卷發(fā)現(xiàn)，他們有6道題的答案不一樣，說明這6道題A,B兩人各錯3道，也就是說，A,B答案相同

的題都對了，因此找到了第1,3,4,10題的正確答案。同理，A,C的答卷也有6道題的答案不一樣，因

此找到了第3,6,8,9題的正確答案；同理B,C的答卷也有6道題的答案不一樣，因此找到了第2,3,

5,7題的正確答案。各題的正確答案如下表：

12345678910

XX/X7X

例4A,B,C,D,E五位選手進行乒乓球循環(huán)賽，每兩人都只賽一盤。規(guī)定勝者得2分，負者不得分。

現(xiàn)在知道的比賽結果是：A與B并列第一名（有兩個并列第一名，就不再設第二名，下一個名次規(guī)定為第

三名），口比?的名次高，每個人都至少勝了一盤。試求每人的得分。

分析與解：因為乒乓球比賽沒有平局，所以求勝的盤數(shù)與得分是一同事，勝的盤數(shù)乘以2就是得分。

五人進行循環(huán)賽，共需賽10盤，總得分是2X10=20（分）。

因為每人都賽4盤，所以第一名最多勝4盤，但因為A,B并列第一，A,B不可能都勝4盤，所以A,

B最多各勝3盤。如果A,B沒有各勝3盤，而是各勝2盤，那么剩下的10-2X2=6（盤）的勝利者只會是

C,I）,E,根據(jù)抽屜原理，C,1）,E三人中至少有1人勝了至少2盤，與第一名勝2盤矛盾。所以，A,B各

勝3盤，各得6分。

還有4盤，已知D比C名次高，每個人都至少勝?盤，只能是D勝2盤得4分，C,E各勝一盤，各得

2分。

注意：題目中“每個人都至少勝一盤”是制約結果的重要條件，如果沒有這個條件，那么該題的結果

就有兩種可能：一是A,B各勝3盤，各得6分，D勝2盤得4分，C,E各勝1盤，各得2分；二是A,B

各勝3盤，各得6分，1）,E各勝2盤各得4分，C勝0盤，得0分。

練習28

1.有個老漢想考考他的四個聰明的兒子，他拿出六頂帽子，三頂紅的、兩頂藍的和一頂黃的。然后，

讓四個兒子按大的在前小的在后的順序排成一路縱隊，并讓他們閉上眼睛。接著，給他們每人戴上一頂帽

子，藏起其余兩頂。當他們睜開眼睛后，每個人都只能看見前邊人的帽子。這時，老漢依次問小兒子、三

兒子和二兒子，“你戴的帽子是什么顏色？”他們都1可答“不知道”。最后，老漢又問大兒子。大兒子想

了一會兒，正確地說出了自己戴的帽子的顏色。

問：大兒子戴的帽子是什么顏色？他是如何判斷的？

2.五年級有四個班，每個班有兩名班長，每次召開年級班長會議時各班參加一名班長。參加第一次會

議的是A,B,C,I）,參加第二次會議的是E,B,F,D,參加第三次會議的是A,E,B,G.已知H三次會

都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？

3.甲、乙、丙、丁四個學生坐在同一排的相鄰座位上，座號是1號至4號。一個專說謊話的人說：“乙

坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙的中間，乙的座位不是3號?！遍g：坐在2號座位上的是誰？

4.李大娘問三位青年人的年齡。

小張說：“我22歲。比小吳小2歲o比小徐大1歲?！?/p>

小吳說：“我不是年齡最小的。小徐和我差3歲。小徐25歲。”

小徐說：“我比小張年齡小。小張23歲。小吳比小張大3歲?！?/p>

這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。李大娘難辯真真假假，請你幫助李大

娘弄清這三人的年齡。

5.A,B,C三支足球隊舉行循環(huán)比賽（每隊之間賽一場），下面是記有詳細比賽情況的表。但后來發(fā)

現(xiàn)表中有四個數(shù)是錯誤的。請按規(guī)定重制一張正確的表格。（勝一場記2分，負一場記0分，平一場雙方

各記1分。）

髓負平進殿舲

A2201023

B2110362

C1012011

6.某次數(shù)學測驗，共有六道試題，均是是非題。正確的畫“，錯誤的畫“X”。每題答對得2分,

不答得1分，答錯得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。

0②?⑤?彳粉

姓名\

甲JJJ7

乙XXXJX9

丙XXXX7

TXXX?

練習27

I.C.

提示：由B,【）所說知，C不挨著B,再由C所說知，C不挨著D,所以C的兩邊是A和E。

若C,A,E的位置如左下圖，則由A所說，推知A的右邊是D,此時D在B的左邊，B說的正確，與題

意不符；

若C,A,E的位置如右下圖，則推出的結果符合題意。

2.A,B,C,F.

提示：用假設法。從條件（1）開始，有三種情況：

①假設選A不B選，由（2）知D不能入選，再由（5）知C入選，再由（4）推知C,B同時入選，與

前面假設不選B矛盾。假設不成立。

②假設選B不選A,由（3）知選E,F,由（6）知D入選，再由（5）知C不入選，再由（4）推知B,C都

不入選，與假設選B矛盾。假設不成立。

③假設A,B都入選，由（2）知D不入選，由（6）知E也不入選，再由（3）知F入選，由（4）知C入選。

符合題意。因此，A,B,C,F選中參展。

3.老王，方麗，小紅：老張，李玲，小平：老陳，劉英，小虎。

提示：由題意可畫出下面三個表：

將表2補全為表4。由表4知老陳的兒子是小虎，而李玲的孩子是女兒，所以老陳和李玲不是一家人,

由此可將表1補全為表5。

和表5

怦恂椽小平恂懈

王XX王XX

張XX張X/X

除XX除JXX

4.甲，廣西，教師；乙，山東，演員；丙，遼寧，工人。

熨________12

2T廣西山東獅工人麻

甲X甲

LXLX

百丙

提示：由題意可畫出下面三個表:

表3

將表3補全為表4。由表4知，工人是遼寧人，而乙不是工人，所以乙不是遼寧人，由此可將表1補

全為表5。

表4表5

酢廣西山東酢廣西山東

期X/X甲XX

工人XX1XX

戢XX丙XX

5.（4）正確。

提示：假設（1）正確，則甲、乙、丙都沒說錯，與假設矛盾；

假設（2）正確，則甲、乙、丙都說錯了，與假設矛盾：

假設（3）正確，可是三個人都說有兩人說謊，即三人都說錯了，與假設矛盾;

假設(4)正確，推不出矛盾，符合題意。

6.8歲。

提示：假設最小的男孩4歲，那么最大的女孩4+4=8(歲)，四個女孩年齡都不同，最小的女孩應是5

歲，最大的男孩5+4=9(歲)，與題目說最大的孩子10歲矛盾。假設不成立。

再假設最小的女孩4歲，那么最大的男孩8歲，最小的男孩6歲，最大的女孩10歲，符合題意。所求

最大男孩是8歲。

練習28

1.紅色。

提示：與例1類似。小兒子前面三個哥哥至少有1人戴紅帽子，否則，若是藍、藍、黃，則小兒子就能判

斷出自己戴的是紅帽子；同理，三兒子前面兩個哥哥至少有1人戴紅帽子，否則，三兒子就能判斷出自己

戴紅帽子：同理，若大兒子戴的不是紅帽子，則二兒子就能判斷出自己戴的是紅帽子。

2.四個班的正、副班長分別是B和H,A和F,C和E,D和G。

提示：兩人同班的必要條件是不能同時參加同一次會議，由于B三次會都參加了，而H沒參加，所以

B和H同班。

3.丁。

提示：由題意知，乙坐3號，乙和丙不相鄰，故丙在1號；又甲不在乙、丙之間